2014年全国数学建模b题论文创意平板折叠桌Word格式文档下载.docx
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针对第三个问题,已知桌高、桌面边缘线、桌脚边缘线,加上最稳角,可求得最长木棍的长度,及桌的侧面空间曲面,进而确定钢筋的位置,以及一系列最优加工参数,确定了桌子的最终形状。
关键词:
直纹曲面最稳角最优加工参数边缘线
一、问题的重述
一创意平板折叠桌,桌面呈圆形,桌子两边呈对称,每一边的桌腿各由一根钢筋连接,钢筋两端分别固定在最长的外侧桌腿上,并且钢筋在空槽中自由移动,桌子外侧形状近似直纹曲面,折叠前为工整的有厚度的长方形木板。
用数学的思想和方法建立模型来解决下列问题:
1.在规定的条件下,建立模型描述折叠桌的动态变化过程,并给出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度等设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
(条件长方形平板尺寸为120cm×
50cm×
3cm,每根木条宽2.5cm,钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置,折叠后桌子的高度为53cm。
2.对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径,在满足产品稳固性好、加工方便、用材最少的情况下,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数(包括:
平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等)。
若桌高70cm,桌面直径80cm,确定最优设计加工参数。
3.若想设计一个软件,当任意设定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状时,可得到平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,建立出此软件数学模型,并根据所建立的模型设计几个创意平板折叠桌(要求给出相应的设计加工参数,画出至少8张动态变化过程的示意图)。
二、问题的分析
问题1:
第一步:
运用已知数据得出所能求出的直观量。
条件已知长方形平板尺寸为120cm×
3cm,每根木条宽2.5cm,可确定木条数量为20条,由于折叠后桌子的高度为53cm。
所以,最长木条与地面的垂直高度为50cm和轴的垂直高度,利用垂直高度和最长桌腿求出最大偏角。
第二步:
深度剖析桌子相关数据,用数学方法分析,计算,求解,画图。
所有木棍都通过钢筋这一定轴,转过的角度各不相同,使得侧面形成近似直纹曲面。
桌子折叠后,桌腿相对于直径分别对称,所以只需考虑四分之一个整体即可,从而得出侧简图1:
由此,可算出第一条和第n条桌腿的直线距离,由公式一得出n条桌腿的长度,木棍上顶点不动,下顶点转动,利用水平距离求角度,得出公式二,求得角度后,结合桌腿长度
得出最后位置,用MATLAB以角度为自变量画出桌腿到最大偏角的2n的状态图。
问题2:
题中说对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数,例如,平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
情景设定为桌高70cm,桌面直径80cm,保证桌子达到稳固性好、加工方便、用材最少的要求。
不同种类材料有不同的硬度,从而确定不同种类材料的最佳厚度,确定木棍的角度和已知的高度确定板的最小长度,确定用材的最小体积,达到用材最少的要求。
通过计算木棍横截面的长宽比,找到最佳宽度,进而确定最少木棍数目,加上空槽统一规格,达到标准化,从而达到加工方便的要求。
通过确定钢筋位置和最稳角达到稳固性好的要求。
搜集不同材料的硬度对照表(见附录一),选定木材,金属,塑料三个种类的材料进行硬度分析和计算,确定材料的三组最佳厚度进行对比计算,做出同一侧两根最长木棍的梯形,向上延伸腰长,得到三角形,分析此三角形的稳定性,又通过金字塔最稳角这一概念确定三角形顶角的范围,从而确定板长。
根据题一的侧视图图1-1角和长度的关系,建立模型编程,确定最佳角度和木棍宽度和板厚的最佳比例。
从而得出木棍的数量。
根据第一题的模型可确定槽长和各个木棍的长度以及钢筋的位置。
问题3:
给定任意桌面高度、桌面边缘线、桌脚边缘线,求得桌子的整体形状。
运用最稳角和桌高可算出最长木棍的长度,结合已知桌面边缘线和桌脚边缘线可形成一个三维曲面,若桌面边缘线为圆形,那么此曲面为直纹曲面。
从而确定钢筋位置,确定桌子的整体形状。
三、模型的假设
1、假设在桌子动态变化过程中,忽略摩擦力的影响。
忽略木条间的缝隙距离及桌面折叠前铰链接间的缝隙距离。
2、假设槽宽与钢筋横截面直径相等,且钢筋滑动无障碍。
3、假设桌面边缘线过各个木条折叠前铰链处宽度中点。
四、符号的说明
板长:
w
圆的半径:
R
第n条木棍与桌面的角度:
θn
板面到地面的垂直高度:
H
木棍的宽度:
d
板的厚度:
t
第n条木棍与第一根木棍的水平距离:
sn1
第n条木棍的长度:
ln
钢筋的位置:
c
第n条木棍顶点的位置xn
厚宽比:
n
五、模型的建立与求解
模型一:
俯视图:
O
l
由已知条件可算出最长木条与地面的垂直高度为50cm和轴的垂直高度25cm,侧面为近似直纹曲面,所以,图形为对称的,只需研究四分之一的结构,利用垂直高度和最长桌腿求出最大偏角。
假设桌面水平且不动,则木棍的上端点是不动的,又根据所有木棍都通过一个定轴(钢筋)这一特性,建立起木棍的长度方程和各个木棍移动的角度方程,如下:
公式一:
θn>
1=sin-1l1sinθ1l1cosθ1-2R2-R-dn+d22
公式二:
sn1=R2-R-dn+d22-R2-R-dn-1+d22
公式三
ln=w2-R2-R-dn+d22
各木棍顶点x位置:
公式四:
xn=R2-R2-R-nd+d22
由模型方程进行算法编程(见附录2),用MATLAB运算,
求得桌腿长度如下表:
1
52.1938
11
35.0313
2
46.8304
12
35.2829
3
43.4641
13
35.7939
4
41.0016
14
36.5813
5
39.1209
15
37.6743
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
求得角度为73.3292
求得最长空槽长度为34.1749
根据所求的数据及其关系方程,用MATLAB编程制作,在桌面不动的情况下桌子折叠动态图(见图1-2),又通过拟合相关的模拟动态点,得到桌角边缘线的三维图形(见图1-3)。
图1-2
对应数据见表1-3
x
y
z
23.75
29.4734
48.6957
21.25
25.0503
47.6811
18.75
22.0306
46.2446
16.25
19.9331
44.7288
13.75
18.4911
43.3103
11.25
17.5195
42.0853
8.75
16.8848
41.1046
6.25
16.4927
40.3937
3.75
16.2811
39.9641
1.25
16.2144
39.8205
-1.25
-3.75
-6.25
-8.75
-11.25
-13.75
-16.25
-18.75
-21.25
-23.75
插值法
最小二乘法
结果:
LinearmodelPoly11:
f(x,y)=p00+p10*x+p01*y
wherexisnormalizedbymean0andstd14.79
andwhereyisnormalizedbymean19.84andstd4.325
Coefficients(with95%confidencebounds):
p00=43.4(42.91,43.89)
p10=-4.735e-15(-0.501,0.501)
p01=3.04(2.539,3.541)
Goodnessoffit:
SSE:
18.21
R-square:
0.906
AdjustedR-square:
0.895
RMSE:
1.035
分析:
SSE(最好倾向于0)——由于误差平方和。
这个数据的偏差措施响应的拟合值响应。
值接近于0是一个更好的选择。
R平方(最好倾向于1),多个确定的系数。
这个数据衡量成功的适应在解释数据的变化。
一个值接近1是一个更好的选择。
调整R平方(倾向于1是最好的),自由度调整R平方。
一般的最佳指标符合质量当你添加额外的系数模型。
RMSE(最好倾向于零),根均方误差。
由结果分析得由于数据点的局限性,导致SSE、AdjustedR偏大,而R值恰好说明桌角边缘曲线的规律。
模型二:
在对厚度不忽略情况下,指定特定θ,由题一侧视图可得桌子达到稳态时其指定高度与外侧最长脚的关系式。
α
β
θ
l-θ
侧视图:
公式五:
l1=H-tsinθ
由最稳情况下桌脚连线与桌圆投影相切的俯视图,可知其半径与厚度关系式
公式六:
R=H-ttanθ+R2+R-d22
引入厚宽比n:
t=nd
由公式五与公式三求得w与d的关系式,由此得:
公式七:
w=2l1+2R2-R-d22=2H-tsinθ+2R2-R-d22
公式八(正玄定理):
l1-Rsinθ=Rsinβ=x1sinγ
根据金属、塑料、木材三大类材料的硬度对照表(见附录一)以及硬度换算表,确定不同种类材料的最佳厚度(满足承重的最薄厚度)。
做出同一侧最长两根木棍与桌面形成的梯形侧视图,将两腰长分别向上延伸形成三角形,建立其最长木棍与地面形成的角与厚度的关系,画出图2-1,又根据厚度与板长的关系,建立起最长木棍与地面形成的角与板长的关系,画出图2-2,进而确定了最佳板长(即符合桌高的最短板长)。
根据题一的侧视图图1-1角和长度的关系,又运用金字塔最稳角的知识,建立模型编程,确定最佳角度和木棍宽度和板厚的最佳比例,从而确定最佳木棍的数目(即节约制作步骤的最少木棍数目)。
由模型一的第一个公式每根木棍的长度,根据最短木棍长度和角度确定钢筋位置,算出槽长。
统一的标准化的槽长和最少木棍数目,满足了加工方便的要求;
最稳角度和钢筋位置,满足了最稳结构的要求;
三种材料的厚度对比,最大角度与厚度和板长的关系图,及木棍宽度和板厚的关系图对比,保证了在各种条件下,都有符合题目的最佳参数配置。
增加的模型的完备性。
图2-1
分析:
在给定桌高与直径下,可知同时满足条件的厚度和最稳角的是在有限范围内的,且n固定的情况下,最大角度随着材料厚度的增加而逐渐缓慢增加。
当取得最稳角情况下,n随着厚度的增加平稳增加。
故在选定材料情况下可取得相应的最佳厚宽比例n。
图2-2
在取得最稳角和确定厚宽比情况下,在有效范围内,可取得最短板长,由此可解得板长。
综上所述,得出n=1的时候得出最优的参数,得出下表,
n=1
角度(度)
厚度(厘米)
板长(厘米)
金属
62.6
0.384
82.3272
木材
64.4
1.2574
84.1061
塑料
66
2.517
83.824
模型三:
由于桌高、桌面边缘线、桌脚边缘线是已知的,加上最稳角,可求得最长木棍的长度,及桌的侧面空间曲面,空间曲面与两条最长腿所形成的平面相交处确定钢筋的位置,最终确定了桌子的形状。
考虑美观和便于计算,去切割线宽度和长度均不变。
已知边缘线所得图像:
矩形切割:
矩形:
Sn1=wn
类似题一求结过程,得椭圆线切割:
椭圆:
Sn1=1-ynb2-1-yn-1b2×
a
任意设定两个情形,设计出满足相应要求的桌子
得菱形动态图:
得正六边形的桌面动态图:
六、模型的评价与推广
6.1模型的优点
简单,明了,贴近实际,运用图形的几何特性,三维二维互相转化,用最基本的几何图形环环相扣,解出结果。
插值,最小二乘法,画出图形。
精确,逻辑思维强,层次分析,通过三种材料的厚度对比,最大角度与厚度和板长的关系图,及木棍宽度和板厚的关系图对比,保证了在各种条件下,都有符合题目的最佳参数配置。
简单纯数学模型,容易理解。
很形象。
6.2模型的缺点
只限于特定的情况,实际生产应用范围窄。
忽略了一些外界的影响因素,考虑不够全面。
数据量大,不易整理,且边缘线方程不一定,需要拟合确定,比较麻烦
6.3模型的推广
模型简单,明了,易于计算,实用性强,生活中各种理论计算及相关分析都适用。
模型精确,适用于要求较高的计算中,适合设计生产。
虽然数据量大且边缘方程需拟合确定,但是设计出算法和程序,一切都有电脑解决,简单方便,又可以满足不同客户的需求,所以实用性很强。
参考文献
[1]赵静,但琦主编,数学建模与数学实验-3版,北京:
高等教育出版社,2008.1
[2]谢庆森,黄艳群编著,人机工程学,中国建筑工业出版社,2009.11.1
[3]王继承,产品设计中的人机工程学,化学工业出版社,2011.11.1
[4]陈向阳,关富玲,折叠结构几何非线性分析,计算力学学报,第17卷第4期,2000.11
[5]蔡国梁,李玉秀,王世环,直纹曲面的性质及其在工程中的应用,数学的实践与认识,第38卷第8期,2008.4
[6]喻国盈,李旭,刘苏瑶,曲悠扬,张雨婷,便携式多功能绘图桌设计研究,科技创新导报,2010.10.25
[7]陈京平,直纹曲面过渡管的构成过程与造型,福建信息技术教育,2005.7
[8]孙明珠,正弦直纹曲面的研究,天津工业大学学报,第27卷第4期,2008.8
[9]刘刚田,人机工程学,北京:
北京大学出版社,2012.9
[10]百度文库,金属材料硬度对照表,,2014.9,14
[11]百度图片,木材硬度对照表,2014.9.14
[12]金字塔锥角52度的误会,
32
附录
附录1:
金属材料硬度对照表
抗拉强度N/mm2
维氏硬度
布氏硬度
洛氏硬度
Rm
HV
HB
HRC
250
80
76.0
270
85
80.7
285
90
85.2
305
95
90.2
320
100
95.0
335
105
99.8
350
110
370
115
109
380
120
114
400
125
119
415
130
124
430
135
128
450
140
133
465
145
138
480
150
143
490
155
147
510
160
152
530
165
156
545
170
162
560
175
166
575
180
171
595
185
176
610
190
181
625
195
640
200
660
205
675
210
199
690
215
204
705
220
209
720
225
214
740
230
219
755
235
223
770
240
228
20.3
785
245
233
21.3
800
238
22.2
820
255
242
23.1
835
260
247
24.
850
265
252
24.8
865
257
25.6
880
275
261
26.4
900
280
266
27.1
915
271
27.8
930
290
276
28.5
950
295
29.2
965
300
29.8
995
310
31.0
1030
304
32.2
1060
330
314
33.3
1095
340
323
34.4
1125
333
35.5
1115
360
342
36.6
1190
352
37.7
1220
361
38.8
1255
390
371
39.8
1290
40.8
1320
410
41.8
1350
420
399
42.7
1385
409
43.6
1420
440
418
44.5
1455
428
45.3
1485
460
437
46.1
1520
470
447
46.9
15557
(456)
47.
1595
(466)
48.4
1630
500
(475)
49.1
1665
(485)
49.8
1700
520
(494)
50.5
1740
(504)
51.1
1775
540
(513)
51.7
1810
550
(523)
52.3
1845
(532)
53.0
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