数学思想方法的重大突破.docx
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数学思想方法的重大突破
数学思想方法的最大突破
一、数学思想方法的重大突破
之从算术到代数
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累,它包含着数学本身许多根本的变化,也即质的飞跃。
历史上发生的数学思想方法的几次重大突破,就充分说明了这一点。
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科,两者有着密切的联系。
算术是代数的基础,代数由算术演进而来。
从算术演进到代数,是数学在思想方法上发生的一次重大突破。
一、代数学产生的历史必然性
代数学作为数学的一个研究领域,其最初而又最基础的分支是初等代数。
初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。
从历史上看,初等代数是算术发展的继续和推广,算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要,为初等代数的产生提供了前提和基础。
我们知道,算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。
算术的产生,表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具,在人类社会各部门都有广泛而重要的应用,离开算术这一数学工具,科学技术的进步几乎难以相象。
在算术的发展过程中,由于算术理论和实践发展的要求,提出了许多新问题,其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性,主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算,不允许有抽象的、未知的数参加运算。
也就是说,利用算术解应用题时,首先要围绕所求的数量,收集和整理各种已知的数据,并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式,然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。
许多古老的数学应用问题,如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等,都是借助这种方法求解的。
算术解题法的关键是正确地列出算术,即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来,建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。
对于那些只具有简单数量关系的实际问题,列出相应的算式并不难,但对于那些具有复杂数量关系的实际问题,在列出相应的算式,往往就不是一件容易的事了,有时需要很高的技巧才行。
特别是对于那些含有几个未知数的实际问题,要想通过建立已知数的算式来求解,有时甚至是不可能的。
算术自身运算的局限性,不仅限制了数学的应用,而且也影响和束缚了数学自身的继续发展。
随着数学自身和社会实践的深入发展,算术解题法的局限性日益暴露出来,于是一种新的解题法-代数解题法的产生也就成为历史的必然。
代数解题法的基本思想是,首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式,并按等量关系列出方程,然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
初等代数的中心内容是解方程,因而通常把初等代数理解为解方程的科学。
初等代数与算术的根本区别,在于前者允许把未知数作为运算的对象,后者则把未知数排斥在运算之外。
如果说在算术中也论及某个未知数的话,那么,这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用,只能单独地处在等式的左边,静等等式右边的算式完成对具体数字的演算。
也就是说,在算术中,未知数没有参加运算的权利。
而在代数中,方程作为由已知数和未知数构成的条件等式,本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位,即未知数也变成了运算的对象,和已知数一样,它们可以参与各种运算,并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边。
解方程的过程,实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合,把未知数转化为已知数的过程,即把未知数置于等式的一边,已知数置于等式的另一边。
从这种意义上看,算术运算不过是代数运算的特殊情况,代数运算是算术运算的发展和推广。
由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性,因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围,许多算术无能为力的问题,在代数中却能轻而易举地得到解决。
不仅如此,代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响,许多重大发现都与代数的思想方法有关。
例如,对二次方程的求解,导致虚数的发现;对五次以上方程的求解,导致群论的诞生;把代数应用于几何问题,导致解析几何的创立等等。
正因为如此,我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志。
二、代数学体系结构的形成
“代数”一词,原意是指“解方程的科学”。
因此,最初的代数学也就是初等代数。
初等代数,作为一门独立的数学分支学科,其形成经历了一个漫长的历史过程,我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志。
从历史上看,它大体上经过了三个不同的阶段:
文词代数,即用文字语言来表述运算对象和过程;简字代数,即用简化了的文词来表示运算内容和步骤;符号代数,即普遍使用抽象的字母符号。
从文词代数演进到符号代数的过程,也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程。
在这个过程中,17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献。
他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人,他提出和使用的许多符号,同现代的写法基本一致。
随着数学的发展和社会实践的深化,代数学的研究对象不断得到扩大,其思想方法不断得到创新,代数学也就由低级形态演进到高级形态,由初等代数发展到高等代数。
高等代数有着丰富的内容和众多的分支学科,其中最基本的分支学科有如下几个。
线性代数:
讨论线性方程(一次方程)的代数部分,其重要工具是行列式和矩阵。
多项式代数:
主要借助多项式的性质来讨论代数方程的根的计算和分布,包括整除性理论、最大公因式、因式分解定理、重因式等内容。
群论:
研究群的性质的代数学分支学科,属于抽象代数的一个领域。
群是带有一种运算的抽象代数系统。
群的概念是19世纪初由法国青年数学家伽罗华最先提出的,伽罗华由此成为群论的创立者。
群论发展到现在,已经获得丰富的内容和广泛的应用。
环论:
研究环的性质的代数学分支学科,是正在发展着的一个抽象代数领域。
环是带有二种运算的抽象代数系统,有许多独特的性质。
一种特殊的环称为域,如果域的元素是数,则称为数域。
以域的概念为基础,形成了抽象代数学的另一个领域-域论。
布尔代数:
也称二值代数、逻辑代数或开关代数,是带有三种运算的抽象代数系统。
由英国数学家布尔于19世纪40年代创立。
近几十年来,布尔代数在线路设计、自动化系统和电子计算机设计方面得到广泛应用。
此外,还有格论、李代数和同调代数等分支学科。
高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别。
初等代数属于计算性的,并且只限于研究实数和复数等特定的数系,而高等代数是概念性、公理化的,它的对象是一般的抽象代数系统。
因此,高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性,这就使高等代数的应用范围更加广泛。
向抽象性和普遍性方向发展,是现代代数学的一个重要特征。
二、数学思想方法的重大突破
之从综合几何到几何代数化
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累,它包含着数学本身许多根本的变化,也即质的飞跃。
历史上发生的数学思想方法的几次重大突破,就充分说明了这一点。
几何学和代数学一样,也是数学中最基础而最古老的分支学科之一。
几何学经过漫长的历史发展,其思想方法发生了一系列重大的变革。
在这些变革中,起决定性的第一个重大变革,则是从综合几何到几何代数化的历史演进。
一、几何代数化思想的由来
数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的,数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。
在数学的萌芽时期,数和形的研究并不是互相割裂的,长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。
可是,在尔后的数学发展中,数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。
这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。
我们知道,几何学作为一门独立的数学学科,最先是在古希腊学者手中形成的,欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。
那时,代数尚处于潜科学阶段,尚未形成严谨的逻辑体系,只是以零散、片断的知识形态存在着。
因此,从公元前3世纪到14世纪,几何学在数学中占据着主导地位,而代数则处于从属的地位。
由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形,可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨,归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证,所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题,甚至把代数看成是与几何不相干的学科。
这种人为的割裂,不仅延误了代数的发展,也影响了几何学的进步。
随着数学研究范围的扩大,用几何方法来解决数学问题越来越困难,因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效,而且推演、论证的步骤又显得相当繁难,缺乏一般性方法。
正当几何学难于深入进展时,代数学日趋成熟起来。
尤其是在16世纪代数学得到突破性进展,不仅形成了一整套简明的字母符号,而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。
这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升,于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。
历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。
他尝试用代数方法来解决几何作图问题,并隐约出现了用方程表示曲线的思想。
他指出,几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出,所以它们实质上属于代数的运算。
随着代数方法向几何学的渗透,代数方法的普遍性优点日益表露出来,于是用代数方法来改造传统的综合几何思维,把代数和几何有机结合起来,互相取长补短,便成为十分必要的了。
实现代数与几何有机结合的关键,在于空间几何结构的数量化,即把形与数统一起来。
这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。
笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想,他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性,为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。
1619年,他悟出建立新方法的关键,在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系,由此可用方程来表示曲线。
1637年,他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版,在这个附录中,他明确提出了坐标几何的思想,并用于解决许多几何问题。
此书的问世,标志着解析几何的诞生。
与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马,也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。
他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。
解析几何的出现开创了几何代数化的新时代,它借助坐标实现了空间几何结构的数量化,由此把形与数、几何与代数统一了起来。
而坐标本身就是几何代数化的产物,是点与数的统一体,它既是点的位置的数量关系表现,又是数量关系的几何直观,因此它具有形与数的二重性。
有了坐标概念,就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。
例如,求两点间的距离,如果两点的坐标(x1,y1)和(x2,y2)何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题。
再如,求两条曲线的交点,这是几何学中比较困难的一个问题,如果两条曲线的方程给定,那么通过解联立方程组就可求出交点的位置,因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。
随着解析几何的发展,几何代数的内容和方法不断得到丰富。
1704年,牛顿运用坐标方法研究了三次曲线,1748年,欧拉在《分析引论》一书中全面而系统地论述了平面解析几何的理论;1788年,拉格朗日又把力、速度和加速度给予了算术化,由此开创了解析几何中的向量理论研究方向。
与此同时,坐标概念本身也在不断地丰富,除直角坐标系外,又相继产生了斜坐标、极坐标、柱坐标和球坐标。
坐标系也从二维扩展到三维以及多维和无穷维,从而又出现了多维解析几何和无穷维解析几何。
由此又导致了代数几何和泛函分析的产生。
二、几何代数化的意义
几何代数化对于数学的发展有着重要的意义,这里仅就几个方面加以分析。
1.把几何学推到一个新的阶段
几何代数化不仅为几何学提供了新方法,使许多难以解决的几何问题变得简单易解,更重要的是为几何学发展注入了新的活力,增添了崭新的内容。
首先,传统几何学的逻辑基础主要是推理,基本上是定性研究,如直线的平行性、曲线的相交、图形的全等等。
几何代数化的出现,使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解,而方程的研究又主要是数量上的分析,这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段。
其次,在传统几何学中,空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象和确立起来,这种空间概念具有明显的直观性和经验性,如一维的直线、二维的平面和三维的立体。
几何代数化的出现,使得空间的几何结构实现了数量化,而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维,它可以是n维以至无穷维的,这就把几何学的空间概念从低维扩张到了高维,即把几何学研究的内容从现实空间图形的性质扩展到抽象空间图形的性质。
第三,传统几何学主要研究固定不变的图形,如各种各样的直线形和曲线形,这些图形虽然可以移动和相互变换,但图形本身的结构却是“死”的,即传统几何学是一种静态几何学。
几何代数化的出现,使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹,即可把曲线看作是由“点”通过运动而生成的,这就使人们对形的认识由静态发展到了动态。
2.为代数学研究提供了新的工具
几何代数化不仅直接影响和改造了传统的几何学,扩大了几何学的研究对象,丰富和发展了几何学的思想方法,而且也使代数学获得了新的生命力。
首先,几何学的概念和术语进入代数学,使许多代数课题具有了直观性。
我们知道,和几何学相比,代数学具有更高的抽象性,许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义。
几何代数化的出现,为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的模型。
如可把方程的解看作是曲线的交点的坐标,可把二次方程根与系数关系的研究转化为考察和分析圆锥曲线与坐标轴的相对位置。
其次,几何学思想方法向代数学的移植和渗透,开拓了代数学新的研究领域。
如以线性方程(一次方程)为主要对象的线性代数,就是在线性空间概念的基础上构造起来的,这里的“线性”、“空间”等概念并不是代数学本身所固有的,而是从几何学中借用的。
3.为微积分的创立准备了必要条件
几何代数化思想形成的标志是解析几何的创立,笛卡儿在创立解析几何过程中,不仅提出了代数与几何相结合的思想,而且把变数引进了数学。
变数的引进,对于数学的发展有着极为重要的意义,特别是为微积分的创立准备了重要工具,加速了微积分形成的历史进程。
从这种意义上看,可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏。
对此,恩格斯曾高度评价:
“数学中的转折点是笛卡儿的变数。
有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了”。
4.为数学的机械化证明提供了重要启示
定理的机械化证明,是现代数学新兴的一个研究领域,从机械化算法上看,它的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化。
因此,定理机械化证明的思想渊源可追溯到几何的代数化。
关于这一点,我们在§6中还要详细介绍。
此外,几何代数化的思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示。
如数学家们把点与数对、曲线与方程相对应的思想加以发展,提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想,在此基础上进而创立了泛函分析这一新的理论。
三、数学思想方法的重大突破
从常量数学到变量数学
历史表明,数学的发展,不仅表现为量的积累,而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法在历史上经历了四次重大转折:
从算术到代数,从常量数学到变量数学,从必然数学到或然数学,从明晰数学到模糊数学,就充分说明这一点。
回顾、总结和分析这四次重大转折,将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
下面主要针对从常量数学到变量数学这一转折来说明这一点。
算术、初等代数、初等几何和三角,构成了初等数学的主要内容。
它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象。
因此这部分内容也称为常量数学。
运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。
可是,对于描述运动和变化,却是无能为力的。
于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分——变量数学。
从常量数学到变量数学,是数学在思想方法上的又一次重大转折。
1.自然科学中研究变量的几个典型问题。
数学的发展始终受着自然科学的影响。
特别是,自然科学通过向数学提出各种重大的问题,在一定程度上推动着数学的发展。
变量数学就是在回答十六、十七世纪自然科学提出的大量数学问题过程中,酝酿和创立起来的。
古希腊的阿基米德(Archimedes,公元前287—212)等人在解答数学内部的某些问题时,已经十分接近了微分和积分的计算,这些计算实际上给出了微积分的原始雏型。
但是,微积分理论却没能在阿基米德的时代确立,一直到十七世纪才得以完成。
其原因之一,就是十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题,常量数学大都可以解决,对变量数学的需求缺乏迫切性。
然而,到了十七世纪,随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡,自然科学从神学的桎梏下解放出来,开始大踏步地前进。
这时,生产和自然科学部门,向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。
这些新问题,大体可以分为以下五种类型:
第一,描述非匀速运动物体的轨迹。
开普勒在总结大量观测资料的基础上,发现行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆;伽利略(G.Galilei,1564一1642)明确提出,各种抛射物体诸如炮弹和石头的运动轨迹是抛物线。
他们的工作引起了人们对圆锥曲线重新研究。
圆锥曲线本来早在古希腊时代就被阿波罗尼(Apollonius,约公元前262—190)等人认真研究过,不过在十六世纪之前人们只是出自纯数学的兴趣,而且是用静态的观点来研究图形的性质,即把它们看作是由平面从不同角度截锥体而来的。
行星绕日运动和抛体运动则要求人们用运动和变化的观点来研究圆锥曲线,即把曲线看成是经物体运动而生成且随时间而变化着的轨迹。
第二,求变速运动物体的速度或路程。
已知变速运动的物体在某段时间内经过的路程,求物体在任意时刻的速度和加速度:
反过来,已知物体运动的速度或加速度,求某段时间内经过的路程。
求物体运动的速度或路程是一个古老问题,但以前人们处理的大都是匀速运动的情况,对于变速运动,只能采用求平均速度的方法给出问题的近似解。
自然科学的发展则要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度,或在某一段时间内所经过的路程。
这就使传统的数学方法完全不适用了。
第三,求曲线在任一点的切线。
这个问题主要来源于光学和力学的需要。
在光学中,要研究光线在不同介质的通道,这就涉及到光线在曲面上的反射角或进入另一个介质的折射角,而这些角是光线同曲线的法线所夹的角,法线又是垂直于切线的,所以问题就归结于求出曲线的切线;在力学中,运动物体在它轨迹上任一点的运动方向,实质上就是轨迹上这一点的视线方向。
第四,求变量的极值,即求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值。
力学和天文学涉及到的这类问题较多。
例如,炮弹运行的水平距离是一个随发射角的变化而变化的变量,求发射角为多大时这个水平离最大。
再如,行星运动与太阳距离是个变量,求这个变量所能达到的最大值和最小值等等。
第五,计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等,求积问题也是一个古老的问题。
古希腊学者为解决这类问题曾创立穷竭法,但这个方法缺乏一般性,只能解决某些特殊问题。
求物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力,就其思想方法而言,也属于这一类问题。
不难看出上述五类问题有一个共同的特征;就是要求把“变量”作为其研究象。
这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题,正是对这个中心课题的深入研究,导致了变量数学的产生。
2.变量数学的产生及其意义。
变量数学产生于十七世纪。
它大体上经历了两个具有决定性的重大步骤。
第一个步骤是解析几何的产生。
1637年,法国数学家笛卡儿发表《方法论》一书,书后有三篇附录,其中一篇叫做《几何学》。
在这篇附录中,他首次明确提出了点的坐标和变数的思想,并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。
这篇附录的问世,是解析几何产生的重要标志。
和笛卡儿同时代的法国业余数学家费尔马,对解析几何的创立也作出了突出功贡献,在数学史上和笛卡儿一起分享着解析几何创立者的荣誉。
但他关于这方面的文章直到1679年,即他去世两年之后,才发表出来。
变量数学产生的第二个决定性步骤是微积分的创立。
十七世纪许多著名数学家、天文学家和物理学家都参与了这一发明的研究工作。
其中贡献最大的要属牛顿(I.Newton,1642一1727)和莱布尼茨(G,W.Leibniz,1646—1716)两个人。
牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。
他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中。
这一天可做为微积分诞生的日子。
他写了《曲线求积论》(1704年出版)和《流数术方法和无穷级数》(1736年出版)两部专论.微积分的著作。
这两部著作集中体现了他在微积分方面的研究成果。
他称连续变量为“流动量”,用符号v、x、y、z等表示。
把它们的导数称为“流数”(或“流动率”’“速度”,“迅度”),并用加小点的字母如表示。
他还使用了术语“刹那”(或“瞬”),相当于表示变量的微分dx、dy等。
莱布尼茨是一个多才多艺的学者,一生中突出的贡献之一是独立地完成微积分学的创立工作。
他创立微积分主要是从几何角度出发。
他的微积分思想最初体现在1675年的手稿之中。
1864年,他在《学艺》杂志上发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,是历史上最早公开发表的关于微积分学的文章。
1686年,他在该杂志上又发表了历史上第一篇关于积分学的文章。
他还是历史上最杰出的符号创造家之一。
他所发明的微积分符号,远远优于牛顿的符号,对微积分的发展有重大的影响。
现今通用的符号dx、dy、等,就是由莱布尼茨精心创造的。
变量数学产生的两个主要步骤都是在十七世纪完成的,因此十七世纪也就成了常量数学向变量数学转变的时期。
变量数学的产生,有着极其重要的意义,其具体表现可概括为以下三个方面。
首先,变量数学的产生,使数学自身在思想方法上发生了重大的变革,由此带来整个数学面貌的根本性改观。
通过这次变革,常量数学的许多分支学科,诸如代数、几何、三角和数论等,由于变量数学的渗透而在内容上得到了极大的丰富,在思想方法上发生了深刻的变化。
例如可把解方程理解为求函数的零点,借助分析的方法给出了代数基本定理的严格证明等等。
通过这次变革,新的数学分支学科雨后春笋般地涌现出来,诸如解析数论、微分几何、常微分方程论、偏微分方程论、积分方程论、级数论、差分学、实变函数论和复变函数论等。
总之,从变量数学产生后,变量数学的思想方法很快就在整个数学中占据了主导地位,长时期内规定和影响着数学发展的方向。
其次,变量数学的产生,使自然科学描述现实物质世界的运动和变化过程成为可能。
在现实世界中,“静”和“常”总是暂时的、相对的,“动”和“变”则是永恒的、绝对的。
这正如恩格斯所描述的:
“整个自然界,从最小的东西到最大的东西,从沙粒到太阳,从原生生物到人,都处于永恒的产生和消灭中,处于不断的流动中,处于无休止的运动和变化中。
”自然科学的对象是运动变化着的物质世界,变量数学的产生,为自然科学定量地描述和研究物质世界的运动.变化规律提供了强有力的工具。
恩格斯十分重视微积分在自然科学中的作用,他指出:
“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:
运动。
”自变量数学产生以后,数学在自然科学各部门的应用范围得到了空前的扩展。
第三,变量数学的产生具有重大的哲学意义。
变量数学的基本概念变量、函数、极限、导数和微分,以及微分法和积分法,从本质上看,不外是辩证法在数学上的运用。
恩格斯曾对此明确指出:
“数学中的转折点是笛卡儿的变数。
有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学”.可以说,变量数学的产生,是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。
正象恩格斯所指出的:
“在一切理论成就中,未必且有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
随着变量数学的思想与方法在数学中的全面渗透,数学日益成为“辩证的辅助工具和表现方式。
”这不仅为后来数学的健康发展提供了正确的思维方法,而且又为辩证法的普适性从数学上提供了生动的例证。
四、数学思想方法的重大突破
之从必然数学到或然数学
【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累,它包含着数学本身许多根本的变化
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