船过河问题.docx
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船过河问题
求解船过河问题
【渡河问题所涉及的就是渡河的最短时间问题和渡河的最短位移问题。
】
:
船相对水的速度,
其方向即船头方向【或称船头指向,船在静水中的速度】
:
水相对岸的速度,即水的流速
:
船相对岸的速度
【等效模型:
蚂蚁在传送带上爬行】
一条宽度为d的河流,水流速度为
,已知船在静水中的速度为
,那么:
=============================
(1)怎样渡河时间最短?
过河的时间与什么因素有关?
要想过河,关键看
在垂直于河岸方向的速度分量!
【亦即
在垂直于河岸方向的速度分量!
why?
?
因为:
在垂直于河岸方向的速度分量总是0!
】
过河时间仅由船速
的垂直于岸的分量v⊥决定,即
,与水速
无关,所以当
垂直于岸时,过河所用时间最短,
【最短时间为
,与
无关】。
在垂直于河岸方向的速度分量与
在垂直于河岸方向的速度分量总是相等。
why?
?
【另解:
】其实,如图所示,
设
【船头方向】与河岸成任意角θ,这时
在垂直于河岸方向的速度分量V1=
sinθ,渡河所需时间为:
数学知识:
当θ=900时,sinθ=1,所以,当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,
综上,最短渡河时间问题:
无论
、
,还是
,只要
沿垂直于河岸方向渡河,则所用时间最短,
且最短时间为
(其中d为河宽)
===========================
(2)怎样渡河位移最小?
过河路程由实际运动轨迹的方向决定。
易知:
船的合速度V的方向(即合位移方向)与河岸夹角越大,渡河位移越小!
!
!
!
理论上,渡河的最小位移即河的宽度。
如图
所示,理论上,渡河的最小位移即河的宽度d。
此时,船的合速度V的方向(即。
合位移方向)与河岸垂直
这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ【必有θ>0】。
且满足:
V船cosθ=V水Why?
?
?
由于必须满足θ>0,所以只有在V船>V水时,船才有可能垂直于河岸横渡。
如果V水>V船,水流速度大于船在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游。
此时,怎样才能使渡河的位移最短呢?
如图
所示,设船头
与河岸成θ角,合速度V合与河岸成α角。
可以看出:
α角越大,船漂下的合位移越短。
那么,在什么条件下α角最大呢?
以V水的矢尖为圆心,以V船为半径画圆,当V合与圆相切时,α角最大。
由于船头与河岸的夹角cosθ=
,
此时渡河的最短位移为:
.
综上,渡河的最短位移问题:
①当
时,
【此时,
与河岸垂直,
充当斜边。
】
②当
时,无最短位移
【无限接近但永远不能达到河宽d。
】
③当
时,最短位移
以
的箭头为圆心,以
的大小为半径,画弧,以
的箭尾为起点做圆弧的切线,延长该切线到对岸,即为最短位移,由三角形相似
,
∴
。
思考:
①小船渡河过程中参与了哪两种运动?
②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么?
正对岸
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- 过河 问题