定积分在生活中的应用资料.docx
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定积分在生活中的应用资料
定积分在生活中的应
用
彳了£4倉肉
PINGDINGSHANUNIVERSITY
院系:
经济与管理学院
题目:
定积分在生活中的应用
年级专业:
11级市场营销班
学生姓名:
孙天鹏
定积分在生活中的应用
定积分作为大学里很重要的一部分,在生活有广泛的应用。
微积分是与应用联系发展起来的,最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律,此后,微积分极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展,而且随着人类知识的不断发展,微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述
1、定积分的定义:
设函数fx在区间a,b上有界.
1在a,b中任意插入若干个分点axoXi川Xn1Xnb,把区间a,b分成n
个小区间Xo,Xi,^,X2J||,Xni,Xn,且各个小区间的长度依次为治为X。
X2X2Xi,…,XnXnX.1。
2在每个小区间Xii,Xi上任取一点i,作函数fi与小区间长度X的乘积
fiXi(i1,2j||,n),
nn
3作出和SfiXi。
记PmaxXi,x?
卅,Xn作极限lim0fix
i1Pi1
如果不论对a,b怎样分法,也不论在小区间人1必上点i怎样取法,只要当P0时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数fx在区间a,b上的定积分(简称积分),记作bfxdx,即a
xdx=I
其中fx叫做被积函数,
dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫
做积分下限,b叫做积分上限,
a,b叫做积分区间。
2.定积分的性质
设函数fx和gx在a,b
上都可积,k是常数,则kfx和f
都可积,并且
bb
kfxdx=kfxdx;
aa
bbb
fxgxdx=fxdx+gxdx
aaa1
bbb
fxgxdx=fxdx-gxdx.
aaa
性质1
性质2
xgxdx=
xgxdx=
性质3
定积分对于积分区间的可加性
的相对位置如何,都有
在区间上可积,且a,b和c都是区间内的点,则不论
b
fxdx=fxdx+
a
性质
性质
性质
性质
存一点使得
3.定理
如果在区间
如果在区间
a,b上f
a,b上f
如果在[a,b]上,m
(定积分中值定理)
b
f(x)dxf()(b
a
定理1微积分基本定理
f(x)
如果
a)
c
fxdx。
b
bb
1,贝y1dx=dx=ba。
7aa
0,则fxdx0ab。
a
b
M贝卩m(ba)f(x)dxM(b
a
a)
f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少
如果函数fx在区间a,b上连续,则积分上限函数x
x
aftdt在a,b上
可导,并且它的导数是
x
dftdt
a
x=一
dx
定理2原函数存在定理
X
如果函数fX在区间a,b上连续,则函数X=aftdt就是fX在a,b上的一个原函数.
定理3如果函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数,
b贝yfxdx=FbFa
a
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
二、定积分的应用
1、定积分在几何中的应用
(1)设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x)f(x),x[a,b].求曲线
yf(x),yg(x)及直线xa,xb所围成的平面图形的面积S.(如图
1)解法步骤:
第一步:
在区间[a,b]上任取一小区间[x,xdx],并考虑它上面的图形的面积,这块面积可用以[f(x)g(x)]为高,以dx为底的矩形面积近似,于
是dS[f(x)g(x)]dx.
第二步:
在区间[a,b]上将dS无限求和,得到Sab[f(x)g(x)]dx.
图2
厂
/
亍〈=血刃
o|
*X
>■土呂何
(2)上面所诉方法是以x为积分变量进行微元,再求得所围成图形的面积;我们还可以将y作为积分变量进行微元,再求围成的面积。
由连续曲线x(y)、x(y)其中(y)(y)与
直线yc、yd所围成的平面图形
(图2)的面积为:
d
Sc[(y)(y)]dy
例1求由曲线ysinx,ycosx
及直线x0,x所围成图形的面积A.
解
(1)作出图形,如图所示.
易知,在[0,]上,曲线ysinx与ycosx的交点为(才#);
(2)取x为积分变量,积分区间为[0,].从图中可以看出,所围成的
图形可以分成两部分;
(3)区间[0,-]上这一部分的面积Ai和区间[-,]上这一部分的面积A2
44
分别为
A14(cosxsinx)dx,A2(sinxcosx)dx,
4
所以,所求图形的面积为
AA-iA2=o4(cosxsinx)dx+(sinxcosx)dx
~4
sinxcosx0cosxsinx2-2.
7
22
例2求椭圆务占1的面积.
ab
解椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的
xacost
ybsint
4倍,即
a
S4S140ydx利用椭圆的参数方程
应用定积分的换元法,dxasintdt且当x0时,t—,xa时,t0,于是
0
S4bsint(acost)dt
2
4abo'sin2tdt
cos2tlxdt
2
2.求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例
如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割T:
axox!
Xnb划
分成许多基本的小块,每一块的厚度为Xi(i1,2,,n),假设每一个基本的
小块横切面积为A(x)(i1,2,,n),A(x)为a,b上连续函数,贝卩此小块的体
积大约是A(Xi)Xi,将所有的小块加起来,令T0,我们可以得到其体积:
体体积.
解先画图形,因为图形绕x轴旋转,所以取x为积分变量,x的变化
区间为[1,4],相应于[1,4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条,绕x轴旋
转而形成的小旋转体体积,可用高为似代替,
即体积微元为
242
dV=ndx=冗
(一)dx,
x
于是,体积
dx,底面积为n2的小圆柱体体积近
442n1()dx
|x
41=16n2dx
1子
16n^4=12n.
x
3.求曲线的弧长
(1)设曲线yf(x)在a,b上有一阶连续导数(如下图),利用微元
法,取x为积分变量,在a,b上任取小区间x,xdx,切线上相应小区间的
小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度,即Imnds•得弧长微元为:
dsMT,(dx)2(dy)21(y)2dx,再对其积分,
则曲线的弧长为:
sbdsb1(y)2dxb1[f(x)]2dx
aaa
(2)参数方程表示的函数的弧长
则曲线的弧长为
sds[(t)][(t)]dt
3
例3
(1)求曲线y-x2上从0到3一段弧的长度3
解由公式s=1y2dx(ab)知,弧长为
b
a
(2)求摆线
;a;cost)在012上的一段弧的长度(a0)•
解取t为积分变量,积分区间为[0,2].由摆线的参数方程,得
xa(1cost),yasint,
2、定积分在经济中的应用
(1)、由经济函数的边际,求经济函数在区间上的增量
根据边际成本,边际收入,边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的
改变量(增量)就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分:
b
R(b)
R(a)
aR(x)dx
(1)
C(b)
C(a)
b
C(x)dxa
(2)
L(b)
L(a)
b
L(x)dx
a
(3)
例1已知某商品边际收入为0.08x25(万元/t),边际成本为5(万元/t),求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x),总成本C(x),利润I(x)的改变量(增量)。
解首先求边际利润
L(x)R(x)C(x)0.08x2550.08x20
所以根据式
(1)、式
(2)、式(3),依次求出:
R(300)
R(250)
300
R(x)dx
250
300
(0.08x
250
25)dx=150万元
300
300
C(300)
C(250)
C(x)dx
250
dx=250
250
万元
300
300
L(300)
L(250)
L(x)dx
250
(0.08x
250'
20)dx=100万元
(2)、由经济函数的变化率,求经济函数在区间上的平均变化率
f(t)dt
设某经济函数的变化率为f(t),则称为该经济函数在时间间隔
t2t1
[t2,tl]内的平均变化率。
例2某银行的利息连续计算,利息率是时间t(单位:
年)的函数:
r(t)0.080.015.t
求它在开始2年,即时间间隔[0,2]内的平均利息率
解由于
Q2r(t)dt:
(0.080.015,t)dt0.160.01仁口00.160.02.2
所以开始2年的平均利息率为
2
0r(t)dt-
r-0.080.01,20.094
20
例3某公司运行t(年)所获利润为L(t)(元)利润的年变化率为
L(t)3105(元/年)求利润从第4年初到第8年末,即时间间隔[3,
8]内年平均变化率
解由于
所以从第4年初到第8年末,利润的年平均变化率为
7.6105(元/年)
即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元
(3)、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t(年)时的收入为f(t)(万元),年利率为r,即贴现率是f(t)ert,则应用定积分计算,该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的
b.
增量为f(t)endt。
a
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A(万元),竣工后的年收入
预计为a(万元)年利率为r,银行利息连续计算。
在进行动态经济分析时,把竣工后收入的总贴现值达到A,即使关系式
T
oaedtA
成立的时间T(年)称为该项工程的投资回收期。
例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元,竣工后的年收入
预计为200万元,年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。
解这里A1000,a200,r0.08,则该工程竣工后T年内收入的总
卄/古斗T”小0.08t一2000.08tTclcc0.08T.
贴现值为200edte。
2500(1e)
00.08
令2500(1e0.08T)=1000,即得该工程回收期为
110001
T——ln
(1)——In0.6=6.39(年)
0.0825000.08
3、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数
v=v(t)(v(t)X))在时间区间[a,b]上的定积分,即sbv(t)dt
a
如图
例1、一辆汽车的速度一时间曲线
所示.求汽车在这1min行驶的路程.
解:
由速度一时间曲线可知:
3t,0t10,
v(t)30,10t40
1.5t90,40t60.
因此汽车在这1min行驶的路程是:
104060
s03tdt[io3Odt40(1.5t90)dt
3,2.104^.3,260
tb30tI10(t90t)I401350(m)
24
答:
汽车在这1min行驶的路程是1350m.
总结:
从上面的论述中可以看出,定积分的应用十分的广泛,利用定积分来解决其他学科中的一些问题,是十分的简洁、方便,由此可对见向学习、思维的妙处•因此我们要学会横向学习,各个学科之间都是有联系的,若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用,则不仅能加深对知识的理解,贯通了新旧知识,还能拓宽知识的应用范围、活跃思维,无论从深度上还是广度上都是质的飞跃•
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