偏微分方程期末复习笔记.doc
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《偏微分方程》期末考试复习
一、波动方程(双曲型方程)
(一)初值问题(柯西问题)
1、一维情形
(1)解法(传播波法):
由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
(I)(Ⅱ)
其中,问题(I)的解由达朗贝尔公式给出:
由齐次化原理,问题(Ⅱ)的解为:
其中,是下述初值问题的解:
,
利用达朗贝尔公式得
从而问题(Ⅱ)的解为:
综上所述,原初值问题的解为:
(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征线:
①依赖区间:
点(x,t)的依赖区间为:
[x-at,x+at];
②决定区域:
区间的决定区域为:
{(x,t)|}
③影响区域:
区间的影响区域为:
{(x,t)|}
④特征线:
(3)解的验证:
见课本P10,P14
2、三维情形
(1)解法(球面平均法):
由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
(I)(Ⅱ)
其中,问题(I)的解由泊松公式给出:
由齐次化原理,问题(Ⅱ)的解为:
其中,是下述初值问题的解:
,
利用泊松公式得
从而问题(Ⅱ)的解为:
综上所述,原初值问题的解为:
(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理(无后效现象):
①依赖区域(球面):
点的依赖区域为
;
②决定区域(锥体):
球面决定区域为:
;
③影响区域(锥面):
点的影响区域为:
④特征锥:
惠更斯原理(无后效现象)见课本P35
(3)解的验证:
见课本P29,P32
3、二维情形
(1)解法(降维法):
由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
(I)(Ⅱ)
其中,问题(I)的解由二维泊松公式给出:
由齐次化原理,问题(Ⅱ)的解为:
其中,是下述初值问题的解:
,
利用泊松公式得
从而问题(Ⅱ)的解为:
综上所述,原初值问题的解为:
(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象:
①依赖区域(圆饼):
点的依赖区域为
;
②决定区域(锥体):
圆饼决定区域为:
;
③影响区域(锥体):
点的影响区域为:
④特征锥:
后效现象见课本P35、36
(3)解的验证:
课本没有,有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
(二)初边值问题
(1)解法(分离变量法):
由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
(I)(Ⅱ)
用分离变量法(过程请脑内补完)得到(I)的解为:
其中
用齐次化原理得到(Ⅱ)的解:
从而原初边值问题的解为:
注:
非齐次边界条件的情形见课本P21、22
(2)解的验证、相容性条件(见课本P19)
相容性条件:
函数,并且
二、热传导方程(抛物型方程)
(一)初边值问题
(注:
由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题,估计不会考;但是边界条件有可能给第一、第二、第三类边界条件,这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例)
(1)解法(分离变量法):
用分离变量法(过程请脑内补完)得到原方程的解为:
其中
注:
非齐次边界条件的情形见课本P21、22
(2)解的验证、相容性条件(见课本P51、52)
(二)柯西问题
(1)傅里叶变换(必考的重点)
①一维情形:
傅里叶变换:
傅里叶逆变换:
②高维情形:
设,
傅里叶变换:
傅里叶逆变换:
③傅里叶变换的性质:
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
(2)解法:
由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
(I)(Ⅱ)
其中问题(I)的解由泊松公式给出:
用齐次化原理得到问题(Ⅱ)的解:
从而原柯西问题的解为:
(3)解的验证(见课本P58、59)
(三)极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性(见课本P60~65)
极值原理热传导方程()的解u(x,t)在抛物边界上取得极大、极小值。
三、调和方程(椭圆型方程)
(一)拉普拉斯算子、梯度与散度
1、几个常用的关系式:
①;②,为单位向量;③
2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式:
①直角坐标系:
②球面坐标系:
③柱面坐标系:
④极坐标系:
(二)变分原理(见课本P71、72)(算是难点,但期末考估计不会涉及,此处从略)
(三)格林公式及其应用
1、格林公式:
2、格林第一公式:
3、格林第二公式:
4、调和函数的基本积分公式:
①若,则
②若,则
5、若在以曲面为边界的区域内调和,在上有连续一阶偏导数,则.
由此得到诺依曼边界条件有解的必要条件是函数满足
6、球面平均值公式(条件略):
7、球体平均值公式(条件略):
8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性(略)
(四)格林函数
1、格林函数法:
调和函数的第一边值问题的解可以表示为:
2、格林函数的性质:
性质1格林函数除一点外处处调和,而当时,趋于无穷大的阶数与相同;
性质2;
性质3
性质4
性质5
3、静电原像法:
(1)球的泊松公式:
或
(2)圆的泊松公式:
或
(3)半空间的泊松公式:
(4)半平面的泊松公式:
(5)解的验证(见课本P85,86)
(五)调和函数的基本性质(略,不是本次考试的重点)
(六)强极值原理、第二边值问题的唯一性(略,不是本次考试的重点)
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