人教版高中数学必修二知识点整理及重点题型梳理圆的方程提高Word格式文档下载.docx
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,圆心为
C
)
,半径为
,则有
(1)若点
M
(x
,y
00
(2)若点
(3)若点
)在圆上
⇔|
CM
(x
)在圆外
|>
)在圆内
|<
)2
>
<
1
要点三:
圆的一般方程
D2
E
4F
⎛
D
⎫
⎝
⎭
资料来源于网络
仅供免费交流使用
⎛D
⎫2⎛E
⎫2D2
4F
⎝2
⎭⎝2
⎭4
(1)当
时,方程只有实数解
-
E
=-
.它表示一个点
(-
(2)当
时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
⎛DE
⎫1
⎝22
⎭2
要点四:
几种特殊位置的圆的方程
条件
方程形式
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
轴上
轴上且过原点
(r
≠
0)
b2
y2
a2
(a
(b
Dx
Ey
F
与
轴相切(
(D
(E
要点五:
用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件,建立关于
a、b、r
或
D、E、F
的方程组.
(3)解方程组,求出
的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程
要点六:
轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于
变量
x,
之间的方程.
1.当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;
当动点满足的条件符合某一基本曲线的定
义(如圆)时,常采用定义法;
当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关
点法).
2.求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;
二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.
3.求轨迹方程的步骤:
(1)建立适当的直角坐标系,用
y)
表示轨迹(曲线)上任一点
的坐标;
(2)列出关于
的方程;
(3)把方程化为最简形式;
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)
(5)作答.
【典型例题】
类型一:
例
1.求满足下列条件的各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是
3;
(2)已知圆
经过
A(5,1),
B(1,3)
两点,圆心在
轴上;
(3)经过点
P
(5,1),圆心在点
(8,
-3)
.
【思路点拨】一般情况下,如果已知圆心或易于求出圆心,可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,
求出圆心坐标和半径.
【答案】
(1)
9
(2)
2)2
10
(3)
8)2
3)2
25
【解析】
9
(2)线段
AB
的中垂线方程为
4
,与
轴的交点
(2,
0)
即为圆心
的坐标,所以半径为
|
CB
|=10
,所以圆
的方程为
(3)解法一:
∵圆的半径
=|
CP
|=
(5
(1
5
,圆心在点
-3)
∴圆的方程是
解法二:
∵圆心在点
,故设圆的方程为
又∵点
(5,1)在圆上,∴
,∴
∴所求圆的方程是
25
【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于
的方程组,求
或
直接求出圆心(a,b)和半径
r,一般步骤为:
(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2;
的方程组;
的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
举一反三:
【变式
1】圆心是(4,―1),且过点(5,2)的圆的标准方程是()
A.(x―4)2+(y+1)2=10B.(x+4)2+(y―1)2=10
C.(x―4)2+(y+1)2=100D.
4)2
1)2
10
【答案】A
2.(2015
秋
湖北宜昌月考)求下列各圆的标准方程:
(1)圆心在直线
y=0
上,且圆过两点
A(1,4),B(3,2);
(2)圆心在直线
2x+y=0
上,且圆与直线
x+y―1=0
切于点
M(2,―1).
【思路点拨】
(1)求出圆心和半径,即可求圆
(2)设出圆心坐标,列方程组解之.其中由圆心在直线
上得出一个方程;
再由圆心到直线
的距离即半径得出另一个方程.
20
(1)∵圆心在直线
上,
∴设圆心坐标为
C(a,0),
则|AC|=|BC|,
即
16
=(a
,
即(a
解得
a=―1,即圆心为(―1,0),
半径
AC
|=(-1
则圆的标准方程为(
(2)设圆心坐标为(a,b),
⎧2a
⎪
则
⎨|
1|
1)2
⎪(
a=1,b=-2,∴
=2
∴要求圆的方程为(
典型例题
1】
(1)过点
A(2,
-3),
B(-2,
-5)
且圆心在直线
3
上;
(2)与
轴相切,圆心在直线
3x
上,且被直线
截得的弦长为
7
(1)设圆的方程为:
,则
⎧(2
(-3
⎨
-2
(-5
,解得:
-1,b
-2,
⎪a
2b
⎪⎩
所求圆的方程为:
(2)设圆的方程为:
⎧r
b2⎧a
1⎧a
-1
⎪⎪⎪
⎨3a
0解得:
⎨b
-3
⎪r
类型二:
3.已知直线
x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0
表示一个圆.
(1)求
t
的取值范围;
(2)求这个圆的圆心和半径;
(3)求该圆半径
的最大值及此时圆的标准方程.
【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示,则它具备隐含条件
D2+E2―4F>0,解题时,应充分利用
这一隐含条件.
【答案】
1)-<
1
(2)(t+3,4t2-1)1
6t
7t
(3)
7
⎛
⎝
24
⎫2
13
⎫2
⎭
49
16
(1)已知方程表示一个圆
D2+E2―4F>0,即
4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)>0,整理得
7t2―6t―1<0
⇔-
1
(2)圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2.
∴它的圆心坐标为(t+3,4t2-1),半径为
(3)由
=.
2⎝7
⎭77
∴r
的最大值为
,此时圆的标准方程为
⎛24
⎫2⎛13
⎫216
⎝7
⎭⎝49
⎭7
⎝7⎭
⎩
4t
-1
得
y=4(x―3)7
7⎝
7⎭
2】
(1)求过
A(2,2),
B(5,3),
(3,
-1)
的圆的方程,及圆心坐标和半径;
(2)求经过点
A(-2,
-4)
且与直线
26
相切于点(8,6)的圆的方程.
(4,1)
11x
30
(1)法一:
设圆的方程为:
⎧8
2D
2E
0⎧
-8
⎪⎪
⎩⎩
所以所求圆的方程为:
8x
,即
,所以圆心为(4,1),
半径为
3
线段
的中垂线为
5
同理得线段
BC
中垂线为
6
⎧
4
,解得
⎨
所以所求圆的方程为(4,1),半径
=(4
(1-
所以
(2)法一:
⎧20
4E
⎧D
-11
⎩
⎪⎩100
8D
6E
所以圆的方程为
法二:
过点
B
与直线
垂直的直线是
18
⎧3x
0⎛
113
⎫125
0⎝
22
⎛11
⎫2⎛3
⎫2125
2】判断方程
ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0(a≠0)是否表示圆,若表示圆,写出圆心和半径长.
2(a
1)2
⎫2
2a
⎝aa
⎭|
|
3】方程
ax
2ay
表示圆,则
的取值范围是
A.
【答案】D
B.
C.
D.
【解析】方程
x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0
转化为
,∴3a2
4a
4<
,∴-2
43
4.(1
ABC
的三个顶点分别为
A(―1,5),B(―2,―2),C(5,5),求其外接圆的方程;
(2)圆
P(1,2)和
Q(―2,3),且圆
在两坐标轴上截得的弦长相等,求圆
的方程.
【思路点拨】在
(1)中,由于所求的圆过三个点,因而选用一般式,从而只要确定系数D、E、F
即
可;
注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点,所以也可先求圆心,再求半径,从而求出圆
的方程.在
(2)中,可用圆的一般方程,但这样做计算量较大,因此我们可以通过作图,利用图形的直
观性来进行分析,从而得到圆心或半径所满足的条件.
(1)x2+y2―4x―2y―20=0
(2)(x+1)2+(y―1)2=5
或(x+2)2+(y+2)2=25
(1)解法一:
设所求的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意有
⎧-
5E
0⎧D
-4
故所求的圆的方程为
x2+y2―4x―2y―20=0.
由题意可求得
的中垂线的方程为
x=2,BC
x+y―3=0.∴圆心是两中垂
线的交点(2,1),∴半径
=(2
5)2
∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25,即
(2)解法一:
如右图所示,由于圆
在两坐标轴上的弦长相等,即|AD|=|EG|,所以它们的一半也相
等,即|AB|=|GF|,又|AC|=|GC|,
∴
ABC≌
GFC,∴|BC|=|FC|.
设
C(a,b),则|a|=|b|.①
又圆
Q(―2,3),
∴圆心在
PQ
的垂直平分线上,
11
D
⎧a
-1⎧a
-2
∴
5.
故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5
或(x+2)2+(y+2)2=25.
x2+y2+2x―2y―3=0
x2+y2+4x+4y―17=0.
x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆
Q(-2,3),
⎧12
22
3D
8
⎨,解得
⎨.
3E
∴圆
x2+y2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0,将
代入得
x2+Dx+11―7D=0.
在
轴上截得的弦长为|
|=D2
4(11-
D)
.将
x=0
y2+(3D―8)y+11―7D=0,
12
|=(3D
由题意有
=(3D
D2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D),
D=4
D=2.
x2+y2+4x+4y―7=0
x2+y2+2x―2y―3=0.
【总结升华】
(1)本例
(1)的解法二思维迂回链过长,计算量过大,而解法一则较为简捷,因此,
当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系,在求该圆的方程时,一般设圆的方程为一般方程,再用待
定系数法来确定系数即可.
(2)本例
(2)中,尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系,但可通过画图分析,利用平面几
何知识,找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹,从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算.
(3)一般地,当给出了圆上的三点坐标,特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标
之间均不相同时,选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷;
而在其他情况下的首选应该是圆的标准方
程,此时要注意从几何角度来分析问题,以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.
1】如图,等边△ABC
的边长为
2,求这个三角形的外接圆的方程,并写出圆心坐标和半径长.
ç
0,
⎫
类型三:
点与圆的位置关系
5.判断点
M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆(x―5)2+(y―6)2=10
的位置关系.
【答案】M
在圆上N
在圆外Q
在圆内
【解析】∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10,
分别将
M(6,9),N(3,3),Q(5,3)代入得
(6―5)2+(9―6)2=10,∴M
在圆上;
(3―5)2+(3―6)2=13>10,∴N
在圆外;
(5―5)2+(3―6)2=9<10,∴Q
在圆内.
【总结升华】点与圆的位置关系,从形的角度来看,设圆心为
O,半径为
r,则点
在圆内
|PQ|
<r;
点
在圆上
|PQ|=r;
在圆外
|PO|>r.从数的角度来看,设圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2,
A(a,b),半径为
M(x0,y0)在圆上
(x0―a)2+(y0―b)2=r2;
M(x0,y0)在圆外
(x0―a)2+(y0―b)2>r2;
M(x0,y0)在圆内
(x0―a)2+(y0―b)2<r2.
1】点(a+1,a―1)在圆
的内部,则
的取值范围是________.
【思路点拨】直接把点(a+1,a―1)代入圆的方程左边小于
0,解不等式可得
的范围.
(-∞,1)
【解析】∵点(a+1,a―1)在圆
的内部(不包括边界),
2a(a
1)
整理得:
a<1.
故答案为:
(-∞,1).
类型四:
轨迹问题
6.(2016
广东中山市模拟)已知曲线
上任意一点到原点的距离与到
A(3,―6)的距离之比均
为
(1)求曲线
(2)设点
P(1,―2),过点
作两条相异直线分别与曲线
相交于
B,C
两点,且直线
PB
和直线
PC
的倾斜角互补,求证:
直线
的斜率为定值.
(1)利用直接法,建立方程,即可求曲线
(2)直线与圆的方程联立,求出
A,B
的坐标,利用斜率公式,即可证明直线
(
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