小学数学难题选解.docx
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小学数学难题选解.docx
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小学数学难题选解
小学数学难题选解
第一章牛顿问题
解题关键:
牛顿问题,俗称“牛吃草问题”,牛每天吃草,草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步:
1、求出每天长草量;
2、求出牧场原有草量;
3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量--生长的草量= 消耗原有草量);
4、最后求出可吃天数。
1、牧场上有一片青草,牛每天吃草,草每天以均匀的速度生长。
这片青草供给10头牛可以吃20天,供给15头牛吃,可以吃10天。
供给25头牛吃,可以吃多少天?
分析:
如果草的总量一定,那么,牛的头数与吃草的天数的积应该相等。
现在够10头牛吃20天,够15头牛吃10天,10×20和15×10两个积不相等,这是因为10头牛吃的时间长,长出的草多,所以,用这两个积的差,除以吃草的天数差,可求出每天的长草量。
①、求每天的长草量
(10×20-15×10)÷(20-10)=5(单位量)
说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。
②、求牧场原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天,那么,10头牛去吃,每天只有10-5=5(头)牛吃原有草量,20天吃完,原有草量应是:
(10-5)×20=100(单位量)
或:
10头牛吃20天,一共吃草量是10×20=200(单位量)
一共吃的草量-20天共生长的草量=原有草量
200-100=100(单位量)
③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天,25头牛去吃,(吃的-长的=消耗原草量)
即:
25-5=20(单位量)
④、25头牛去吃,可吃天数
牧场原有草量÷25头牛每天实际消耗原有草量=可吃天数
100÷20=5(天)
解:
(10×20-15×10)÷(20-10)=50÷10=5(单位量)---每天长草量
(10-5)×20=5×20=100(单位量) -------原有草量
100÷(25-5)=100÷20=5(天)
答:
可供给25头牛吃5天。
2、牧场上有一片青草,草每天以均匀的速度生长,这些草供给20头牛吃,可以吃20天;供给100头羊吃,可以吃12天。
如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量,那么20头牛,100只羊同时吃这片草,可以吃几天?
分析:
1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量,那么20头牛就相当于4×20=80(只)羊吃草量。
每天长草量:
(80×20-100×12)÷(20-12)=400÷8=50(单位量)
原有草量:
(80-50)×20=30×20=600(单位量)
20头牛和100只羊同时吃的天数:
600÷(80+100-50)=600÷130
=4(天)
答:
20头牛,100只羊同时吃这片草,可以吃4天。
3、有三片牧场,牧场上的草长得一样密,一样快。
它的面积分别是3.3公顷、2.8公顷和4公顷。
22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草;17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。
问,多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草?
分析:
①、第一片牧场22头牛54天吃完3.3公顷所有的草,那么,每公顷草量是(包括生长的):
22×54÷3.3=360(单位量)
②、第二片牧场:
17头牛84天吃完2.8公顷所有的草,那么,每公顷草量是:
17×84÷2.8=510(单位量)
③、每公顷每天的长草量是:
(510-360)÷(84-54)=5(单位量)
④、每公顷原有草量是:
360-5×54=90(单位量)
⑤、第三片4公顷24天共有草量是:
90×4+5×24×4=840(单位量)
⑥、可供多少头牛吃24天:
840÷24=35(头)
解:
(17×84÷2.8-22×54÷3.3)÷(84-54)=150÷30
=5(单位量) ------每公顷每天长草量
22×54÷3.3-5×54 =360-270=90(单位量)----每公顷原有草量
90×4+5×4×24=360+480=840(单位量)----4公顷24天共有草量
840÷24=35(头)
答:
35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。
4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟;用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。
问,用9台这样的水泵,多少分钟可以抽干这井里的水?
分析:
用水泵抽井里的泉水,泉水总是按一定大小不断往上涌,这就跟牧场的草一样均匀地生长,因此,把它当作牛吃草问题同解。
每分钟泉水涌出量:
(3×40-6×16)÷(40-16)=24÷24=1(单位量)
井里原有水量:
(3-1)×40=2×40=80(单位量)
9台几分钟可以抽干:
80÷(9-1)=80÷8=10(分钟)
答:
用9台这样的水泵,10分钟可以抽干这井里的水。
5、火车站的售票窗口8点开始售票,但8点以前早就有人来排队,假如每分钟来排队的人一样多,开始售票后,如果开3个窗口售票,30分钟后,不再有人排队;如果开5个窗口售票,15分钟后,不再有人排队。
求第一个来排队的人是几点钟到的?
分析:
到窗口排队售票的人,包括两部分,一部分是8点以前已等候的人(相似于牛吃草问题中的原有草量),另一部分是开始售票时,逐步来的人(相似于每天长草量),开售票窗口多少,相似于“吃草的牛”多少,售票时间相似于“牛吃草”天数。
因此,按“牛吃草问题”来解答。
每分钟来排队的人:
(3×30-5×15)÷(30-15)=15÷15=1(人)
售票前已到的人数:
3×30-1×30=90-30=60(人)
售票前已到的人共用的时间:
60÷1=60(分钟)
60分钟是1小时,即第一个来排队的人是售票前1小时到达的,8-1=7
答:
第一个来排队的人是7点钟到达的。
第二章鸡兔问题
解题关健:
鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一,也叫“鸡兔同笼”问题。
解答鸡兔同笼问题,一般采用假设法,假设全部是鸡,算出脚数,与题中给出的脚数相比较,看差多少,每差一个(4-2)只脚,就说明有1只兔,将所差的脚数除以(4-2),就可求出兔的只数。
同理,假设全部是兔,可求出鸡。
1、鸡兔同笼共80头,208只脚,鸡和兔各有几只?
分析:
假设这80头全是鸡,那么,脚应是2×80=160(只),比实际少208-160=48(只)脚,这是因为1只兔有4只脚,把它看成是2只脚的鸡了,每只兔少算了2只脚,共少算了48只脚,48里面有几个2,就是几只兔。
解:
(208-2×80)÷(4-2)=48÷2=24(只) ------ 兔
80-24=56(只)
答:
鸡有56只,兔有24只。
也可以假设80只全是兔,解答如下:
解:
(4×80-208)÷(4-2)=112÷2=56(只) ------ 鸡
80-56=24(只)
2、小明参加一次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得10分,错一题扣5分,小明共得了70分,他做对了几道题?
分析:
假设他做对了10道题,那么应得10×10=100(分),而实际只得70分,少30分,这是因为每做错一题,不但得不到10分,反而倒扣5分,这样做错一题就会少10+5=15(分),看30分里面有几个15分,就错了几题。
解:
(10×10-70)÷(10+5)=30÷15=2(道) ------ 错题
10-2=8(道)
答:
他做对了8道题。
3、有面值5元和10元的钞票共100张,总值为800元。
5元和10元的钞票各是多少张?
分析:
假设100张钞票全是5元的,那么总值就是5×100=500(元),与实际相差800-500=300元
差的300元,是因为将10元1张的算作了5元的,每张少计算10-5=5(元),差的300元里面有多少个5元,就是多少张10元的钞票。
解:
(800-5×10)÷(10-5)=300÷5=60(张)------10元面值
100-60=40(张)
答:
有10元的钞票60张,5元的钞票40张。
4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只,共140条腿和23对翅膀,三种动物各多少只?
(蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿2对翅膀,蝉6条腿1对翅膀)
分析:
假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿,那么总腿数是6×21=126(条),比实际少140-126=14(条),这是因为一只蜘蛛是8条腿,把它算作6条腿,每只蜘蛛少计算了8-6=2(条),少算的14条里面有几个2条,就是几只蜘蛛,即14÷2=7(只)。
从总只数里减7只蜘蛛,就得21-7=14(只)是蜻蜓和蝉的和。
再假设这14只全是蜻蜓,那么翅膀应是2×14=28(对)比实际多28-23=5(对),这是因为蝉是1对翅膀,把它算成2对了,每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对,就是几只蝉。
求出了蝉,蜻蜓可求。
解:
(140-6×21)÷(8-6)=14÷2=7(只) ------ 蜘蛛
21-7=14(只)
(2×14-23)÷(2-1)=5÷1=5(只) ------- 蝉
14-5=9(只) ------ 蜻蜓
答:
蜘蛛7只,蜻蜓9只,蝉5只。
第三章年龄问题
解题关键:
“年龄问题”的基本规律是:
不管时间如何变化,两人的年龄的差总是不变的,抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。
分析时,可借助线段图分析,结合和倍、差倍、和差等问题分析方法,灵活解题。
1、爸爸今年42岁,女儿今年10岁,几年前爸爸的年龄是女儿的5倍?
分析:
要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍,首先应求出那时女儿的年龄是多少?
爸爸的年龄是女儿的5倍,女儿的年龄是1倍,爸爸比女儿多5-1=4(倍),年龄多42-10=32(岁),对应,可求出1倍是多少,即女儿当时的年龄。
解:
(42-10)÷(5-1)=32÷4=8(岁)
10-8=2(年)
答:
2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。
2、父亲今年比儿子大36岁,5年后父亲的年龄是儿子的4倍,今年儿子几岁?
分析:
父亲今年比儿子大36岁,5年后仍然大36岁。
父亲年龄是儿子的4倍,说明儿子的年龄是1倍,父亲比儿子大4-1=3(倍),可求出1倍是多少岁,即5年后儿子的年龄,那么,现在几岁可求出。
解:
36÷(4-1)=36÷3=12(岁)
12-5=7(岁)
答:
今年儿子7岁。
3、今年母女年龄和是45岁,5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍,今年妈妈和女儿各多少岁?
分析:
今年母女年龄和是45岁,五年后母女年龄和是45+5×2=55(岁),母亲年龄是女儿的4倍,女儿年龄是1倍,母女年龄和的倍数是4+1=5(倍),对应,可求出5年后女儿的年龄,今年她们的年龄可求。
解:
(45+5×2)÷(4+1)=55÷5=11(岁)
11-5=6(岁) 45-6=39(岁)
答:
妈妈今年39岁,女儿6岁。
4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁,3年后甲比乙大6岁,丙比乙小3岁,三年后甲、乙、丙三人各几岁?
分析:
如图:
甲 |--------------------------------------------------------|
乙 |-----------------------------------------| 6岁
丙 |----------------------------------| 3岁
三年后,三人年龄和是60+3×3=69(岁),但三人的年龄差不变。
从图中可以看出,从三人年龄和中减6加3,刚好等于3个乙的年龄。
解:
(60+3×3-6+3)÷3=66÷3=22(岁)
22+6=28(岁) 22-3=19(岁)
答:
三年后甲28岁,乙22岁,丙19岁。
第四章植树问题
解题关键:
1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。
2、要分清图形是否封闭,然后确定是沿线段栽,还是沿周长栽。
3、关系式为:
沿线段植树 棵数=总距离÷棵距+1
沿周长植树 棵数=总距离÷棵距
1、在一段40米长的人行道一侧栽树,每隔5米栽一棵樟树,共需要栽樟树多少棵?
分析:
如图:
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
5米
从图上可以看出,“每隔5米栽一棵”就是将40÷5=8,平均分成8段,因两端都有一棵树,所以,沿人行道一侧栽树,属沿线段植树。
解:
40÷5+1=8+1=9(棵)
答:
需要栽樟树9棵。
想一想:
如果这条人行道两侧都这样栽,需要栽多少棵?
应怎样算?
2、沿一段公路两旁种杨树,每隔3米种一棵,一共种了502棵。
这段公路长多少米?
分析:
沿公路两旁共种502棵,将502÷2=251(棵),就得到公路一旁种树棵数(注意将两旁总棵数除以2),它属于沿线段植树问题,根据关系式,将棵数减1,乘棵距,可求出总距离。
解:
502÷2=251(棵)
3×(251-1)=3×250=750(米)
答:
这段公路长750米。
3、把一根48厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒,如果锯一段需要4分钟,锯完这根铁棒需要多少分钟?
分析:
如图,将48厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒,就是求48厘米里面有几个8厘米,就可锯成几段,从图上可以看出“锯的次数比段数要少1”,锯一段需要4分钟,实际是锯一次要4分钟,求锯完这根铁棒需要多少分钟,先要求出共锯多少次。
解:
48÷8-1=5(次)
4×5=20(分钟)
答:
锯完这根铁棒需要20分钟。
4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树,一共种了180棵。
再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季,问,一共需要多少株月季?
分析:
在人工湖周围种树,属于在封闭图形上栽树问题,即沿周长植树,根据关系式:
总距离=棵距×棵数,人工湖周长为 6×180=1080(米)
如果湖的周围没有柳树,全是每隔2米种的月季,月季共 1080÷2=540(株),而实际其中种有柳树180棵,那么,月季株数应为 540-180=360(株)。
解法一:
6×180÷2-180=540-180=360(株)
答:
一共需要360株月季。
解法二:
人工湖周围每隔6米种一棵柳树,共种180棵,就是将湖的周长平均分成180段,每段长6米,因为这6米的两头已种柳树,所以这中间只能种6÷2-1=2(株)月季,共需月季列式为:
(6÷2-1)×180=2×180=360(株)
第五章盈亏问题
解答公式:
两次分配的结果差÷两次分配数差=人数
或,由于参加分配的总人数不变,参加分配的物品总数不变,因此,可根据
第一种分法的人数=第二种分法的人数
第一种分法物品总数=第二种分法物品总数,列出方程来解。
1、一批树苗,如果每人种树苗8棵,则缺少3棵;如果每人种7棵,则有4棵没人种。
求参加种树的人数是多少?
这批树苗共有多少棵?
分析:
每人种8棵,则缺少3棵,也就是少3棵。
每人种7棵,则有4棵没人种,也就是多4棵。
那么两次分配的结果差是3+4=7,两次分配的数差是8-7=1
种树人数是:
7÷1=7(人) 树苗总数是:
8×7-3=53(人)
解法一:
(3+4)÷(8-7)=7÷1=7(人)
8×7-3=53(棵)
答:
参加种树的人数是7人,这批树苗共有53棵。
解法二:
这道题种树人数不变,树苗总棵数不变,若设种树人数为X人,根据第一种分法的树苗总棵数=第二种分法的树苗总棵数,列方程解。
解:
设种树人数为X人,列方程得
8X-3=7X+4
8X-7X=4+3
X=7
8×7-3=53(棵) 答:
(略)
2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友,如果每人分6个,则少10个,每人分4个,还少2个。
有多少小朋友?
有多少个苹果?
分析:
两次分配都不足,则两次不足数量差就是两次分配的结果差,结果差÷分配差=人数
解:
(10-2)÷(6-4)=8÷2=4(人)
6×4-10=14(个)
答:
有4个小朋友,有14个苹果。
3、学校安排新生住宿,若每间宿舍住6人,则多出34人;若每间宿舍住7人,则多出4间宿舍,求住宿的学生和宿舍各有多少?
分析:
每间住6人,多出34人,就是不足34张床位;每间住7人,多出4间宿舍,就是多出7×4=28张床位。
两次分配的结果差就是(34+28),结果差÷分配差=宿舍
解:
(34+28)÷(7-6)=62÷1=62(间)
6×62+34=406(人)
答:
住宿的学生共406人,宿舍有62间。
4、学生分练习本,其中两个人每人分6本,其余每人分4本,则多2本;如果有一个学生分8本,其余每人分6本,则不足18本。
学生有多少人?
练习本有多少本?
分析:
1、有两人分6本,其余每人分4本,余2本,若将分6本的这两人也分4本,那么这两人又每人余2本,共余2×2+2=6(本)。
2、一个学生分8本,其余分6本,不足18本。
若将分8本这个学生也同样分6本,则不足应是18-2=16(本)。
那么,两次分配的结果差是16+6=22(本),分配差是6-4=2(本)
结果差÷分配差=人数
解:
6-4=2(本) 2×2+2=6(本) 8-6=2(本) 18-2=16(本)
(16+6)÷(6-4)=22÷2=11(人)
4×11+6=50(本)
答:
学生有11人,练习本有50本。
5、一工人加工一批机器零件,限期完成,他计划每小时做10个,还差3个零件完成任务,每小时做11个,恰好限期内完成了任务。
他加工的零件是多少个?
限几小时完成?
分析:
每小时做10个,差3个,每小时做11个,恰好完成,那么,两次分配的结果差是3个,两次分配的数差是11-10=1(个)。
根据,结果差÷分配差=限时数
解法一:
3÷(11-10)=3÷1=3(小时)
10×3+3=33(个)
答:
他加工的零件是33个,限3小时完成。
解法二:
设限X小时完成,根据第一种分法和第二种分法零件个数相等,列方程得
11X=10X+3
11X-10X=3
X=3
11×3=33(个) 答:
(略)
第六章流水问题
解题关键:
船速:
船在静水中航行速度; 水速:
水流动的速度;
顺水速度:
顺水而下的速度=船速+水速;
逆水速度:
逆流而上的速度=船速-水速。
流水问题具有行程问题的一般性质,即速度、时间、路程。
可参照行程问题解法。
1、一只油轮,逆流而行,每小时行12千米,7小时可以到达乙港。
从乙港返航需要6小时,求船在静水中的速度和水流速度?
分析:
逆流而行每小时行12千米,7小时时到达乙港,可求出甲乙两港路程:
12×7=84(千米),返航是顺水,要6小时,可求出顺水速度是:
84÷6=14(千米),顺速-逆速=2个水速,可求出水流速度(14-12)÷2=1(千米),因而可求出船的静水速度。
解:
(12×7÷6-12)÷2=2÷2=1(千米)
12+1=13(千米)
答:
船在静水中的速度是每小时13千米,水流速度是每小时1千米。
2、某船在静水中的速度是每小时15千米,河水流速为每小时5千米。
这只船在甲、乙两港之间往返一次,共用去6小时。
求甲、乙两港之间的航程是多少千米?
分析:
1、知道船在静水中速度和水流速度,可求船逆水速度15-5=10(千米),顺水速度15+5=20(千米)。
2、甲、乙两港路程一定,往返的时间比与速度成反比。
即速度比是10÷20=1:
2,那么所用时间比为2:
1。
3、根据往返共用6小时,按比例分配可求往返各用的时间,逆水时间为6÷(2+1)×2=4(小时),再根据速度乘以时间求出路程。
解:
(15-5):
(15+5)=1:
2
6÷(2+1)×2 =6÷3×2 =4(小时)
(15-5)×4=10×4=40(千米)
答:
甲、乙两港之间的航程是40千米。
3、一只船从甲地开往乙地,逆水航行,每小时行24千米,到达乙地后,又从乙地返回甲地,比逆水航行提前2.5小时到达。
已知水流速度是每小时3千米,甲、乙两地间的距离是多少千米?
分析:
逆水每小时行24千米,水速每小时3千米,那么顺水速度是每小时24+3×2=30(千米),比逆水提前2.5小时,若行逆水那么多时间,就可多行30×2.5=75(千米),因每小时多行3×2=6(千米),几小时才多行75千米,这就是逆水时间。
解:
24+3×2=30(千米)
24×[30×2.5÷(3×2)]=24×[30×2.5÷6 ]
=24×12.5 =300(千米)
答:
甲、乙两地间的距离是300千米。
4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行,顺水航行要8小时行完全程,逆水航行要10小时行完全程。
已知水流速度是每小时3千米,求甲、乙两码头之间的距离?
分析:
顺水航行8小时,比逆水航行8小时可多行 6×8=48(千米),而这48千米正好是逆水(10-8)小时所行的路程,可求出逆水速度48÷2=24(千米),进而可求出距离。
解法一:
3×2×8÷(10-8)=3×2×8÷2=24(千米)
24×10=240(千米)
答:
甲、乙两码头之间的距离是240千米。
解法二:
设两码头的距离为“1”,顺水每小时行1/8,逆水每小时行1/10,顺水比逆水每小时快1/8-1/10,快6千米,对应。
3×2÷(1/8-1/10)=6÷1/40 =240(千米) 答:
(略)
5、某河有相距120千米的上下两个码头,每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。
这天,从甲船上落下一个漂浮物,此物顺水漂浮而下,5分钟后,与甲船相距2千米,预计乙船出发几小时后,可与漂浮物相遇?
分析:
从甲船落下的漂浮物,顺水而下,速度是“水速”,甲顺水而下,速度是“船速+水速”,船每分钟与物相距:
(船速+水速)-水速=船速。
所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60=1/12(小时),2÷1/12=24(千米)。
因为,乙船速与甲船速相等,乙船逆流而行,速度为24-水速,乙船与漂浮物相遇,求相遇时间,是相遇路程120千米,除以它们的速度和(24-水速)+水速=24(千米)。
解:
120÷[2÷(5÷
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