初中数学中考二轮复习高分攻略中考专题构造函数模型专题Word文档格式.docx
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乙两家旅行社的总费用:
0.9x=576x;
0.75(x﹣20)=480x+1920;
(2)当x=32时,y甲=544×
32=17408(元),y乙=480×
32+1920=17280,
因为y甲>y乙,
所以胡老师选择乙旅行社.
点评:
本题考查了一次函数的应用:
利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系,特别对乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题.
【变式练习】
(2015年四川省广元市中考,21,8分)经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞,此时车流速度为0千米/小时;
当车流密度不超过20辆/千米,车流速度为80千米/小时,研究表明:
当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;
(2)在某一交通时段,为使大桥上的车流书店大于60千米/小时且小于80千米/小时,应把大桥上的车流密度控制在什么范围内?
(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;
(2)由
(1)的解析式建立不等式组求出其解即可.
(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得
,
解得:
.
∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,
当x=100时,v=﹣×
100+88=48(千米/小时);
(2)当20≤x≤220时,v=﹣x+88(0≤v≤80).
当v>60时,即﹣x+88>60,解得:
x<70;
当v<80时,即﹣x+88<80,解得:
x>20,
∴应控制大桥上的车流密度在20<x<70范围内.
本题考查了车流量=车流速度×
车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
2、构建二次函数解决经济决策问题:
例题1、(2015•辽宁抚顺)(第23题,12分)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品,根据物价部门规定:
该产品每千克售价不得超过90元,在销售过程中发现的售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系,对应关系如下表:
售价x(元/千克)
…
50
60
70
80
销售量y(千克)
100
90
(1)求y与x的函数关系式;
(2)该批发商若想获得4000元的利润,应将售价定为多少元?
(3)该产品每千克售价为多少元时,批发商获得的利润w(元)最大?
此时的最大利润为多少元?
二次函数的应用.
(1)根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系,从而结合图表的数可得出y与x的关系式.
(2)根据想获得4000元的利润,列出方程求解即可;
(3)根据批发商获得的总利润w(元)=售量×
每件利润可表示出w与x之间的函数表达式,再利用二次函数的最值可得出利润最大值.
解:
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据题意得
解得
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150;
(2)根据题意得
(﹣x+150)(x﹣20)=4000,
解得x1=70,x2=100>90(不合题意,舍去).
故该批发商若想获得4000元的利润,应将售价定为70元;
(3)w与x的函数关系式为:
w=(﹣x+150)(x﹣20)
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣(x﹣85)2+4225,
∵﹣1<0,
∴当x=85时,w值最大,w最大值是4225.
∴该产品每千克售价为85元时,批发商获得的利润w(元)最大,此时的最大利润为4225元.
本题考查二次函数的应用,难度较大,解答本题的关键是根据题意列出方程,另外要注意掌握二次函数的最值的求法.
(2015•葫芦岛)(第24题)小明开了一家网店,进行社会实践,计划经销甲、乙两种商品.若甲商品每件利润10元,乙商品每件利润20元,则每周能卖出甲商品40件,乙商品20件.经调查,甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元,这两种商品每周可各多销售10件.为了提高销售量,小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元.
(1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式:
y甲= 10x+40 ,y乙= 10x+20 ;
(2)求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系式?
如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,那么当x定为多少元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大?
(1)根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式;
(2)根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,列出不等式求出x的取值范围,根据题意列出二次函数的解析式,根据二次函数的性质求出对称轴方程,得到答案.
(1)由题意得,y甲=10x+40;
y乙=10x+20;
(2)由题意得,
W=(10﹣x)(10x+40)+(20﹣x)(10x+20)
=﹣20x2+240x+800,
由题意得,10x+40≥(10x+20)
解得x≤2,
W=﹣20x2+240x+800
=﹣20(x﹣6)2+1520,
∵a=﹣20<0,
∴当x<6时,y随x增大而增大,
∴当x=2时,W的值最大.
答:
当x定为2元时,才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大.
本题考查的是二次函数的应用,正确列出二次函数的关系式,掌握二次函数的性质是解题的关键.
3、多种函数模型构建综合运用:
例题1、(2015•辽宁铁岭)(第24题)某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜,已知这种蔬菜的批发量在20千克~60千克之间(含20千克和60千克)时,每千克批发价是5元;
若超过60千克时,批发的这种蔬菜全部打八折,但批发总金额不得少于300元.
(1)根据题意,填写如表:
蔬菜的批发量(千克)
25
75
所付的金额(元)
125
300
300
360
(2)经调查,该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y(千克)与零售价x(元/千克)是一次函数关系,其图象如图,求出y与x之间的函数关系式;
(3)若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克,且当日零售价不变,那么零售价定为多少时,该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大?
最大利润为多少元?
二次函数的应用;
(1)根据这种蔬菜的批发量在20千克~60千克之间(含20千克和60千克)时,每千克批发价是5元,可得60×
5=300元;
若超过60千克时,批发的这种蔬菜全部打八折,则90×
5×
0.8=360元;
(2)把点(5,90),(6,60)代入函数解析式y=kx+b(k≠0),列出方程组,通过解方程组求得函数关系式;
(3)利用最大利润=y(x﹣4),进而利用配方法求出函数最值即可.
(1)由题意知:
当蔬菜批发量为60千克时:
60×
5=300(元),
当蔬菜批发量为90千克时:
90×
0.8=360(元).
故答案为:
300,360;
(2)设该一次函数解析式为y=kx+b(k≠0),把点(5,90),(6,60)代入,得
故该一次函数解析式为:
y=﹣30x+240;
(3)设当日可获利润w(元),日零售价为x元,由
(2)知,
w=(﹣30x+240)(x﹣5×
0.8)=﹣30(x﹣6)2+120,
当x=6时,当日可获得利润最大,最大利润为120元.
此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用,得出y与x的函数关系式是解题关键.
(2015,广西玉林,24,9分)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)应怎样确定销售价,使该品种苹果的每天销售利润最大?
最大利润是多少?
(1)由图象过点(20,20)和(30,0),利用待定系数法求直线解析式;
(2)每天利润=每千克的利润×
销售量.据此列出表达式,运用函数性质解答.
(1)设y=kx+b,由图象可知,
解之,得:
∴y=﹣2x+60;
(2)p=(x﹣10)y
=(x﹣10)(﹣2x+60)
=﹣2x2+80x﹣600,
∵a=﹣2<0,
∴p有最大值,
当x=﹣
=20时,p最大值=200.
即当销售单价为20元/千克时,每天可获得最大利润200元.
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识,解题的关键是理解题意,根据题意求得函数解析式,注意待定系数法的应用,注意数形结合思想的应用.
二、【拓展运用】
1.(2015年浙江省义乌市中考,18,8分)
小敏上午8:
00从家里出发,骑车去一家超市购物,然后从这家超市返回家中。
小敏离家的路程
(米)和所经过的时间
(分)之间的函数图象如图所示。
请根据图象回答下列问题:
(1)小敏去超市途中的速度是多少?
在超市逗留了多少时间?
(2)小敏几点几分返回到家?
2.(2015•乌鲁木齐,第23题10分)一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发,货车匀速行驶至乙地,小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地.货车的路程y1(km),小轿车的路程y2(km)与时间x(h)的对应关系如图所示.
(1)甲乙两地相距多远?
小轿车中途停留了多长时间?
(2)①写出y1与x的函数关系式;
②当x≥5时,求y2与x的函数解析式;
(3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇?
相遇时与甲地的距离是多少?
3.(2015•山东德州,第22题10分)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象求y与x的函数关系式;
(2)商店想在销售成本不超过3000元的情况下,使销售利润达到2400元,销售单价应定为多少?
4.(2015•本溪,第24题12分)某种商品的进价为40元/件,以获利不低于25%的价格销售时,商品的销售单价y(元/件)与销售数量x(件)(x是正整数)之间的关系如下表:
x(件)…5101520…
y(元/件)…75706560…
(1)由题意知商品的最低销售单价是 50 元,当销售单价不低于最低销售单价时,y是x的一次函数.求出y与x的函数关系式及x的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,当销售单价为多少元时,所获销售利润最大,最大利润是多少元?
5.(2015•山东德州,第22题10分)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
6.(2015•宁夏第25题10分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:
单价(元/件)
30
34
38
40
42
销量(件)
32
24
20
16
(1)计算这5天销售额的平均数(销售额=单价×
销量);
(2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围);
(3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在
(2)中的关系,且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少?
7.(2015•宁夏)(第25题)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据:
拓展训练参考答案:
一次函数的应用..
(1)根据观察横坐标,可得去超市的时间,根据观察纵坐标,可得去超市的路程,根据路程与时间的关系,可得答案;
在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段;
(2)求出返回家时的函数解析式,当y=0时,求出x的值,即可解答.
(1)小敏去超市途中的速度是:
3000÷
10=300(米/分),
在超市逗留了的时间为:
40﹣10=30(分).
(2)设返回家时,y与x的函数解析式为y=kx+b,
把(40,3000),(45,2000)代入得:
∴函数解析式为y=﹣200x+11000,
当y=0时,x=55,
∴返回到家的时间为:
8:
55.
本题考查了一次函数的应用,观察函数图象获取信息是解题关键.
(1)直接根据图象写出两地之间的距离和小轿车停留的时间即可;
(2)分别利用待定系数法确定函数的解析式即可;
(3)首先求出乙行驶路程的函数关系式,进而利用0<x≤3,得出答案即可.
(1)由图可知,甲乙两地相距420km,小轿车中途停留了2小时;
(2)①y1=60x(0≤x≤7);
②当x=5.75时,y1=60×
5.75=343,
x≥5时,设y2=kx+b,
∵y2的图象经过(5.75,345),(6.5,420),
∴
∴x≥5时,y2=100x﹣230;
(3)x=5时,有=100×
5﹣230=270,即小轿车在3≤x≤5停车休整,离甲地270km,
当x=3时,y1=180;
x=5时,y1=300,
∴火车在3≤x≤5时,会与小轿车相遇,
即270=60x,x=4.5;
当0<x≤3时,小轿车的速度为270÷
3=90km/h,
而货车速度为60km/h,
故,货车在0<x≤3时,不会与小轿车相遇,
∴货车出发4.5小时后首次与小轿车相遇,距离甲地270km.
此题主要考查了一次函数的应用,利用函数图象得出正确的信息,题目解决的是实际问题,比较典型.
一次函数的应用;
一元二次方程的应用..
(1)根据图象可设y=kx+b,将(40,160),(120,0)代入,得到关于k、b的二元一次方程组,解方程组即可;
(2)根据每千克的利润×
销售量=2400元列出方程,解方程求出销售单价,从而计算销售量,进而求出销售成本,与3000元比较即可得出结论.
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
将(40,160),(120,0)代入,
得
,解得
所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240(40≤x≤120);
(2)由题意得(x﹣40)(﹣2x+240)=2400,
整理得,x2﹣160x+6000=0,
解得x1=60,x2=100.
当x=60时,销售单价为60元,销售量为120千克,则成本价为40×
120=4800(元),超过了3000元,不合题意,舍去;
当x=100时,销售单价为100元,销售量为40千克,则成本价为40×
40=1600(元),低于3000元,符合题意.
所以销售单价为100元.
销售单价应定为100元.
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键.
(1)由40(1+25%)即可得出最低销售单价;
根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围;
(2)设所获利润为P元,由题意得出P是x的二次函数,即可得出结果.
(1)40(1+25%)=50(元),
50;
设y=kx+b,
根据题意得:
k=﹣1,b=80,
∴y=﹣x+80,
,且x为正整数,
∴0<x≤30,x为正整数,
∴y=﹣x+80(0≤x≤30,且x为正整数)
(2)设所获利润为P元,根据题意得:
P=(y﹣40)•x=(﹣x+80﹣40)x=﹣(x﹣20)2+400,
即P是x的二次函数,
∵a=﹣1<0,
∴P有最大值,
∴当x=20时,P最大值=400,此时y=60,
∴当销售单价为60元时,所获利润最大,最大利润为400元.
本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题;
由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键.
(2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元
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