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v)′=u′±
v′;
(2)(u·
v)′=u′v+uv′;
(3)(
)′=
(v≠0);
(4)(cu)′=cu′(c为常数).
复合函数的导数
设u=g(x)在点x处可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x处可导,且f′(x)=f′(u)·
u′x.
6.(2016·
新课标全国Ⅲ,理)已知f(x)为偶函数,当x<
0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
一、导数的概念
1.设f(x)=x3-8x,则
=____;
=________.
题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数.
(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);
(2)f(x)=
+
(3)f(x)=
(4)f(x)=
(5)f(x)=cos(3x2-
).
导数的计算方法
(1)连乘积形式:
先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:
观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)根式形式:
先化为分数指数幂的形式,再求导.
(4)三角形式:
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
(5)复合函数:
确定复合关系,由外向内逐层求导.
题型三 导数的几何意义(微专题)
求曲线的切线方程
由已知曲线y=
x3+
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.
求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:
求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程,在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.
求曲线的切点坐标或参数值
(2)(2016·
新课标全国Ⅱ,理)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.
(2)(2015·
新课标全国Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.
函数的单调性
(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f′(x)>
0,则f(x)为增函数;
若f′(x)<
0,则f(x)为减函数.
(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤:
①确定f(x)的定义域;
②求导数f′(x);
③令f′(x)>
0(或f′(x)<
0),解出相应的x的范围;
④当f′(x)>
0时,f(x)在相应区间上是增函数,当f′(x)<
0时,f(x)在相应区间上是减函数.
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是( )
3.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减
D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增
4.若y=x+
(a>0)在[2,+∞)上是增函数,则a∈________.
题型一 求函数的单调区间
(3)f(x)=4ex(x+1)-x2-4x;
题型二 讨论函数的单调性
已知函数f(x)=x-
+a(2-lnx),a>
0.讨论f(x)的单调性.
题型三 求参数的取值范围
已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-
,0)内是减函数,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)的单调减区间是(-
,0),求a的值.
函数在某区间上的单调性的讨论
(1)在区间内f′(x)>
0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:
∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
(3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,方程化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题.要注意“=”能否取到
题型四函数在某区间上的单调性的讨论
(1)已知函数g(x)=
x3-
x2+2x+1,若g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
课标全国Ⅰ,文)若函数f(x)=x-
sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.[-1,
]C.[-
,
]D.[-1,-
]
注意:
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立;
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f′(x)≤0,且在(a,b)的任意子区间,等号不恒成立.
构造函数
f(x)为定义在R上的可导函数,且f′(x)>
f(x),对任意正实数a,则下列式子成立的是( )
A.f(a)<
eaf(0) B.f(a)>
eaf(0)C.f(a)<
D.f(a)>
若函数f(x)的定义域为R,且满足f
(2)=2,f′(x)>
1,则不等式f(x)-x>
0的解集为________.
设a>
0,b>
0,e是自然对数的底数.则( )
A.若ea+2a=eb+3b,则a>
b
B.若ea+2a=eb+3b,则a<
C.若ea-2a=eb-3b,则a>
D.若ea-2a=eb-3b,则a<
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足
xf′(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<
b,则必有( )
A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)
函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)__<
__f(x0),那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);
如果对x0附近的所有的点,都有f(x)__>
__f(x0),那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.
(2)当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法:
如果x<
x0有f′(x)__>
__0,x>
x0有f′(x)__<
__0,那么f(x0)是极大值;
__0,那么f(x0)是极小值.
求可导函数f(x)极值的步骤
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的值的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;
如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值
函数的最值的概念
设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大(最小)值,叫做函数y=f(x)的最大(最小)值.
求函数最值的步骤
设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最值,可分两步进行:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
4.若函数f(x)的导函数f′(x)的图像,如图所示,则( )
A.x=1是最小值点B.x=0是极小值点
C.x=2是极小值点D.函数f(x)在(1,2)上单调递增
(2017·
皖南八校联考)函数f(x)=(x-1)(x-2)2在[0,3]上的最小值为( )
A.-8B.-4C.0D.
题型一 利用导数求函数的极值
已知函数f(x)=x-alnx(a∈R),求函数f(x)的极值.
可导函数求极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(3)用方程f′(x)=0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格;
(4)由f′(x)=0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况,此步骤不可缺少,f′(x)=0是函数有极值的必要条件.
题型二 利用极值求参数值
若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.
(2)若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-∞,-1)D.(1,+∞)
题型三 利用导数求函数的最值
已知函数f(x)=xlnx.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数).
题型四 利用最值求参数值
已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在参数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?
若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
(1)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立.则实数a取值范围是( )
A.[-5,-3] B.[-6,-
]C.[-6,-2]D.[-4,-3]
(2)已知f(x)=lnx+a(1-x).
①讨论f(x)的单调性;
②当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
定积分
(1)(2014·
山东,理)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.2
B.4
C.2D.4
题型一 导数与函数图像
(2016·
新课标全国Ⅰ)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为( )
导数与不等式
(1)(2017·
沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
①求f(x)的单调区间与极值;
②求证:
当a>
ln2-1且x>
0时,ex>
x2-2ax+1.
题型三 导数与方程
已知函数f(x)=ex,x∈R.
(1)求f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:
曲线y=f(x)与直线y=ex有唯一公共点.
(1)若a>
,则方程lnx-ax=0的实根的个数为( )
A.0个 B.1个C.2个D.无穷多个
(2)已知函数g(x)=
x2-
x+lnx-b在[1,4]上有两个不同的零点,求实数b的取值范围.
题型四 导数与最优化问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克)满足关系式y=
+10(x-6)2.其中3<
x<
6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
高考中的函数与导数大题的答题策略
典例 (12分)(2016·
课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2<
2.
解题思路——研读信息·
快速破题
本题可拆解成以下几个小问题:
(1)①判断a=0时,f(x)的零点个数;
②判断a>
0时,f(x)的零点个数;
③判断a<
0时,f(x)的零点个数.
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