新北师大版数学八下第四章 因式分解教案.docx
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新北师大版数学八下第四章因式分解教案
第四章因式分解
4.1因式分解
教学目标:
知识与技能:
使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念;通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化与化归的能力,培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
过程与方法:
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法;通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识。
情感与态度:
培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考,勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点:
因式分解的概念
难点:
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系,并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
教学过程:
第一环节复习回顾:
下题简便运算怎样进行
问题1:
736×95+736×5问题2:
-2.67×132+25×2.67+7×2.67
第二环节比较探究:
问题3:
(1)993-99能被99整除吗?
为了回答这个问题,你该怎样做?
把你的想法与同学交流。
993-99=99×992-99=99(992-1)
∴993-99能被99整除
(2)993-99能被100整除吗?
为了回答这个问题,你该怎样做?
把你的想法与同学交流。
小明是这样做的:
993-99=99×992-99×1=99(992-1)
=99(99+1)(99-1)
=99×98×100
所以993-99能被100整除
想一想:
(1)在回答993-99能否被100整除时,小明是怎么做的?
(2)请你说明小明每一步的依据。
(3)993-99还能被哪些正整数整除?
为了回答这个问题,你该怎做?
(老师点拨:
回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式?
)
小结:
以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
可以了解:
993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
学生探究发现:
用a表示任意一个大于1的整数,则:
①你能理解吗?
你能与同伴交流每一步怎么变形的吗?
②这样变形 是为了达到什么样的目的?
议一议:
经历从分解因数到分解因式的类比过程。
探究概念本质属性。
第三环节:
引出概念:
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
第四环节:
类比练习
计算下列式子:
(1)3x(x-1)=;
(2)m(a+b-1)=;
(3)(m+4)(m-4)=; (4)(y-3)2=;
根据上面的算式填空:
(1)3x2-3x=;
(2)ma+mb-m=;
(3)m2-16=; (4)y2-6y+9=.
思考:
因式分解与整式乘法有什么关系?
举例说明
第五环节反馈练习
1、看谁连得准 x2-y2 (x+3)2
9-25x2 y(x-y)
+6x+9 (3-5x)(3+5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
2、下列哪些变形是因式分解,为什么?
(1)(a+3)(a-3)=a2-9
(2)m2-4=(m+2)(m-2)
(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
(4)2πR+2πr=2π(R+r)
第六环节:
小结
1、你能说说什么是分解因式吗?
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2、应该怎样认识“因式分解”?
(分解因式与整式乘法是互逆过程.)
3、分解因式要注意以下几点:
分解的对象必须是多项式;分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;要分解到不能分解为止.
第七环节:
第94页习题2.1第3,4,5题
第八环节:
板书设计
教学反思
4.2提公因式法
(一)
教学目标:
1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与质因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想;通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识。
教学重点:
因式分解的概念及提公因式法的应用。
教学难点:
正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。
教学过程
第一环节温故知新
计算:
采用什么方法?
依据是什么?
第二环节想一想
多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?
多项式3x2+x呢?
多项式mb2+nb–b呢?
结论:
多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
第三环节议一议
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?
那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么?
结论:
(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数;
(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式.
第四环节试一试
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式:
(1)ab+ac
(2)x2+4x(3)mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
第五环节做一做
将下列多项式进行分解因式:
(1)3x+
(2)7x
–21
(3)8a3b2–12ab3c+ab (4)–24x3+12x2-28x
教学中注意讲清确定公因式的具体步骤,从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析;讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系,并思考:
如果提出公因式,另一个因式是否还有公因式?
从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。
最后学生归纳:
提取公因式的步骤:
(1)找公因式(从系数、字母和字母的次数分析);
(2)提公因式.
易出现的问题:
(1)第二题只提出7x作为公因式
(2)第(3)题中的最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;
(3)第(4)题提出“–”时,后面的因式不是每一项都变号.
教师提醒:
(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同;
(3)如果多项式的首项为“–”时,则先提取“–”号,然后提取其它公因式;
(4)将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘,其积是否与原式相等.
第六环节:
想一想:
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?
(互逆关系)
第七环节:
反馈练习
1、找出下列各多项式的公因式:
(1)4x+8y
(2)am+an(3)48mn–24m2n3(4)a2b–2ab2+ab
2、把下列各式因式分解:
(随堂练习)
第八环节:
板书设计
教学反思
4.2提公因式法
(二)
教学目标:
知识与技能:
能确定多项式各项的公因式;会用提取公因式法进行因式分解.
过程与方法:
1.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力。
2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想。
3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力。
情感与态度:
通过观察能合理地进行分解因式的推导,并能清晰地阐述自己的观点。
教学重点:
用提公因式法把多项式分解因式。
教学难点:
探索多项式因式分解方法的过程。
教学过程:
第一环节回顾与思考:
复习提公因式法及注意事项
把下列各式因式分解:
(1)
(2)
+9b
(3)
(4)
第二环节探索新知(例题讲解)
因式分解:
(1)a(x–3)+2b(x–3)
(2)
第三环节练一练
1、x(a+b)+y(a+b)2、3a(x-y)-(x-y)
3、6(p+q)2-12(q+p)4、a(m-2)+b(2-m)
做一做
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号,使等式成立:
(1)2–a=(a–2)
(2)y–x=(x–y)
(3)b+a=(a+b) (4)(b–a)2=(a–b)2
(5)–m–n=(m+n) (6)–s2+t2=(s2–t2)
归纳所得规律:
(1)首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系;
(2)当前后两个多项式的底数相等时,则只要在第二个式子前添上“+”;
(3)当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时,如果指数是奇数,则在第二个式子前添上“–”;如果指数是偶数,则在第二个式子前添上“+”。
第四环节例题讲解
将下列各式因式分解:
(1)a(x–y)+b(y–x)
(2)3(m–n)3–6(n–m)2
第五环节反馈练习
2、把下列各式因式分解:
(1)x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x–y)–(x–y)
(3)6(p+q)2–12(q+p)(4)a(m–2)+b(2–m)
(5)2(y–x)2+3(x–y)(6)mn(m–n)–m(n–m)2
第六环节问题解决:
某大学有三块草坪,第一块草坪面积为
,第二块草坪面积为
,第三块草坪面积为
,求这三块草坪的总面积。
第七环节小结思考
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?
第八环节 布置作业:
课本第98页习题4.3第1,2题.
第九环节 板书设计
教学反思
4.3 公式法
(一)
教学目标:
知识与技能:
1、理解平方差公式的本质:
即结构的不变性,字母的可变性;
2、会用平方差公式进行因式分解;
3、使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解。
过程与方法:
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性。
情感与态度:
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教学重点:
掌握公式法中的平方差公式进行分解因式
教学难点:
灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式正确判断因式分解的彻底性
教学过程:
第一环节复习回顾
填空:
(1)(x+5)(x–5)=;
(2)(3x+y)(3x–y)=;(3)(3m+2n)(3m–2n)=。
它们的结果有什么共同特征?
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
第二环节探究新知
谈谈你的感受。
结论:
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。
这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说找特征
(1)公式左边:
(是一个将要被分解因式的多项式)
★被分解的多项式含有两项,且这两项异号,并且能写成( )2-( )2的形式。
(2)公式右边:
(是分解因式的结果)
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
试一试写一写
下列多项式能转化成( )2-( )2的形式吗?
如果能,请将其转化成( )2-( )2的形式。
第三环节范例学习
例1把下列各式因式分解:
(1)25–16x2
(2)9a2–
明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”。
第四环节落实基础
1、判断正误:
(1)x2+y2=(x+y)(x–y)()
(2)x2–y2=(x+y)(x–y)()(3)–x2+y2=–(x+y)(x–y)() (4)–x2–y2=–(x+y)(x–y)()
2、把下列各式因式分解:
第五环节能力提升
例2:
把下列各式因式分解:
目的:
进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数,而且可以表示其它代数式(注意使用整体方法进行教学),只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解。
同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。
总结分解因式的一般步骤:
一提二套,多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
注意:
在讲解使用整体法进行分解因式时,需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化,这往往是大多数学生容易出现的错误情况。
第六环节巩固练习
1.把下列各式分解因式:
2.简便计算
第七环节联系拓广
例3:
如图,在一块边长为a的正方形纸片的四角,各剪去一个边长为b的正方形.用a与b表示剩余部分的面积,并求当a=3.6,b=0.8时的面积.
问题解决:
如图,大小两圆的圆心相同,已知它们的半径分别是Rcm和rcm,求它们所围成的环形的面积。
如果R=8.45cm,r=3.45cm呢?
第八环节小结
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?
通过学生的回顾与反思,强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解,发展学生的观察能力和逆向思维能力,加深对类比数学思想的理解.
注意:
学生认识到了以下事实:
(1)有公因式(包括负号)则先提取公因式;
(2)整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系;
(3)平方差公式中的a与b既可以是单项式,又可以是多项式;
第九环节作业布置:
完成课本P100页习题4.4第1题
(1)(3)(5)(7)
板书设计:
教学设计:
4.3公式法
(二)
教学目标:
知识与技能:
使学生了解运用公式法分解因式的意义;会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数);使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.
过程与方法:
经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力。
情感与态度:
培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为,体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重点:
掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式。
教学难点:
灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性问题。
教学过程
第一环节复习回顾
第二环节学习新知
第三环节落实基础
1.判别下列各式是不是完全平方式.
2.请补上一项,使下列多项式成为完全平方式.
结论:
找完全平方式可以紧扣下列口诀:
首平方、尾平方,两倍乘积在中央;
完全平方式可以进行因式分解,
a2–2ab+b2=(a–b)2a2+2ab+b2=(a+b)2
第四环节范例学习
例1.把下列各式因式分解:
注意:
灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键,在运用整体法时,注意去括号后的符号变化和系数变化。
例2.把下列各式因式分解:
注意:
在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成:
(1)有公因式,先提公因式;
(2)再用公式法进行因式分解.
第五环节随堂练习
1.判别下列各式是不是完全平方式,若是说出相应的a、b各表示什么?
2、把下列各式因式分解:
第六环节联系拓广
1.用简便方法计算:
2.将
再加上一个整式,使它成为完全平方式,你有几种方法?
3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:
“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?
”
第七环节自主小结
从今天的课程中,你学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?
你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系?
结论:
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
注意:
学生认识到了以下事实:
第八环节课后作业:
完成P103习题4.5 1、2;
拓展作业:
两个连续奇数的平方差能被8整除吗?
为什么?
板书设计:
教学设计
- 配套讲稿:
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