高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
2009江西财经大学数学建模竞赛
C题
交叉路口的交通管理和控制问题
参赛队员:
卢文敏、郝惜、刘鹏燕
参赛队编号:
2009060
2009年5月22~27日
2009江西财经大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写):
C
我们的参赛队编号为2009060
参赛队员(打印并签名):
队员1.姓名卢文敏专业信息管理与信息系统
队员2.姓名郝惜专业信息管理与信息系统
队员3.姓名刘鹏燕专业信息管理与信息系统
日期:
2009年5月27日
2009江西财经大学数学建模竞赛
编号和阅卷专用页
参赛队编号:
2009060
参赛队员填写
参赛队
员姓名
数学类与计算机类课程成绩
是否选修数学建模
是否有意愿参加全国竞赛
卢文敏
是
否
郝惜
是
否
刘鹏燕
是
否
阅卷填写,参赛者不得填写
评阅人
小组评价负责人
评分(百分制)
最终得分
阅卷
专家
评语
备注
1、是否选修数学建模:
指本学期是否选修了数学建模课程
2、是否有意愿参加全国竞赛:
指参加今年的全国大学生数学建模竞赛,一经选定,不得退赛,否则将建议学生所在学院给予处分。
培训时间:
2008年7月25日开始。
江西财经大学数学建模竞赛组委会
2009年5月4日制定
交叉路口的交通管理和控制问题
摘要
随着国民经济的持续、高速发展,各种机动车尤其是私家车拥有量急剧增加带来了交通运输业的空前繁荣。
但是,大多数城市的交通已从过去的局部拥挤演变成为当今的大范围全面紧张,如我国的一个大城市,当处于早晚交通高峰时,交叉路口处的阻车长度长达1000多米,有的阻车车队从一个交叉路口延伸到另一个交叉路口,这时一辆车为通过一个交叉路口,往往需要半个小时以上,还不如步行快,这给城市交通带来了难以承受的负荷。
拥挤不仅带来时间的浪费,还导致公交系统运行的无规则性,如公交汽车不能按时到站等,使人们对自己的旅行时间无法估计,耽误工作和计划等。
这种紧张状况日趋严重,已成为大城市突出的社会问题之一,也成为国民经济进一步发展的“瓶颈”问题。
因此,必须面对现实,解决城市的交通拥挤,堵塞问题。
本文结合南昌市交通阻塞典型状况,具体分析了造成城市交通阻塞的原因,并结合具体问题,建立数学模型解决交通阻塞问题。
本文着重讨论交叉路口的交通状况和调度方案,结合实际并充分利用了现有路口的通行能力,通过对交通阻塞原因分析包括交叉口通行能力强弱和路段通行能力分析,得到交叉口最大通行能力的一般计算公式;通过交通控制策略分析给出了一个合理的调度方案(包括缓冲区优化和色灯分配方案的优化),确定信号周期,建立单交叉口调度模型,达到对交通阻塞问题的分析与治理,对缓解城市交通拥挤,改善交通状况具有一定现实意义。
关键词 道路规划 汽车流量 交叉路口 信号周期缓冲区.
一问题的提出
随着城市的高速发展,城市人口急剧膨胀,城市道路交通压力越来越大,交叉口交通拥挤、延误、环境问题日益突出。
城市交通管理问题的基本问题之一,是城市道路交通车道设计控制问题。
即根据不同交叉路口、不同方向,合理的设计各条道路及交叉路口车道。
(1)请建立数学模型评价您所在的城市不同类型的典型平面交叉路口车道设计的合理性。
(2)请您针对不同的道路条件设计车道,并根据您建立的数学模型评价其合理性。
注意:
车道设计的合理性与交通流量、车速、车型都有密切关系,在本问题中不考虑交通流量稀少的情况
二调查分析
我们选择孺子路(南北向)与八一路(东西向)交汇的十字路口为考查对象,原因如下:
1.高峰期时,孺子路到该十字路口路段上滞留的车辆总长经常超过350米;
2.交通电台经常播报该路口塞车;2001年7月8日下午3点到5点,根据该电台
的报道,孺子路上出现了一起交通事故和一起塞车事件。
经过实地考查,我们发现该十字路口的交通堵塞主要是由以下原因造成的:
原因1.道路太窄,单向仅有两个车道(如图1),导致车流无法畅通;
十字路口
其中,表示自行车、摩托车流
表示机动车流(不含摩托车)
表示步行人流
表示隔离岛
图1孺子路——八一大道交叉口现状示意图
原因2.自行车摩托车流、直右行车流、左行车流未能分开,因混合车流中各色车辆启
动、正常行驶速率各不相同,行驶方向也各不相同(十字路口处主要是左行车
流与直行车流的冲突),直接导致绿信比降低;
原因3.管理落后,交通信号灯运行周期为:
绿灯(60秒)——黄灯(3秒)——红灯
(60秒)——……
根据高峰期实测数据,左行车流占总车流量的1/4~1/3,应考虑单独扩建一条
左车道的同时应用带相位的信号灯——此设想将在模型建立中详细说明。
原因4.虽已禁止载货汽车7:
00—22:
00通过此路口,但是公交车等大型车辆启动速
度太慢,左转不灵活,直接影响着绿信比,也影响了其他驾驶员的视野。
原因5:
有些车辆不遵守交通规则,例如:
有些车辆在黄灯变红灯的时刻还冲线过十
字路口,造成塞车乃至交通事故;有时自行车流会挡住机动车流的去向——
这些都是违反交通规则的
(说明:
原因1直接导致2、3无法彻底解决;至于原因4,我们建议公交车改道或使用专用车道,此应属城市交通部门及公交公司的全局规划问题,已超出本题研究的范围,故暂不予考虑;至于原因5属于市民交通意识问题,本题不予考虑)
三重要术语
交通量:
单位时间段内,通过道路某一断面的交通实体数。
绿信比:
是某一方向通行效率的指标,即一个相位内某一方向有效通行时间与周期长
度之比。
通行能力:
道路或道路的某一部分(如某一车道)1小时内所能通过的车辆的最大辆
数。
设计通行能力:
指一设计中的道路的一组成部分在预测的道路、交通、控制及环境条
件下,该组成部分一条车道上,在所选用的设计服务水平下,1小时所
能通过的车辆最大辆数。
(参见文献1)
四模型的假设
(1)通往路口的所有车辆完全相同;
(2)路口处不发生事故;
(3)到达路口的车流量服从泊松分布;
(4)同一转向的车通过交叉口的平均速度相同,通过路口所用时间相同;
(5)所有司机遵守调度规则.
五符号说明
Tx:
信号周期,即相邻两次绿灯亮之间的时间间隔;
Dij:
从i到j的车行方向;
V:
交叉口某一入口的通行能力;
N为每车道每小时的通行车辆数;
S:
入口车道的饱和流量;
表示与交叉口相接的4个路段各自的车道数目;
g:
信号的有效绿灯时间.
六问题的分析
6.1交通阻塞原因分析
(1)交叉口通行能力弱
若把路段看成边,交叉路口看成结点,以车行方向为流向的话,则城市交通就是名符其实的规范化的大型有向网络流问题.交通阻塞就是实际的流量超出了网络的边或结点的最大可通行的允许量的实际表现.交通网络流的最大可允许的通行量有两个:
一是路段的最大允许通行量;二是结点上的最大允许通行量.
路段通行能力分析:
通过观测路段的断面车流量数即可得到路段的通行量.国内外许多研究表明,路段上一般不会发生阻塞和拥挤现象;除非个别情况,比如:
出了交通事故,又要保留现场,整条车道上的车子就得停在原地不动;有些车子违章乱放,占用部分车道,造成车辆通行困难;在无港湾式停靠站的地方,公交靠边停站占据非机动车道上、下乘客,造成非机动车辆弯向机动车道等.以上这些都是临时的带偶然性的阻塞现象,只要加强管理就会得到纠正.所以说,在由色灯控制的运行系统里,一般来说,路段是不会因为通行能力不够而产生阻塞.于是交通拥挤现象的症结在道路交叉口.
交叉口通行能力分析:
比如“十”字型交叉的平面路口.典型的“十”字型交叉路口见下图:
1
24
3
图一
当前普遍是采用“红黄绿”色灯,根据交叉路流量的具体情况,由色灯分配通行权.在“交叉口,同样一条车道,不仅要通行东西向的车辆,还要通行南北方的车辆,从通过时间上来说,东西向和南北向各摊一半,通车量也就下降了一半…….若考虑到其它的时间损失,诸如左转车辆干扰损失、自行车干扰损失等,交叉口的通行能力实际上只有路段通行能力的30~45%.正因为交叉路口可允许的通行能力过低,客观上就形成了瓶颈,一旦路段上车流数量稍多,阻塞便会出现.
(2)现行交通信号控制方法中交通信号与交通流量不适应。
目前,各城市交叉口使用最为广泛的是单点定周期控制方式。
这种控制方式存在
的问题有以下几个方面:
1.对交通流的随机变化无适应能力。
由于是定周期方法,因此一旦周期时间和绿信
比选定之后,一般就不再经常改动。
而交通网络中车流、人流的变化是随机的、经常的,
各个周期中交叉路口同一方向上通过的流量可能差异很大。
不同的流量对绿灯时间有着
不同的要求。
所以此种控制方式给出的信号常常不能与客观实际车流的随机变化相适
应。
我们常常遇到这样的情况:
有车辆等待通过的方向信号是红灯,而与此同时无车辆
方向的信号却是绿灯,白白浪费了现有路口通行能力。
为了克服这一缺点,人们考虑运
用概率、统计的方法,在收集了大量交通数据的基础上,对周期时间和绿信比进行离线
优化选择,使选出的周期时间和绿信比在概率意义下的合理性有很大提高。
但是,这又
带来了下面的问题。
2.需要经常调节控制规律。
首先是因为城市土地结构变化很快而带来的车流量变化
很快。
以往的数据很快便失去了实用价值。
因此优化方案不再最优甚至不合理,需要重
新进行数据收集,最优方案选择等工作。
这一点对发展中城市更为明显。
其次是同一路
口、同一方面在每星期中各天的流量是不同的,每天中高峰、平峰、低峰时交通也是
不一样的,这些都要求按预先算好的时刻表、日期表调换周期时间和绿信比,局限性很
大。
并且交通流量的随机性越大,其缺点与明显。
3.没有考虑各交叉路口的联系。
“单点”即指各路口各自进行控制,不管邻近路口
的信号灯翻转规律如何。
这种各个路口互不配合、互不协调的控制方式人为地给交通流
的流动设置了许多阻力。
(参见文献7)
(3)其他交通阻塞原因
①没专用公交车道,也没停车港湾,公交车停靠、启动等对车流影响较大;
②车道过窄,人流太多,人民中路没有自行车道,横行人流对行车影响尤大;
③前面交叉路口红灯排队长度过长;
④右行车辆对直行车量的干扰等;
⑤有些车辆违反交通规定.
6.2交叉口最大通行能力分析
一般来说,交叉口的理想通行能力只有路段通行能力的50%,实际上只有路段通行能力的30~45%.下面先分析一下路段的最大通行能力.
结合我国的情况,汽车驾驶员“根据时速确定前后两车间距,一般以时速公里数为间距米数,……,在晴雨天都比较适用”的原则,若以v(km/h)计车速,一般车身长度以8m计,则有如下关系式:
(1)
其中N为每车道每小时的通行车辆数.
由
说明车流的通过量确实是随车速的增大而增多的,但按
(1)式,混合车辆数又以每小时通过1000辆为其极限值,即
根据我国的车速、车况,每车道混合车型流量每小时以900~1000辆为宜.也就是说,城市快速车道以每小时混合车型1000辆计,非快速车道按900辆计算为妥.
因而,可以得到交叉口最大通行能力的一般计算公式:
表示与交叉口相接的4个路段各自的车道数目.
求得交叉口最大通行能力的意义在于:
通过比较实际测得的交叉口通行能力和该交叉口最大通行能力,可以知道该交叉口提高通行能力的潜力有多大.如果实测通行能力接近最大通行能力,还存在交通阻塞的话,说明通过“软件”的方法奏效不大,只能改造“硬件”.如果实测通行能力小于最大通行能力,说明该路口的调度策略存在改进的可能和必要.通过合理的调度方案,可以进一步通过其通行能力.
交通拥挤和堵塞对策从总体上可分为三大类:
(1)加强道路建设,以提高交通网络的交通容量;
(2)加强交通运用与管理以充分发挥现有道路设施的作用,使得交通网络的使用效率最大;
(3)全面实施交通需求管理以使交通需求在时间、空间上均匀化,交通结构合理化。
由于交通基础设施建设工期长,耗资大,在当前资金有限的条件下,解决特定的城市交通问题时,必须事先进行对策的效果分析。
如前所述,要想比较有效的解决城市的交通拥挤,堵塞问题不能单纯的只依靠增加道路面积和长度,而要不断的完善路网系统,调整路网结构和加强交通管理的现代化,以及对单个车辆的控制及引导。
首先就交通流量的静态情形是一种理想状态,既假设在一个城市街区内车流速度一定,对单个车辆的控制及引导进行研究分析,给出调控标准。
七模型建立与求解
我们将所调查问题的目标定为:
在现有条件下,以尽可能小的经济代价,改善该路口的交通状况——提高道路的设计通行能力,提高绿信比。
由于交通问题一直是困扰人们的一个难题——治标则难见实效,短期内可能有效,
天长日久即显现出其弊病;治本则兴师动众,投入大,短期内难见收益,遇扩路拆迁,若处理不当,还会引起群众的不理解。
下面就治标、治本两个方面,结合南昌的实际情况提出方案。
治标方案:
不扩车道,仅采用较先进的交通管理措施——弊大于利。
治本方案一:
修建立交桥、天桥、地道或者地铁,并辅以智能化管理手段。
这是一个规划和投入都比较大的的工程。
治本方案二:
考虑到治本方案一所需财力、人力、物力过大,且该十字路口尽管经常塞车,但是,该路段是一个应被打通的“瓶颈”,属于较为重要的干道,故我们经过借鉴(参见文献1,3,4)与思考,提出下面的方案:
一,单向拓展为四车道(如图二),实现各种车辆的分流;
其中,
表示自行车、摩托车流
十字路口
表示机动车流(不含摩托车
表示步行人流
表示隔离岛
图2孺子路——八一大道交叉口改进方案示意图
二,采用带左转专用相位的交通信号灯,消除左行与直行车辆的冲突,具体实现如下:
前行信号50秒,前行变左行信号3秒,左行信号17秒,左行变止行信号3秒,止行信号73秒,一个信号周期为146秒。
(之所以左行信号与前行信号时间分配之比近似为1:
3,是因为根据我们的实测数据,左行车流是总车流的1/4~1/3)
三,拓宽十字路口,并在中心建造以下两种辅助管理设施:
1.智能化优先疏导系统:
距十字路口处350米(4个方向)安置传感器,若某方向滞流的车队长度超过350米,则其它方向的车流暂停一个信号周期,优先该向车道行驶;若有三个方向的滞车超过350米,则该系统报警,交由有经验的交警处理;
2.四向滞车情况显示仪:
即时显示四个方向各车道的车数,扩大了司机的视野,便于司机判断该路口的交通状况,有利于提高绿信比。
模型建立:
7.1交通控制策略
(1)设置缓冲区
在路段和交叉口之间设置缓冲区.在缓冲区内进行车流的车道分配等预处理,作好
进入交叉口的准备工作,无疑会对提高交叉口的通行能力有益.
现实生活中,人们正是这样做的.车辆在进入交叉口之前,按其转向进入相应车道排
队.当然这只是最简单的缓冲区,是固定的缓冲区,不会随交通状况改变.
在设计缓冲区时要考虑下几个方面――缓冲区长度、车道分配方案.
缓冲区长度的确定要与信号灯配时方案相结合,达到二者匹配为最佳.基本原则是使得某一路段缓冲区所停的车能够在其通行时间内全部通过.当然,由于达到缓冲区的车流量是随机的,此处的“全部通过”是基于统计数据的,并不能保证所有时刻都达到匹配.
缓冲区车道分配方案:
假设路段共有n条车道,每条车道的属性包括:
来去(其上的车是进入交叉口,还是来自交叉口),转向(其上的车是左转,右转还是直行).这可以在缓冲区人口出设置一个横跨所有路道的指示牌,指示各条车道的属性,以便各车各进所需.目前,一般交叉口都是固定分配的.以南昌市八一大道为例,该路共有8条车道,分配如下:
八一大道现行车道分配
1
2交
3
4叉
左转5
直行6口
直行7
右转8
(2)信号灯配时方案
典型的“+字路口”共有十二个车行方向(相位),如下表:
表1
D16
D12
D14
D34
D36
D38
D58
D52
D56
D78
D72
D74
冲突
D56
D74
D38
D72
D36
D72
D52
D38
D14
D58
D74
D52
D14
D74
D52
D16
D36
D72
D16
D74
D36
D38
D16
D14
D14
D16
D58
D38
D16
D36
D58
D52
路口车辆调度问题就是给各个相位分配一定的绿灯段,使得每一绿灯段内,冲突的相位不同时放行;而调度问题的优化也就是在此基础上寻找使目标函数最优的方案.关于交通信号的基本参数有信号周期,绿灯信号比(简称绿信比),黄灯时间.
7.2单交叉口调度模型
这是一种定时控制方式,是目前国内各城市普遍采用的控制方式.该方式关键在于确定合适的信号灯控制参数——信号周期、各相位的绿信比、黄灯时间.
定义1同一车行方向相邻两次的放行时间间隔称之为一个信号周期.
定义2同时放行一个或多个路口车辆通行方向称之为一个信号相位,显然一个相位内的各通车方向不得冲突.
此处暂且不考虑进出口车道分配,路口车辆调度问题就是在每一个信号周期内给各相位分配一定的绿灯段,使得每一绿灯段内,冲突的相位不同时放行,而调度问题的优化也就是在此基础上寻找使目标函数最优的方案.
(1)信号灯控制设置条件
设置交通信号可以解决平面交叉口的交通冲突问题,但是并不是所有的交叉路口都需要安装信号灯来指挥交通,也不是所有的交叉路口都能够仅靠信号灯就能解决交通问题.比如,在交通量不大的路口安装信号灯指挥交通,只会造成车辆和行人通过路口的延误.根据最新交通研究成果当交叉口总交通量少于该交叉口平均每车道25pcu/h的交通需求水平,即:
交叉口没有必要设置信号灯控制;否则就要设置信号灯控制.在上式中,n代表交叉口入口数,V(i,4)代表第i号入口汽车交通量,R(i)代表第i号入口车道数.同时当交叉口总的交通流量比Y>0.95时,本系统建议在该交叉口处实施交通管制或建设立交桥.
(2)调度优化指标
信号调度主要包括两个方面:
①信号相位设计,决定了如何引导一个信号交叉口各个方向交通流的运行;
②信号配时设计,这是决定各个相位中各信号灯色(绿、黄、红灯)的运行.在这里将上述两个部分统称为信号配时设计.对信号交叉口而言,交叉口上某一入口车道上的通行能力可以使用下式计算:
(2)
其中:
V:
信号交叉口某一入口车道的通行能力(v/h);
S:
该入口车道的饱和流量(v/s);
g:
某相信号的有效绿灯时间(s);
T:
信号周期长度(s).
由于饱和流量与道路的硬件设施有关,这样从上式可以看出,决定信号交叉口某一入口车道通行能力的是信号灯的配时参数.
定义3各个相位的车辆等待通过路口的最大时间称之为最大等待时间.
城市道路交通信号配时优化是根据各个相位交通流量,以相位的有效绿灯时间为自变量,使得给定的目标函数最小的优化方法.目标函数中的性能指标通常取延误时间和停车次数、通行能力、最大等待时间.
车辆平均延误时间计算公式为
(3)
式中,d为车辆平均延误
c为信号周期
u为绿信比(相位有效绿灯时间与周期时间的比),y为交通流量与饱和流量之比.
车辆平均停车次数计算公式为
(4)
式中h为车辆平均停车次数(次).
相位通行能力计算公式为
式中q为通行能力,s为相位的饱和车流量.
(3)确定信号周期
信号周期不能太短,要有一个下限值.但也不能太长,周期越长通行能力就越大,但随着信号周期长度的增加,路口延误时间也增加,因此信号周期长度又一个上限值.
Webster公式基于车辆延误时间最少:
(5)
其中,
表示信号周期,单位为s;L表示总损失时间,单位为s;Y表示交叉口的交通流量比,该流量比Y用下式求得:
(6)
这里的
代表第i相信号临界车道的交通流量比,所谓临界车道是指每一信号相位上,交通流量比最大的那条车道,即:
(7)
其中,
是第i信号临界车道的交通流量,S是第i相信号临界车道的饱和流量.
平峰期间路口车辆延误与用来计算延误的公式较为吻合,而高峰期间实际车辆延误时间比计算延误时间要大.因此对该公式进行修正..本方案采用了“瞎子爬山法”对信号周期进行修正,即以适当步距调整信号周期,然后再计算对应交叉口车辆延误时间,如果上述两项指标均小于初始方案,说明此次调整方向正确,还应当以同样的步距沿同一方向继续对信号周期进行调整,直到获得最小的交叉口车辆延误时间为止.反之,如果第一次调整后的交叉口车辆延误时间比初始方案所对应的值要大,则应朝相反的方向调整信号周期,直到获得最小的交叉口车辆延误时间为止
常见周期计算公式有使车辆延误时间最小的最佳周期计算公式和以使车辆延误时间与停车次数加权之和最小的近似最佳周期计算公式.其中最佳周期计算公式为
(8)
式中,L为交叉口损失时间
Y为交叉口流率比.
①交叉口信号配时优化问题的描述交叉口信号配时优化为如下形式的非线性规划问题:
s.t
其中,
为
为第I信号相位有效绿灯时间(s),n为交叉口信
号相位数,
为第i相位最小有效绿灯
为第I相位损失时间
b为最大周期时间
取各信号相位性能指标之和,即式中,
分别为延误时间、停车次数和通行能力的加权系数.
②信号配时优化的目标函数交叉口信号配时优化目标函数由三项性能指标构成,其中延误时间和停车次数用式
(1)和式
(2)表示.对于一个相位的通行能力,为
(6)式中,
为第i相位的通行能力,
第i相位的饱和流量(辆/h).目标函数计算时间取1h,则周期数为3600/c.在交通的平峰时间,信号配时原则是尽可能减少车辆在交叉口的延误和停车,而在交通高峰则着重提高交叉口的通行能力.因此,延误和停车的加权系数与通行能力加权系数的比值应随交叉口流率比的增加而减少.根据上述分析,取三个加权系数如下:
(4)多交叉口控制
单交叉点调度只考虑了一个交叉点的车辆进出情况,实际上总有许多交叉点对其有影响,尤其是当两个交叉点距离较近时.因为一个交叉点的进口车辆恰是周围交叉点的出口车辆,反之亦然.我们当然不希望一辆车在某一路口等了半天,到另一路口又碰到红灯
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