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(1)总体为所有的豌豆,豌豆按颜色和形状分为四类:
A1
—黄
而圆的,
A2
—青而圆的,
A3
—黄而有角的,
A4
—青而有
角;
(2)每种豌豆的比率(概率)分别为:
p1
P(
A1)
,
p2
)
,
p3
p4
,但未知;
(3)根据理论或经验提出假设:
9
16
3
1
;
例记为
p1,
L
pr
,其中
pi
>
0
∑
,但
未知。
也即总体分布
(5)根据观察数据检验如下假设:
H0
:
16
若接受
,说明观察数据符合孟德尔的遗传学理论,也即说明
孟德尔的遗传学理论正确;
若拒绝
,说明观察数据不符合孟德尔的遗传学理论,也即
说明孟德尔的遗传学理论不正确。
二、分类数据检验问题的统计模型
(一)问题的一般提法
1、总体分布
设总体根据某项指标分为
类,记为
A1,
Ar
,各类所占的比
r
i=1
为:
总体类别
比例
A1
p1
A2
p2
L
Ar
pr
2、假设检验
根据理论,或从经验出发提出一个原假设:
:
pi0
i
1,
2,L
(*)
其中
r
已知,且
1。
3、研究内容
i
对该总体独立重复观察
个个体,记
个个体中,属于
A
的观察
2
个数为
ni
,其中有
,基于观察值
对
原假设(*)进行检验。
(二)检验方法
1、
χ
2
检验
(1)检验统计量
(2)统计量的渐进分布
(ni
-
npi0
)2
npi0
−−→
(r
-1)
(3)拒绝域(给定检验水平α
,一般取α
0.1,
0.05,
0.01
)
W
{χ
≥
χ1-α
-1)}
若
∈W
,则在检验水平α
下拒绝
∉W
下接受
(4)检验
p
值(给定检验水平α
P
(χ
-1)
≤
α
(5)注:
检验采用近似分布进行检验,要求样本容量大,一
般
50
5
。
2、似然比检验
随机向量
(n1,
n2
nr
~
M
(n,
,即
的联合分
3
布列为:
p(n1,
;
=
样本
的似然函数为:
L(
n1,
n!
n1
!
L
nnr
p11
p22
pnr
检验问题(*)的似然比
Λ
p10
p20
pr0;
Sup
pn0
注:
参数
满足
,似然比可以写为:
Λ=
pn-1
(1-
-L
pr-1)nr
pr-1
求解Supp1n
p2n
prn-1
pr-1)n
记
Q(
pr-1)
p1n
pr-1)n
ln
+
ln(1-
pr-1)
12r-1r
r-1
4
⎧
∂
Q
⎪
令:
∂p2
M
∂pr-1
n1nr
12r-1
⎪=
可得
⎨
p21-
⎩r-11-
nnnn
p1p2pr-1pr
n
也即参数
的最大似然估计为:
ˆ
ni
则似然比
n2
⎝
⎭
⎭
nr
i=1
i=1⎝
成立,当
→
+∞
时,
F2
5
{-2
ln(Λ)
-2
ln(Λ))
三、引例分析
(1)记号
黄而圆的,
青而圆的,
黄而有角的,
青
而有角;
黄而圆的豌豆个数,
青而圆的豌豆个数,
n3
黄
而有角的豌豆个数,
n4
青而有角的豌豆个数;
(2)观察数据
315
108
101
32
(3)原假设:
(4)
类别
pi0
6
0.5625
312.75
0.01618705
0.1875
104.25
0.134892086
A3
0.101318945
A4
0.0625
34.75
0.217625899
合计
556
0.470023981
自由度
-1
值
0.925425895
⎛
⎫
-2ni
ç
⎪
0.566546763
0.992857143
4.516148372
0.194244604
0.965277778
7.633303152
0.181654676
1.032178218
-6.397611455
0.057553957
1.0859375
-5.27639483
4.076250638
0.475445239
ln(Λ)
0.924251904
检验
值为
0.925425895,表明不能拒绝
,即认为孟德尔的遗传
学理论是正确的。
(5)似然比检验
0.924251904,表明不能拒绝
7
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