二次函数复习专题讲义全.docx
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二次函数复习专题讲义全
第1-3讲二次函数全章综合提高
知识清单】
※一、网络框架
※二、清单梳理
概念:
形如yax2(a0)的函数
简单二次函数图像:
是过(0,0)的一条抛物线
对称轴:
y轴
性质最值:
当a0时,y最小值=0;当a0时,y最大值=0
当a0时,在对称轴左边(即x0),y随x的增大而减小。
在对称轴右边(即x0),y随x的增大而增大。
当a0时,在对称轴左边(即x0),y随x的增大而增大。
在对称轴右边(即x0),y随x的增大而减小。
概念:
形如yax2bxc(a0)的函数,注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
二次函数
待定系数法求解析式
应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题
122
22
y2x2,y2x26,y
13x24x,y5x29x6等都是二次函数。
注意:
系数a
不能为零,b,c可以为零。
2、二次函数的三种解析式(表达式)
①一般式:
y
2ax
bxc(a0,a,b,c是常数)
②顶点式:
y
a(x
h)2k(a,h,k为常数,且a0),顶点坐标为(h,k)
③交点式:
y
a(x
x1)(xx2)(a0,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标)
3、二次函数的图像位置与系数a,b,c之间的关系
1a:
决定抛物线的开口方向及开口的大小。
当a0时,开口方向向上;当a0时,开
口方向向下。
|a|决定开口大小,当|a|越大,则抛物线的开口越小;当|a|越小,则抛物线的开口越大。
反之,也成立。
2c:
决定抛物线与y轴交点的位置。
当c0时,抛物线与y轴交点在y轴正半轴(即x轴上方);当c0时,抛物线与y轴交点在y轴负半轴(即x轴下方);当c0时,抛物线过原点。
反之,也成立。
3a和b:
共同决定抛物线对称轴的位置。
当b0时,对称轴在y轴右边;当b02a2a
时,对称轴在
y轴左边;当
b
2a
0(即当b
0时)对称轴为y轴。
反之,也成立。
④特别:
当x
1时,有y
ab
c;当x
1时,有yabc
。
反之也成立。
4、二次函数
ya(xh)2
k的图像可由抛物线
yax2向上(向下),
向左(向右)平移
而得到。
具体为:
当h0时,抛物线ya
x2向右平移h个单位;
当h
0时,抛物线y
2ax
向左平移h个单位,得到y
a(x
h)2;
当k0时,抛物线y
a(x
2
h)再向上平移
k个
单位,当k0时,抛物线y
a(x
2
h)再向下平移
k个单位,
而得到
2ya(xh)
k的
图像。
2
5、抛物线yax2bxc(a
0)与一元
二次方程
ax2bxc
0(a
0)的关系:
①若抛物线yax2
bx
c(a
0)与x
轴有两个交点,
则一元二次
方程
ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根。
②若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点,则一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实根(即一根)。
③若抛物线yax2bxc(a0)与x轴无交点,则一元二次方程2
ax2bxc0(a0)没有实根。
2
6、二次函数yax2bxc(a0,a,b,c是常数)的图像与性质
关系式
yax2bxc(a
0)
y
a(x
h)2k(a0)
图像形状
抛物线
2
(b,4acb)
(h,k)
顶点坐标
2a4a
对称轴
b
x
2a
xh
在图像对称轴左侧,即
b
x
2a
或x
h,
y随x的增大而减
a
0
小;在图像对称轴右侧,
即x
b
2a
或x
h,y随x的增大
增
而增大;
减
性
在图像对称轴左侧,即
b
x
2a
或x
h,
y随x的增大而增
a
0
大;在图像对称轴右侧,
即x
b
2a
或x
h,y随x的增大
而减小;
最大值
a
0
当xb时,y最小值
2a
=4acb
4a
2
当x
h时,y最小值=k
最小值
a
0
b
当x时,y最大值
2a
4acb
4a
2
当x
h时,y最大值=k
考点解析】考点一:
二次函数的概念
例1】下列函数中是二次函数的是()
3的形式,所以是二次函数,B,C分别是一次函数和反比例函数,D中右边24不是整式,
x
显然不是二次函数。
【答案】A
2m23m4
【例2】已知函数y(m22m)xm3m43mx(m1)是二次函数,则m。
【解析】根据二次函数的定义,只需满足两个条件即可“二次项系数不为零,且x的最高次
数为2”。
故有
2m
2m
0
m0且m2
,解得,综上所述,
m取1。
2m
3m
4
2m1或m2
【答案】1
【针对训练】
1、若函数y
(m
2m2)x
2
mx是二次函数,则该函数的表达式为
y__
考点二:
待定系数法在求解二次函数解析式中的应用
A.
2B.2C.2D.2
中,可以得出a38,则可得a2,
【答案】A.
【例2】(2011,泰安)若二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表,则当x1时,y的值为()
x
7
6
5
4
3
2
y
27
13
3
3
5
3
A.5B.3C.1327
2
【解析】设二次函数的解析式为yaxhk,因为当x4或2时,y3,
2由抛物线的对称性可知h3,h5,所以yax325,把2,3代入得,
2
a2,所以二次函数的解析式为y2x325,当x3时,y27。
【答案】C
【针对训练】
1、(2002年太原)过1,03,01,2三点的抛物线的顶点坐标是()
A.1,2
B.(1,23)
3
C.
1,5
14
D.(2,14)
3
2、无论
m为何实数,二次函数
2yx
2mx
m的图象总是过定点()
A.1,3
B.1,0
C.1,3
D
1,0
【例3】
(2010,石家庄一
模)如
图所示,
在平面直角坐标系中,二次函数
yax2bxc的图象顶点为A.2,2,且过点B0,2,则y与x的函数关系式为()
2222
A.yx22B.yx222C.yx222D.yx222
2
【解析】设这个二次函数的关系式为yax222,将B0,2代入得
22
20222,解得:
a1,故这个二次函数的关系式是yx222,【答案】D
【针对训练】
12
1、二次函数y2x2bxc的顶点为(2,1),则二次函数的解析式为.
2
【例4】二次函数yx2bxc过点(3,0)、(1,0),则二次函数的解析式为。
考点三:
二次函数的图像与性质的综合应用(与系数a,b,c的关系)
【例1】(2012,兰州)已知二次函数ya(x1)2b(a0)有最小值1,则a、b的大小关系为()
A.abB.abC.abD.不能确定
【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值
【解析】因为二次函数ya(x1)2b(a0)有最小值1,所以a0,b1,b1,
所以ab。
【答案】A.
【针对训练】
2
1、二次函数y2x24x1的最小值是。
2
2、(2013,兰州)二次函数y2(x1)23的图象的顶点坐标是()
A.(1,3)B.(1,3)C.(1,3)D.(1,3)
D.(1,1)
3、抛物线yx(x2)的顶点坐标是(
A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)
【例2】(2012,兰州)抛物线y(x2)23可以由抛物线yx2平移得到,则下列平移过程正确的是()
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【考点】涉及函数平移问题
2
y(x2),再向下平移3个单
2
解析】抛物线yx2向左平移2个单位可得到抛物线位可得到抛物线y(x2)23。
【答案】B.
针对训练】
22
x2;(3)y(x1)22。
2
1、(2012,南京)已知下列函数:
(1)yx2;
(2)y
选项的序号)
2、(2009,上海)将抛物线y
x22向上平移一个单位后,得到新的抛物线,那么新的
抛物线的表达式是
3、将抛物线yx2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是()
A.yx22B.y(x2)2C.y(x2)2D.yx22
4、将抛物线yax2bxc(a0)向下平移3个单位,在向左平移4个单位得到抛物线
2
y2x24x5,则原抛物线的顶点坐标是。
yabc0。
显然选项A、B、C都正确,只有选项D错误。
【答案】D.
D.当x0时,y随x的增大而减小
考点】图像与性质的综合应用
称性可知B选项正确,
【针对训练】
1、(2013,呼和浩特)在同一平面直角坐标系中,函数ymxm和函数
示,则下列结论中,正确的是(
2
ax2ax的图象大致是(
A.
B.
C.
D.
4、如图所示,二次函数yax2
bx
c(a0)的图像经过A(
1,2),且与x轴的交点的横
坐标分别为x1,x2,其中2
x1
1,0x21,下列结论
:
①4a2bc0;②
2
2ab0;③a1;④b2
8a
4ac,其中正确的选项有_
。
例5】已知关于x的函数y
x4x3,求当1x1时函数的最大值和最小值
【针对训练】
2
1、已知函数y2x24x1,试求当1x2的最大值和最小值
2
2、已知函数y2x24|x|1,试求当1x2的最大值和最小值
0)其中a、b、c满足abc0和
9a3bc0,则该二次函数的对称轴是直线
【针对训练】
1、已知A(x1,2002)、B(x2,2002)是二次函数yax2bx5(a0)的图像上的两点,则
当xx1
x2时,二次函数的值是.
2
例7】已知二次函数yx22mx2,当x2时,y的值随x值的增大而增大,则实
数m的取值范围是。
【针对训练】
1、若二次函数y(xm)21,当x1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是
讲到这儿了
考点四:
二次函数的实际应用
【例1】(2011,重庆)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件,受美元走低的影响,
从去年1至9月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格y1(元)x与月
份(1x9,且x取整数)之间的函数关系如下表:
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格y2
元)与月份x(10≤x≤12,且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势:
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出y2与x之间满足的一
次函数关系式;
(2)若去年该配件每件的售价为1000元,生产每件配件的人力成本为50元,其它成本
30元,该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足函数关系式p10.1x1.1
(1≤x≤9,且x取整数)10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式
p20.1x2.9(10≤x≤12,且x取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大,并
求出这个最大利润;
(3)今年1至5月,每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元,人力成本比去年
增加20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成了1至5月的总利润1700万元的任务,请你参考以下数据,估算出a的整
数值.
(参考数据:
99=9901,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)
【考点】涉及函数模型,把实际问题转化为函数,用函数的观点来解决问题,综合性比较强,一般还涉及不等式,最值问题。
【解析】
(1)把表格
(1)中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式.把(10,
730)(12,750)代入直线解析式可得y2的解析式,;
(2)分情况探讨得:
1x≤9时,
利润=p1×(售价﹣各种成本);10≤x≤12时,利润=p2×(售价﹣各种成本);并求得相应的最大利润即可;(3)根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。
解:
2
p2(10005030y2)(x29)2
∴x=10时,W最大=361元;
(3)去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7(万,件)
今年原材料价格为:
750+60=810(元)
今年人力成本为:
50×1(+20%)=60元.
∴5×[1000×(1+a%)﹣810﹣60﹣30]×1.7(1﹣0.1×a%)=1700,
设ta%,整理得10t299t100,
解得t999401
20
∵9401更接近于9409,
∴940197,
∴t1≈0.1,t2≈9.8,
∴a1≈10或a2≈980,
∵1.7(1﹣0.1×a%)≥1,
∴a≈10.
【答案】
(1)y210x630(10≤x≤12,且x取整数);
(2)x=10时,W最大=361元;(3)a≈10
【针对训练】
1、(2013湖北孝感)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲。
经试验发现,若每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;若每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数。
(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润P最大?
例2】(2010,孝感)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线二次函数的图象交于A,B两点,其中点A在y轴上.
(1)二次函数的解析式为y=;
(2)证明点(m,2m1)不在
(1)中所求的二次函数的图象上;
(3)若C为线段AB的中点,过C点作CEx轴于E点,CE与二次函数的图象交于D点.
①y轴上存在点K,使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则KK点的坐标
是;
②二次函数的图象上是否存在点P,使得SPOE2SABD?
求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】考察函数的图像与性质,与平面图形综合为主,一般涉及存在性问题和动点问题。
【解析】
(1)由二次函数图象的顶点坐标为(2,0),故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式.
(2)把该点代入抛物线上,得到m的一元二次方程,求根的判别式.(3)由直线yx1与二次函数的图象交于A,B两点,解得A,B两点坐标,求出D点坐标,①设K点坐标(0,a),使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则KADC,且BA//DK,进而求
出K点的坐标.②过点B作BFx轴于F,则BF//CE//AO,又C为AB中点,求得B点坐标,可得到SPOE2SABD,设P(x,1x2x1),由题意可以解出x.
4
12
(1)解:
yx2x1
4
(2)证明:
设点(m,2m1)在二次函数y1x2x1的图象上,4
12则有:
2m1m2m1,
4
整理得m24m80,
2
∵(4)248160
∴原方程无解,
∴点(m,2m1)不在二次函数y1x2x1的图象上.
4
(3)解:
①K(0,3)或(0,5)
②二次函数的图象上存在点P,使得SPOE2SABD,
∴E(4,0),D(4,1),C(4,5)
∴AD//x轴,
∴存在点P(6,16)和P(10,16),使得SPOE2SABD
答案】
(1)y1x2
4
x1;
(2)见上述解答过程;(3)存在,点P(6,16)和P(10,16)
例3】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y8x2bxc经过点A(3,0)和点
52
B(1,22),与x轴的另一个交点为C。
1)求抛物线的函数表达式;
2)点D在对称轴的右侧、x轴上方的抛物线上,且BDADAC,求点D的坐标;
3)在
(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE。
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD上的一个动点,且点M和点B不重合,当
1
BMFMFO时,请直接写出线段BM的长
3
【答案】
(1)y82x282x42222(2x3)(2x7)
555
(2)BD//ACD(4,22)
15
(3)平行四边形;或
22
【针对训练】
1、(2012,泉州)如图,O为坐标原点,直线l绕着点A(0,2)旋转,与经过点C(0,1)的
12
二次函数yx2h的图象交于不同的两点P、Q.
4
(1)求h的值;
3)过点P、C作直线,与x轴交于点B,试问:
在直线l的旋转过程中,四边形AOBQ
是否为梯形?
若是,请说明理由;若不是,请指出四边形的形状.
【基础闯关】
1、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示,那么这个函数的解析式为
4、(2011,济宁)将二次函数yx24x5化成y(xh)2k的形式,则
y。
2
5、(2006,陕西)如图,抛物线的函数表达式是()A.yx2x2
B.yx2x2
C.yx2x2D.yx2x2
2
6、已知函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则函数yaxb的图象是()
9、(2013,贵阳)已知:
直线yaxb过抛物线y
(2)若直线yaxb经过另一点A(0,11),求出该直线的表达
式;
(3)在
(2)的条件下,若有一条直线ymxn与直线yaxb
2
关于x轴成轴对称,求直线ymxn与抛物线yx22x3的
交点坐标.
2
10、(2010,虹口区一模)已知二次函数yx22x3,解答下列问题:
2
(1)用配方法将该函数解析式化为ya(xm)2k的形式;
(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴,以及它的变化情况.
【拓展提高】
2
1、将二次函数y2(x1)23的图象沿y轴向上平移3个单位,那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是。
2、若抛物线yx22xm的最低点的纵坐标为n,则mn的值是。
3、抛物线yax2bxc的顶点坐标是1,3,且过点0,5,那么二次函数2
yax2bxc的解析式为()
22
A.y2x24x5B.y2x24x5
22
C.y2x24x1D.y2x24x3
4、(2010,兰州)抛物线yx2bxc图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为yx22x3,则b、c的值为()
A.b2,c2B.b2,c0C.b2,c1
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