1、二次函数复习专题讲义全第 1-3 讲 二次函数全章综合提高知识清单】一、网络框架二、清单梳理概念：形如y ax2 （a 0）的函数简单二次函数 图像：是过（0,0 ）的一条抛物线对称轴：y轴性质 最值：当a 0时，y最小值=0；当a 0时，y最大值=0当a 0时，在对称轴左边（即x 0）, y随x的增大而减小。在对称轴右边（即x 0）, y随x的增大而增大。 当a 0时，在对称轴左边（即x 0）, y随x的增大而增大。在对称轴右边（即x 0）, y随x的增大而减小。 概念：形如y ax2 bx c（a 0）的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。二次函数待定系数法求解析式应用 与一元
2、二次方程和不等式的关系 建立函数模型解决实际问题1 2 222y 2x2, y 2x2 6, y13x2 4x,y 5x2 9x 6等都是二次函数。 注意：系数 a不能为零， b,c 可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：y2 axbx c(a 0, a,b,c是常数 )顶点式：ya( xh）2 k（ a, h, k为常数，且 a 0） ，顶点坐标为 （h, k）交点式：ya( xx1）（x x2）（a 0,其中x1, x2是抛物线与 x轴的交点的横坐标 ）3、二次函数的图像位置与系数 a,b,c 之间的关系1a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当 a 0 时，开口方向向上；当
3、 a 0时，开口方向向下。 | a |决定开口大小，当 |a |越大，则抛物线的开口越小；当 | a |越小，则抛物 线的开口越大。反之，也成立。2c：决定抛物线与 y 轴交点的位置。当 c 0 时，抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴（即 x 轴上方）；当 c 0时，抛物线与 y轴交点在 y轴负半轴（即 x轴下方）；当 c 0时，抛物 线过原点。反之，也成立。3a和 b ：共同决定抛物线对称轴的位置。 当 b 0 时，对称轴在 y 轴右边； 当 b 0 2a 2a时，对称轴在y 轴左边；当b2a0 （即当 b0 时）对称轴为 y 轴。反之，也成立。特别：当 x1时，有 yabc ；当 x1时
4、 ，有 y a b c。反之也成立。4、二次函数y a( x h) 2k 的图像可由抛物线y ax2 向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当 h 0时，抛物线 y ax2 向右平移 h个单位；当h0 时，抛物线 y2 ax向左平移 h 个单位，得到 ya( xh)2；当 k 0 时，抛物线 ya(x2h） 再向上平移k个单位，当 k 0时，抛物线 ya(x2h ） 再向下平移k 个单位，而得到2 y a( x h)k的图像。25 、抛物线 y ax2 bx c(a0） 与一元二次方程ax 2 bx c0(a0） 的关系：若 抛物 线 y ax2bxc(a0) 与 x轴有两个交点，则一
5、元二次方程ax2 bx c 0（a 0） 有两个不相等的实根。 若 抛 物 线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴 有 一 个 交 点 ， 则 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个相等的实根(即一根) 。 若 抛 物 线 y ax2 bx c( a 0) 与 x 轴 无 交 点 ， 则 一 元 二 次 方 程 2ax2 bx c 0(a 0) 没有实根。26、二次函数 y ax2 bx c(a 0,a,b,c是常数 ) 的图像与性质关系式y ax 2 bx c(a0)ya(xh) 2 k (a 0)图像形状抛物线2( b , 4ac b )(h,k)顶点坐标2
6、a 4 a对称轴bx2axh在图像对称轴左侧，即bx2a或xh，y随 x的增大而减a0小；在图像对称轴右侧，即xb2a或xh， y随 x的增大增而增大；减性在图像对称轴左侧，即bx2a或xh，y随 x的增大而增a0大；在图像对称轴右侧，即xb2a或xh， y随 x的增大而减小；最大值a0当 x b 时， y最小值2a= 4ac b4a2当xh 时， y最小值 =k最小值a0b当 x 时， y最大值2a4ac b4a2当xh 时， y最大值 =k考点解析】 考点一：二次函数的概念例 1 】下列函数中是二次函数的是( )3 的形式，所以是二次函数， B,C 分别是一次函数和反比例函数， D中右边
7、2 4不是整式，x显然不是二次函数。【答案】 A2 m2 3m 4【例 2 】已知函数 y (m2 2m)xm 3m 4 3mx (m 1)是二次函数，则 m 。【解析】 根据二次函数的定义， 只需满足两个条件即可“二次项系数不为零， 且 x 的最高次数为 2 ”。故有2 m2m0m 0且 m 2，解得 ，综上所述，m取 1 。2 m3m42 m 1或 m 2【答案】 1【针对训练】1 、若函数 y(m2 m 2)x2mx是二次函数，则该函数的表达式为y _考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用A.2 B. 2 C. 2 D. 2中，可以得出 a3 8，则可得 a 2 ，【答案】 A.
8、【例 2】（ 2011 ，泰安）若二次 函数 y ax2 bx c的 x与 y的部 分对应 值如下 表 ， 则 当 x 1时 ， y 的 值 为 （ ）x765432y27133353A.5 B. 3 C. 13 272【解析】 设二次 函数的解析式 为 y a x h k ，因 为当 x 4或 2时 ， y 3 ，2 由抛物线的对称性可知 h 3， h 5，所以 y a x 3 2 5，把 2,3 代入得，2a 2， 所以 二 次函 数的解 析式 为 y 2 x 3 2 5，当 x 3时 ， y 27 。 【答案】C【针对训练】1 、 （2002 年 太原）过 1,0 3,0 1,2 三点的
9、抛物线 的顶点 坐标是（ ）A. 1,2B.(1,23)3C.1,514D.(2,14)32、无论m为何实数，二次函数2 yx2 m xm的图象总是过定点（ ）A.1,3B.1,0C. 1,3D1,0【例 3 】（ 2010 ， 石 家 庄 一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c的图象顶点为 A. 2, 2 ，且 过点 B 0,2 ，则 y 与 x的函数关系式 为 （ ）2 2 2 2A.y x 2 2 B. y x 2 2 2 C. y x 2 2 2 D. y x 2 2 22【 解析】 设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为 y a x 2 2 2 ，
10、将 B 0,2 代 入 得222 0 2 2 2，解 得： a 1，故这个二次函数的关系式是 y x 2 2 2， 【 答案】 D【针对训练】121、二 次函数 y 2x2 bx c的顶点为 （2, 1），则二次函数的解析式为 .2【例 4】二次函数 y x2 bx c过点 （ 3,0）、（1,0） ，则二次函数的解析式为 。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 a,b,c 的关系）【例 1 】（2012 ，兰州）已知二次函数 y a（x 1）2 b （a 0）有最小值 1，则 a、b的大 小关系为（ ）A. a b B. a b C.a b D. 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐
11、标和最值【解析】因为二次函数 y a（x 1）2 b （a 0）有最小值 1，所以 a 0， b 1，b 1，所以 a b 。【答案】 A.【针对训练】21、二次函数 y 2x2 4x 1的最小值是 。22、（2013 ，兰州）二次函数 y 2（x 1）2 3 的图象的顶点坐标是（ ）A.（1，3） B.（ 1，3） C.（1， 3） D.（ 1， 3）D.（1， 1）3 、抛物线 y x（ x 2） 的顶点坐标是（A. （ 1， 1） B. （ 1，1） C. （1，1）【例 2 】（2012 ，兰州）抛物线 y （x 2）2 3 可以由抛物线 y x2平移得到，则下列平 移过程正确的是（
12、）A. 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题2y （x 2） ，再向下平移 3 个单2解析】 抛物线 y x 2向左平移 2 个单位可得到抛物线 位可得到抛物线 y （x 2）2 3 。【答案】 B.针对训练】22x2 ；（3） y （x 1）2 2 。21、（2012 ，南京）已知下列函数： （1 ） y x2；（2 ） y选项的序号）2、（ 2009 ，上海）将抛物线 yx2 2 向上平移一个单位后，得到新的
13、抛物线，那么新的抛物线的表达式是3、将抛物线 y x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）A. y x2 2 B. y （ x 2）2 C. y （x 2） 2 D. y x2 24 、将抛物线 y ax2 bx c（a 0） 向下平移 3 个单位，在向左平移 4 个单位得到抛物线2y 2x2 4x 5 ，则原抛物线的顶点坐标是 。y a b c 0。显然选项 A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。 【答案】 D.D.当x 0时， y随 x的增大而减小考点】图像与性质的综合应用称性可知 B 选项正确，【针对训练】1 、（ 2013 ， 呼 和 浩 特 ） 在 同 一 平 面
14、 直 角 坐 标 系 中 ， 函 数 y mx m 和 函 数示，则下列结论中，正确的是（2ax2 ax 的图象大致是（A.B.C.D.4、如图所示， 二次函数 y ax 2bxc（a 0） 的图像经过 A（1,2） ，且与 x 轴的交点的横坐 标分别 为 x1,x2 ，其 中 2x11,0 x2 1 ，下列 结 论： 4a 2b c 0 ； 22a b 0； a 1 ； b28a4ac ，其中正确的选项有 _ 。例 5 】已知关于 x 的函数 yx 4x 3 ，求当 1 x 1时函数的最大值和最小值【针对训练】21、 已知函数 y 2x2 4x 1，试求当 1 x 2的最大值和最小值22、
15、已知函数 y 2x2 4| x| 1，试求当 1 x 2 的最大值和最小值0) 其 中 a、b、c 满 足 a b c 0 和9a 3b c 0 ，则该二次函数的对称轴是直线 【针对训练】1、已知 A(x1,2002)、B(x2,2002)是二次函数 y ax2 bx 5(a 0)的图像上的两点， 则当 x x1x2 时，二次函数的值是 .2例 7 】已知二次函数 y x2 2mx 2，当 x 2时， y的值随 x 值的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 。【针对训练】1、若二次函数 y （x m）2 1，当 x 1时， y随 x的增大而减小，则 m的取值范围是讲到这儿了考点四：二次函数的实
16、际应用【例 1 】（2011 ，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格 y1 （元） x与月份（ 1 x 9，且 x 取整数）之间的函数关系如下表：月份 x123456789价格 y1（元/ 件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓， 10 至 12 月每件配件的原材料价格 y2元）与月份 x（ 10x12，且 x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1 ）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接 写出
17、 y1与 x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出 y2 与 x之间满足的一次函数关系式；（2 ）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量 p1 （万件）与月份 x满足函数关系式 p1 0.1x 1.1（1x9，且 x取整数） 10 至 12 月的销售量 p2 （万件）与月份 x满足函数关系式p2 0.1x 2.9（ 10x 12 ，且x取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3 ）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增
18、加 20% ，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 a% ，与此 同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0.1a% 这样，在保证每月上万件配件销量的 前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出 a的整数值（参考数据： 99 =9901 ，98 2 =9604 ，97 2=9409 ， 96 2 =9216 ，95 2=9025 ）【考点】 涉及函数模型， 把实际问题转化为函数， 用函数的观点来解决问题， 综合性比较强， 一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1 ）把表格（ 1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 y1
19、的解析式把（ 10 ，730 ）（12 ，750 ）代入直线解析式可得 y2 的解析式，；（2 ）分情况探讨得： 1x 9时，利润= p1 （售价各种成本） ；10x12 时，利润 = p2（售价各种成本） ；并求得 相应的最大利润即可； （3 ）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解：2p2 (1000 50 30 y2 ) (x 29)2 x=10 时， W 最大 =361 元；（3）去年 12 月的销售量为 0.1 12+2.9=1.7 （万，件）今年原材料价格为： 750+60=810 （元）今年人力成本为： 50 1（+20% ）=60 元 5 1000
20、（1+ a%） 810 60 30 1.7 （1 0.1 a%）=1700 ，设 t a% ，整理得 10t 2 99t 10 0 ，解得 t 99 9401209401 更接近于 9409 ， 9401 97 ，t1 0.1 ，t2 9.8 ， a1 10 或 a 2 980 ，1.7 （1 0.1 a% ） 1， a 10 【答案】（1） y2 10x 630（ 10x 12 ，且x取整数）；（2 ） x=10 时，W 最大=361 元；（3）a 10【针对训练】1、（2013 湖北孝感） 在“母亲节”前夕， 我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动， 他们购进一批单价为 20 元的“孝
21、文化衫”在课余时间进行义卖， 并将所得利润捐给贫困母 亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价 格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/ 件）满足一个 以 x 为自变量的一次函数。（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（2 ）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利 润 P 最大？例 2 】（2010 ，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（ 2 ，0 ），直线 二次函数的图象交于 A,B 两点，其中点 A在 y轴上（1 ）二次函数的解
22、析式为 y = ；（2 ）证明点 （ m,2m 1） 不在（ 1）中所求的二次函数的图象上；（3 ）若C为线段 AB的中点，过C点作 CE x轴于 E点， CE与二次函数的图象交于 D 点 y轴上存在点 K ，使以 K , A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，则 K K 点的坐标是；二次函数的图象上是否存在点 P，使得 S POE 2S ABD ？求出 P点坐标；若不存在，请 说明理由【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。 【解析】（ 1 ）由二次函数图象的顶点坐标为 （2,0） ，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析 式（2）把该点代入抛物线上， 得
23、到 m 的一元二次方程， 求根的判别式（3 ）由直线 y x 1 与二次函数的图象交于 A,B 两点，解得 A,B 两点坐标，求出 D 点坐标，设 K 点坐标 （0,a），使 K , A, D,C为顶点的四边形是平行四边形，则 KA DC，且 BA/ DK ，进而求出 K 点的坐标过点 B 作 BF x 轴于 F ，则 BF / CE / AO ，又 C 为 AB 中点，求得 B点坐标，可得到 SPOE 2S ABD，设 P（x,1 x2 x 1） ，由题意可以解出 x412（1 ）解： y x2 x 14(2 )证明：设点 ( m,2m 1)在二次函数 y 1 x2 x 1的图象上， 412
24、 则有： 2m 1 m 2 m 1，4整理得 m2 4m 8 0 ，2 ( 4)2 4 8 16 0原方程无解，点 ( m,2m 1)不在二次函数 y 1 x2 x 1的图象上4(3 )解： K(0, 3)或 (0,5)二次函数的图象上存在点 P，使得 SPOE 2S ABD， E(4,0), D(4,1),C(4,5) AD / x 轴，存在点 P( 6,16)和P(10,16) ，使得 S POE 2S ABD答案】(1 )y 1 x 24x 1 ；(2 )见上述解答过程； (3 )存在，点 P( 6,16)和 P(10,16)例 3 】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 8 x2 bx
25、 c 经过点 A(3,0) 和点52B(1,2 2) ，与 x轴的另一个交点为 C 。1) 求抛物线的函数表达式；2) 点 D在对称轴的右侧、 x轴上方的抛物线上， 且 BDA DAC ，求点 D的坐标；3) 在( 2)的条件下，连接 BD ，交抛物线对称轴于点 E，连接 AE。判断四边形 OAEB 的形状，并说明理由；点 F 是 OB 的中点，点 M 是直线 BD 上的一个动点，且点 M 和点 B 不重合，当1BMF MFO 时，请直接写出线段 BM 的长3【答案】(1 ) y 8 2 x2 8 2x 42 2 2 2 (2x 3)(2x 7)5 5 5(2) BD / /AC D(4,2
26、2)15( 3 )平行四边形； 或22【针对训练】1、( 2012 ，泉州)如图， O为坐标原点，直线 l 绕着点 A(0,2) 旋转，与经过点 C(0,1) 的12二次函数 y x2 h的图象交于不同的两点 P、Q 4(1 )求 h的值；3）过点 P 、 C 作直线，与 x 轴交于点 B ，试问：在直线 l 的旋转过程中，四边形 AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状【基础闯关】1、 已知二 次函数 y ax bx c的图象 如图 所示， 那么这 个函数 的解 析式为4 、（ 2011 ， 济 宁 ） 将 二 次 函 数 y x2 4x 5 化 成 y （x h）2
27、 k 的 形 式 ， 则y。25、（ 2006 ， 陕西 ） 如图， 抛 物线 的函 数 表 达式 是（ ） A. y x2 x 2B.y x2 x 2C.y x2 x 2 D. y x2 x 226、已知函数 y ax2 bx c （a 0） 的图象如图所示，则函数 y ax b的图象是（ ）9、（2013 ，贵阳）已知：直线 y ax b 过抛物线 y（2 ）若直线 y ax b经过另一点 A（0，11 ），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下， 若有一条直线 y mx n 与直线 y ax b2关于 x轴成轴对称， 求直线 y mx n 与抛物线 y x2 2x 3的交点坐标210
28、 、（ 2010 ，虹口区一模）已知二次函数 y x2 2x 3 ，解答下列问题：2（1 ）用配方法将该函数解析式化为 y a（x m）2 k 的形式；（2 ）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况【拓展提高】21、将二次函数 y 2（x 1）2 3的图象沿 y轴向上平移 3 个单位，那么平移后的二次函数 图象的顶点坐标是 。2、若抛物线 y x2 2x m的最低点的纵坐标为 n，则 m n 的值是 。3、 抛物线 y ax2 bx c 的顶点 坐标 是 1,3 ，且过 点 0,5 ，那 么二 次函 数 2y ax2 bx c 的 解 析 式 为 （ ）22A. y 2x2 4x 5 B. y 2 x2 4x 522C. y 2x2 4x 1 D. y 2x 2 4x 34、（2010 ，兰州）抛物线 y x2 bx c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所 得图象的解析式为 y x2 2x 3，则 b 、 c的值为（ ）A. b 2，c 2 B. b 2， c 0 C. b 2，c 1
