信号与线性系统题解第四章.doc
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第四章习题答案
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4.1由于复指数函数是LTI系统的特征函数,因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。
在正文已经指出:
尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数,但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。
在本题中,我们将验证这一结论。
(a)对单位冲激响应的LTI系统,指出其特征函数,并确定相应的特征值。
(b)如果一个LTI系统的单位冲激响应为,找出一个信号,该信号不具有的形式,但却是该系统的特征函数,且特征值为1。
再找出另外两个特征函数,它们的特征值分别为1/2和2,但不是复指数函数。
提示:
可以找出满足这些要求的冲激串。
(c)如果一个稳定的LTI系统的冲激响应是实、偶函数,证明和实该系统的特征函数。
(d)对冲激响应为的LTI系统,假如是它的特征函数,其特征值为,确定应满足的微分方程,并解出。
此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。
解:
(a)的LTI系统是恒等系统,所以任何函数都是它的特征函数,其特征值
为1。
(b),。
如果是系统的特征函数,且特征值为1,则应有。
满足这一要求的冲激序列为。
若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数,则可得:
,特征值为1/2。
,特征值为2。
(c)
为实、偶函数
同理可证。
(d)
于是
4.2求下列信号的傅里叶级数表示式。
(a)
(b)是以2为周期的信号,且
(c)如图P4.2(a)所示。
(d)如图P4.2(b)所示。
(e)如图P4.2(c)所示。
(f)如图P4.2(d)所示。
图P4.2
解:
(a),取,则有
(b),则
(c),是奇函数,
(d),可求得
(e),是偶函数,
(f),可求得
4.3已知某LTI系统的单位冲激响应为
对下列输入信号,求输出响应的傅里叶级数表示式。
(a)
(b)
(c)
(d)如图P4.3所示。
图P4.3
解:
设则其中分别是和的傅里叶级数系数。
(a)其余
,其余
(b);
(c);
(d)由图P4.3所示可得:
4.4(a)证明:
以T为周期的信号如果是偶函数,即,则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量;如果是奇信号,即,则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。
(b)如果以T为周期的信号同时满足
则称为偶谐信号;如果同时满足
则称为奇谐信号。
证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波;奇谐信号
的傅里叶级数只包含奇次谐波。
(c)如果是周期为2的奇谐信号,且,画出的波形,并求出它的傅里叶级数系数。
解:
(a),
若,则
若,则
(b)
若,则
当k为偶数时,
当k为奇数时,
只有偶次谐波
同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。
(c)奇谐信号,
如图PS4.4所示。
图PS4.4
,(k为奇数)
,(k为偶数)
4.5假如图P4.5所示的信号和有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式
画出信号
图P4.5
解:
而
4.6设是一个周期信号,其基波周期为,傅里叶级数的系数为,用表示下列信号的傅里叶级数系数。
此题证明了表4.2中所列的傅里叶级数的有关性质。
(a)(b)
(c)(d),(假设)
(e)(f)(要先确定该信号的周期)
解:
(a)
(b)
(c)
(d)
为周期信号
(e)因此以T为周期
(f)
该信号周期为
4.7已知某周期信号的前四分之一周期的波形如图P4.7所示。
就下列情况画出一个周期()内完整的波形。
图P4.7
(a)是偶函数,只含有偶次谐波。
(b)是偶函数,只含有奇次谐波。
(c)是偶函数,含有奇次和偶次谐波。
(d)是奇函数,只含有偶次谐波。
(e)是奇函数,只含有奇次谐波。
(f)是奇函数,含有偶次和奇次谐波。
解:
(a)且,如图PS4.7(a)所示。
(b)且,如图PS4.7(b)所示。
(c),如图PS4.7(c)所示。
(d)且,如图PS4.7(d)所示。
(e)且,如图PS4.7(e)所示。
(f),如图PS4.7(f)所示。
图PS4.7
4.8计算下列信号的傅里叶变换:
(a)
(b),其中
(c)如图P4.8(a)所示。
(d)如图P4.8(b)所示。
(e)
(f)如图P4.8(c)所示。
(g)如图P4.8(d)所示。
图P4.8
解:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
4.9确定下列傅里叶变换所对应的连续时间信号:
(a)
(b)
(c)
(d)如图P4.9(a)所示。
(e)如图P4.9(b)所示。
(f)的模和相位如图P4.9(c)(d)所示。
图P4.9
解:
(a)设
即
(b)
故有
(c)
即
(d)
(e)
(f)由图P4.9(c)、(d)知,
4.10先求出图P4.10所示各信号的频谱,再用表示图中信号的频谱。
图P4.10
解:
4.11设是图P4.11所示信号的频谱,不求出而完成下列计算:
(a)求
(b)求
(c)计算
(d)计算
(e)画出Re对应的信号。
图P4.11
解:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e),如图PS4.11所示。
图PS4.11
4.12一个实连续时间信号的傅里叶变换为且,如果已知是
(a)偶时间函数;
(b)奇时间函数。
求。
解:
(a)
即
(b)
4.13如果图P4.13所示的实信号存在傅里叶变换,试判断哪些信号的傅里叶变换满足下列性质之一。
(a)Re(b)Im
(c)可以找到一个实数,使得是实函数。
(d)(e)
(f)是周期的。
图P4.13
解:
(a)Re为奇函数
因而图P4.13(a),(b)满足条件。
(b)Im为偶函数
因而图P4.13(d),(f)满足条件。
(c)由已知可得,平移后为偶函数
因而图P4.13(a),(c),(d),(f)满足条件。
(d)
因而图P4.13(a),(b),(c),(e),(f)满足条件。
(e)
因而图P4.13(c),(d),(e),(f)满足条件。
(f)由条件可知(c)满足。
4.14求图P4.14所示周期信号的傅里叶变换。
图P4.14
解:
4.15假设周期信号是某个LTI系统的输入,的傅里叶级数表示式为
系统的频率响应为
为了该系统的输出至少具有在一个周期内平均能量的90%,必须取多大?
解:
根据帕斯瓦尔定理,可得信号的平均能量为:
设的取值使系统能通过的第次谐波,则系统输出的平均能量为
由题意应有
即:
即:
能保证输出至少具有一个周期平均能量的90%。
本题中,得
4.16(a)如果信号满足,那么的傅里叶变换具有什么性质?
(b)如果一个系统的输入为,输出为,且,试用的傅里叶变换表示的傅里叶变换
(c)如果和是两个任意信号,其傅里叶变换分别为和,证明帕斯瓦尔定理的一般形式
解:
(a)设,由共轭对称性有
由尺度变换性有
而,表明是实函数。
(b)设,
(c)
4.17在第3章我们指出LTI系统可以由它的单位冲激响应完全表征。
在本章中我们又指出LTI系统可以由它的频率响应完全表征。
但这并不意味着单位冲激响应或频率响应不同的LTI系统,对任何同样的输入信号所产生的响应都一定不同。
(a)为了说明这一点,可以证明3个LTI系统对具有完全相同的输出响应,这3个系统的单位冲激响应分别为:
(b)找出对也会产生同样响应的另一个LTI系统的单位冲激响应。
解:
(a)
可见,
(b)由(a)可知,只要把(a)中三个系统的冲激响应线性组合起来,就可以构成满足题意要求的LTI系统。
例如:
就是满足要求的另一个LTI系统。
同样地,
等等,都是满足要求的LTI系统。
4.18
(1)假定信号
是对具有如下单位冲激响应的LTI系统的输入,试确定每种情况下的输出。
(a)
(b)
(c)
(2)某LTI系统的冲激响应为
对下列输入信号,分别求系统的输出。
(a)是图P4.18(a)所示的周期性方波信号。
(b)是图P4.18(b)所示的方波信号。
(c)
(d)
(e)是实信号,的模对如图P4.18(c)所示,对有恒定相位。
图P4.18
解:
(1)
(a)
(b),则有
,如图PS4.18-1所示。
其中:
(c),则有
。
如图PS4.18-2所示。
其中:
(2)
(a)
其中为的傅里叶级数系数,
(b),其中
(c)
(d)
(e)由图P4.18(C)及相位条件,可得出的一个周期为:
4.19图P4.19所示4个LTI系统互联,其中:
(a)确定,并粗略画出其图形。
(b)求整个系统的单位冲激响应。
(c)当输入为时,求系统输出。
图P4.19
解:
(a)
,如图PS4.19所示。
图PS4.19
(b)
而
(c)
利用(b)的结果,由可得
也就是:
4.20对图P4.20所示电路,求出系统的传输函数,欲使该系统不失真传输信号,试确定和。
图P4.20
解:
4.21
(1)已知的频谱为,是一个周期信号,其傅里叶级数表示式为
其中,为基波频率。
如果,试问的傅里叶变换是什么?
(2)如果如图P4.21(a)所示,对下列画出的频谱。
(a)(b)
(c)(d)
(e)(f)如图P4.21(b)所示。
图P4.21
解:
(1)
(2)(a)
,如图PS4.21(a)所示。
(b)
,如图PS4.21(b)所示。
(c)
,如图PS4.21(c)所示。
(d)
,如图PS4.21(d)所示。
(e)
,如图PS4.21(e)所示。
(f)
,如图PS4.21(f)所示。
图PS4.21
4.22(a)如果单位冲激响应为和的两个LTI系统是彼此互逆的,它们的频率响应分别为和,试问与之间有什么关系。
(b)逆系统被广泛用于干扰抵消。
假定一个有回声的大厅,将其声学结构作为一个LTI系统来建立其模型。
该系统的单位冲激响应由一系列冲激组成,其中第个冲激表示第次反射。
在此情况下,单位冲激响应表示为
其中表示第次反射时的阻尼。
为了获得高质量的音响效果,必须对检测到的声音进行处理,借以消除回波的干扰。
假定代表LTI系统的频率响应,该系统被用来处理检测到的音响信号,试确定,使得回波干扰能完全消除。
(c)一个最初松弛且由下列微分方程描述的LTI系统
该系统的逆系统也是最初松弛的,求出描述该逆系统的微分方程。
并求出原系统的单位冲激响应和逆系统的单位冲激响应。
解:
(a)若和互逆,则有
(b)
(c)两边傅里叶变换
逆微分方程:
4.23(a)某连续时间LTI系统的频率响应为
其中,,求出和相位,并求出系统的单位冲激响应。
这样的系统称为全通系统。
(b)如果对(a)中所给的系统输入信号为
当时,输出是什么?
当时,又是什么?
比较与,即可看出尽管系统对输入信号的各个频率分量在幅度上一视同仁,但由于系统相位特性的非线性,致使不同频率的分量产生不同的时延,从而导致输出信号发生了失真。
这种失真即是所谓的相位失真。
解:
(a)
(b);当时有
当时,
4.24某LTI系统对输入信号
的响应为
(a)求该系统的频率响应。
(b)求该系统的单位冲激响应。
(c)写出描述系统的微分方程,并用直接II型结构实现该系统。
解:
(a)
(b)
(c)
其直接II型结构如图PS4.24所示。
4.25某因果LTI系统由下列微分方程描述
(a)确定该系统的频率响应和单位冲激响应。
(b)如果,求系统的输出响应。
(c)如果输入的傅里叶变换分别为:
重新求系统的输出响应。
解:
(a)
(b)
(c)
4.26如果连续时间LTI系统的冲激响应是实、因果函数,其频率响应可以完全由它的实部来确定;如果是实因果函数,且在不包含奇异函数,那么也可以由它的虚部完全确定。
本体研究的就是这一特性。
(a)考查的偶部,指出如何由得到,进而证明可以完全由它的实部来确定。
(b)如果因果系统的频率响应的实部为,试确定,并进而确定。
(c)如果在不包含任何奇异函数,由于是因果的,除了以外,有
且上式两边的傅里叶变换必然恒等,根据傅里叶变换的调制特性,证明:
(d)利用上式导出用的虚部表示实部以及用表示的关系式。
这表明,因果LTI系统的冲激响应是实信号时(这正是工程实际中应用的情况),系统频率响应的实部和虚部是互相制约的。
从而系统的幅频特性与相频特性也是相互制约的。
由和互相表示的这种约束关系称为希尔伯特(Hilbert)变换。
解:
(a),且为实函数。
又是因果的,
由的实部可完全确定;由又可完全确定。
从而可以完全由它的实部来确定。
(b)
(c),当为因果函数时有
因此,除了一点外,可以由得到。
如果在不包含奇异函数,而且,则有
因而将不会因为为任何有限值而改变。
这表明与的值无关。
由可得
于是,由可以确定。
再根据(除外),可由求得。
因此可以完全由其虚部确定。
由此得
(d)令,则有
4.27在图P4.27所示系统中是理想低通滤波器,其截止频率为,群时延为常数,试对和两种情况求输入为时,系统的输出响应。
图P4.27
解:
而
因此,当时,
当时,
4.28求图P4.28所示已调信号的频谱。
图P4.28
解:
,其中如图PS4.28所示。
图PS4.28
:
调制周期为的方波,同
:
调制周期为的方波,
同,可计算及。
4.29图P4.29所示系统中,已知输入信号的频谱为,如图所示。
试确定并粗略画出的频谱。
图P4.29
解:
4.30在4.8节讨论同步解调时,我们从频谱图直观地说明了调制器和解调器所用的载波应该同频。
由于通信系统中调制和解调常常是在相距很远的两地进行的,因此做到这一点比较困难。
本题讨论两个载波不同频但频率同步的情况。
假定在DSB调制中,载波频率为,解调器的载波频率为,它们的频率差为,同时假定是带限的,即时,;同步解调时理想低通滤波器的截止频率满足下列条件:
(a)证明此时解调器中理想低通滤波器的输出正比于
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