全国大学生数学建模竞赛D题获奖论文.docx
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全国大学生数学建模竞赛D题获奖论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
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我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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评
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备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
会议筹备的优化方案
摘要
本文研究的是会议筹备问题,从经济、方便、代表满意等方面,为会议筹备组制定的一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的优化方案。
本文从预定哪些宾馆和怎样租借会议室的角度考虑,建立了0—1规划模型。
文章对以往几届会议代表回执和与会情况等数据的处理,拟合出本届与会代表人数为908人,以及通过对客房及会议室的规格、间数、价格等数据和对本届会议的代表回执中有关住房要求的信息的分析,达到花费最少、宾馆尽量靠近、代表满意三大要求而建立了IQP优化模型。
本模型在求解时,将多目标函数转化成单目标函数,并且设置满意度系数,通过MATLAB来拟合参与会议代表的人数,利用LINGO编程,在计算机上运行,得出预定哪些宾馆的客房,租借哪些会议室以及如何租用客车。
具体结果如下:
筹备组应该预订第一、第二、第四、第六家宾馆,算出预订的宾馆中所有客房能容纳910人,而实际有908人,空出两个床位;租借第一家宾馆的第一种规模会议室(1个)和第二种规模会议室(2个),第二家宾馆的第一种规模会议室(2个),以及第六家宾馆的第一种规模会议室(1个),总共需租借6个会议室。
会议室一共能容纳920人,比实际超出12个;租借45座类型的客车18辆,33座类型的客车3辆,总共909个座位,只有1个位置是空位。
该结果同时考虑到了经济,方便,代表满意三个方面,使结果达到了合理的状态,是一种最优方案。
该模型通过考虑以往几届会议代表回执和与会情况数据的分析,利用灰色理论预测拟合,准确性和适度性较高。
本模型也是今后各种会议筹备的一种有利方案。
关键词:
会议筹备IQP优化方案0—1规划目标函数MATLABLINGO
一、问题的重述
在某届全国性会议中,会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房,租借会议室并租用客车接送代表。
为了便于管理,除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外,所选择的宾馆数量应该尽可能少,并且距离上比较靠近。
筹备组筛选出①—⑩家宾馆作为备选,相对位置见附图,有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。
本届会议的代表回执中有关住房要求的信息(附表2),以往几届会议代表回执和与会情况(附表3),可以为预订宾馆客房提供参考。
此外,客房房费由与会代表自付,但是如果预订客房的数量大于实际用房数量,筹备组需要支付一天的空房费,而若出现预订客房数量不足,则将造成非常被动的局面,引起代表的不满。
会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议,由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会,筹备组还要向汽车租赁公司租用客车(45座、36座和33座三种类型)接送代表,三种类型客车的租金分别是半天800元、700元和600元。
如何通过数学建模方法,从经济、方便、代表满意等方面,为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
二、模型的假设
1.假设开放的宾馆中的各种规格的客房都要住人;
2.假设预定的客房、租借的会议室和租用的客车都是可以正常使用的;
3.假设中途无突发事件发生;
4.假设出席会议的所有与会代表都要参加分组会议;
5.假设单人房间住满后,要求独住的与会代表可选择一人独住双人间;
三、符号的说明
第i家宾馆所有客房总的价钱;
租借的第i家宾馆的第j种会议室的间数;
租借的第i家宾馆的第j种会议室半天中每间的价格;
第i家宾馆到第k家宾馆的最短路程;
第i家宾馆中所有客房能住的人数;
第l种客车的座位数;
第i家宾馆的第j种会议室中每间能容纳的人数;
租借的第l种客车半天每辆的价格;
第i家宾馆是否被预定;
第i家宾馆的第j种会议室是否被租用;
第l种客车的辆数;
四、问题的分析
该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题,初步分析题意,我们建立以费用最少,路程最短,代表满意高为目标函数的非线性的规划模型。
回执的定义:
会议通知或邀请函所附的填写后寄回筹备组的部分,内容包括能否应邀出席等。
4.1与会代表人数的的分析
附表3以往几届会议代表回执和与会情况
第一届
第二届
第三届
第四届
发来回执的代表数量
315
356
408
711
发来回执但未与会的代表数量
89
115
121
213
未发回执而与会的代表数量
57
69
75
104
从附表3,如图,以往几届会议代表回执和与会情况表,我们可以得到这四届的与会人数分别为:
第一届与会代表的人数:
315-89+57=283;
第二届与会代表的人数:
356-115+69=310;
第三届与会代表的人数:
408-121+75=362;
第四届与会代表的人数:
711-213+104=602.
我们通过以上数据拟合得到的二项式方程为:
,当x=5时,可以求得y=908,即得出第五届与会代表的人数为908人(具体程序见附表)。
同时也可以得到拟合曲线如图:
4.2会议筹备方案的分析
会议服务公司的会议筹备组为了使在客房、会议室、客车中的总花费最少,在与会代表开会时要使他们从宾馆到会议室的距离更近,以及客房的住处和价位合理安排,分别从经济、方便、代表满意三个方面进行分析。
于是我们需要三个目标函数,然后将三目标函数转化为单目标函数,并且给与权重系数,满足
,由于在三个方面中经济相对而言更重要,所以令其权重系数为
=0.5,其次是方便程度,
=0.3,最后考虑代表的满意程度,令
=0.2。
由于选择的宾馆要尽可能少,所以我们考虑预定的宾馆中的客房都要租借,因此我们在考虑筹备组是否预定第i家宾馆时,建立了0—1规划模型,即
;同理,考虑第i家宾馆的第j种规格的全部会议室是否租借,也建立0—1规划模型,即
4.2.1会议筹备方案中在经济方面的分析
由于客房房费是由与会代表自付,但是如果预订客房的数量大于实际用房数量,筹备组需要支付一天的空房费,所以,我们假设预定客房的数量与实际用房数量相等。
从而筹备组只需要考虑会议室和客车的费用。
当租借某家会议室时,该会议室的费用=间数
该间会议室半天的价格,所以会议室的总费用为租借的所有会议室费用之和,
由于我们用
表示第l种客车的辆数,则客车的费用=第l种客车的量数
该种客车每辆半天的价格,所以筹划组所花的费用包括租借会议室和客车两部分的费用。
4.2.2从方便的角度来分析会议筹备方案
为了便于管理,除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外,所选择的宾馆数量应该尽可能少,并且距离上比较靠近。
由于我们不知道与会代表住在哪个宾馆的哪个客房,也不知道其要去哪个会议室开会,所以我们用总的最短路程来衡量与会代表的方便,我们算出每个宾馆到其他宾馆的最短路程,并构成一个10
10的矩阵,即
从而通过数据处理就可得到最短路程的目标函数。
4.2.3从代表满意的角度来分析会议筹备方案
由于住房1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间,为了简便,我们考虑平均值,计算得到:
住房1每天每间的平均价格为140元,住房2每天每间的平均价格为180元,住房3每天每间的平均价格为250元,
附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息(单位:
人)
合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男
154
104
32
107
68
41
女
78
48
17
59
28
19
从而可以计算出住房1所有费用=
元;
住房2所有费用=
元;
住房3所有费用=
元,
因此代表住房要求的总费用为39480+30960+21250=91690元。
我们已经知道,用
表示第i家宾馆所有客房总的价钱;然而由表1,备选宾馆的价格的数据可以得到每家宾馆所有客房的总费用:
我们用备选宾馆所有客房的总费用与代表住房要求的总费用差的平方的最小值来衡量代表的满意程度。
根据我们拟合出来的第五届与会代表的人数908人,宾馆中所有客房能住的人数要超过908人,即
;租借的客车所有座位数应该超过908个,即
;所有的会议室能容纳的代表也应该不少于908人,即
;由于会议期间有一天的上下午要各安排6个分组会议,筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室,由于下午和上午开会的地点没有变,只是开会的项目变化了,为了方便起见,我们只考虑上午会议室的安排就可以得到最优了,即
;此外,宾馆的预定与会议室的租借都是0—1规划模型,我们在考虑宾馆和会议室的时候,当宾馆预订时,此会议室可以开,也可以不开,但是当某个会议室租借时,对应的宾馆就必须预订,所以得到宾馆和会议室之间的对应关系为
。
五、模型的建立与求解
我们对问题进行分析后,作出了相应的假设和符号说明,建立起针对会议筹备的优化模型:
从筹备组的经济考虑,建立目标函数为:
从方便程度出发,建立目标函数为:
从代表的满意程度考虑,建立目标函数为:
我们将这三个目标函数转化成单目标函数,可以得到:
为权重系数,且
。
宾馆中所有客房能住的人数,宾馆中所有客房能住的人数以及所有的会议室能容纳的代表均不得少于908人,在宾馆中租借的所有会议室总数应该恰好为6个,此外,宾馆和会议室之间的对应关系为
从而可以得到简易模型
目标函数为:
约束条件为:
由于模型涉及的数据比较多,我们采用LINGO编程,并通过变化
的值来使结果达到最优解(程序见附录),最后在计算机上运行得到:
时得到最优方案,即筹备组应该预订第一、第二、第四、第六家宾馆,租借第一家宾馆的第一种规模会议室(1个)和第二种规模会议室(2个),第二家宾馆的第一种规模会议室(2个),以及第六家宾馆的第一种规模会议室(1个),租借45座类型的客车18辆,33座类型的客车3辆。
六、模型的推广和评价
Ⅰ、模型的优点
1.本文所建立的模型方法直观,通俗易懂;
2.模型可以通过软件进行整数规划求解,节省人力和时间;
3.该模型含有参数,我们可以根据实际情况来调整权重系数,使结果达到优化;
4.该模型得出的方案符合实际情况;
Ⅱ、模型的缺点
该模型在处理数据时,由于数据比较多,比较繁杂,以及考虑的因素非常多,所以使结果不是绝对的完美。
Ⅲ、模型的推广
我们建立的模型可以广泛的应用到生活中去,也可推广到其他的各个领域,比如说学校教师的会议筹划,工厂中工人的会议安排,医院大型学术会议的筹备工作等。
七、参考文献
【1】萧树铁,数学实验,北京:
高等教育出版社,1999。
【2】李维铮,运筹学(第三版),北京:
清华大学出版社,2005。
【3】姜启源,谢金星,叶俊,数学模型(第三版),北京:
高等教育出版社,2003。
附录:
拟合与会代表人数的程序为:
xy=[1283
2310
3362
4602];
x=xy(:
1);
y=xy(:
2);
plot(x,y,'r*')
holdon
A=polyfit(x,y,2);
x=0:
0.1:
5;
y=53.25*x.^2-165.35*x+403.25;
plot(x,y)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
title('对会议代表人数的拟合')
求解程序为:
model:
sets:
nd/1..10/:
i,x,k,e,a;
hy/1..4/:
j;
ch/1..3/:
l,z,s,f;
links(nd,hy):
y,b,c,g;
links1(nd,nd):
d;
endsets
min=0.4*(@sum(nd:
x*a)-91690)^2+0.3*(@sum(links:
y*b*c)+@sum(ch:
z*s))+0.3*@sum(nd(i):
@sum(hy(j):
y(i,j))*@sum(nd(k):
d(i,k)));
@sum(nd:
e*x)>908;
@sum(ch:
f*z)>908;
@sum(links:
b*y)=6;
@sum(links:
g*b*y)>908;
@for(nd(i):
@bin(x));
@for(links:
@bin(y));
@for(nd(i):
@for(hy(j):
y(i,j) @for(ch(l): @gin(z)); data: a=25400250001587016000185002520022900217003240026900; b=1220 2133 1213 2300 2130 1100 2310 1200 1210 1200; c=150012006000 10001500300300 12008001000320 90030000 100015005000 1000120000 80030010000 100080000 130080012000 1500100000; s=800700600; d=01508506506006003005006501300 15007005007507504506508001450 8507000200145014501150100011502150 650500200012501250950115013001950 6007501450125006003005006501300 600750145012506000300500350700 300450115095030030002003501000 5006501000115050050020001501200 6508001150130065035035015001050 130014502150195013007001000120010500; e=210300175190220210170205150200; f=453633; g=200150600 1301804530 20010015060 1505000 150180500 16018000 140602000 16013000 1601202000 18014000; enddata end 附表110家备选宾馆的有关数据 宾馆代号 客房 会议室 规格 间数 价格(天) 规模 间数 价格(半天) ① 普通双标间 50 180元 200人 1 1500元 商务双标间 30 220元 150人 2 1200元 普通单人间 30 180元 60人 2 600元 商务单人间 20 220元 ② 普通双标间 50 140元 130人 2 1000元 商务双标间 35 160元 180人 1 1500元 豪华双标间A 30 180元 45人 3 300元 豪华双标间B 35 200元 30人 3 300元 ③ 普通双标间 50 150元 200人 1 1200元 商务双标间 24 180元 100人 2 800元 普通单人间 27 150元 150人 1 1000元 60人 3 320元 ④ 普通双标间 50 140元 150人 2 900元 商务双标间 45 200元 50人 3 300元 ⑤ 普通双标间A 35 140元 150人 2 1000元 普通双标间B 35 160元 180人 1 1500元 豪华双标间 40 200元 50人 3 500元 ⑥ 普通单人间 40 160元 160人 1 1000元 普通双标间 40 170元 180人 1 1200元 商务单人间 30 180元 精品双人间 30 220元 ⑦ 普通双标间 50 150元 140人 2 800元 商务单人间 40 160元 60人 3 300元 商务套房(1床) 30 300元 200人 1 1000元 ⑧ 普通双标间A 40 180元 160人 1 1000元 普通双标间B 40 160元 130人 2 800元 高级单人间 45 180元 ⑨ 普通双人间 30 260元 160人 1 1300元 普通单人间 30 260元 120人 2 800元 豪华双人间 30 280元 200人 1 1200元 豪华单人间 30 280元 ⑩ 经济标准房(2床) 55 260元 180人 1 1500元 标准房(2床) 45 280元 140人 2 1000元 附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息(单位: 人) 合住1 合住2 合住3 独住1 独住2 独住3 男 154 104 32 107 68 41 女 78 48 17 59 28 19 说明: 表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间。 合住是指要求两人合住一间。 独住是指可安排单人间,或一人单独住一个双人间。 附表3以往几届会议代表回执和与会情况 第一届 第二届 第三届 第四届 发来回执的代表数量 315 356 408 711 发来回执但未与会的代表数量 89 115 121 213 未发回执而与会的代表数量 57 69 75 104 附图(其中500等数字是两宾馆间距,单位为米)
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