离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案).doc
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离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案)
1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是:
参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖。
卡片用后入回盒子,下一位参加者继续重复进行。
(Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:
盒中有几张“海宝”卡?
主持人答:
我只知道,从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是,求抽奖者获奖的概率;
(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用表示获奖的人数,求的分布列及的值。
解:
(I)设“世博会会徽”卡有n张,
由得n=5,
故“海宝”卡有4张,抽奖者获奖的概率为 …………5分
(II)的分布列为
0
1
2
3
4
P
…………12分
2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有K和D两个动作。
比赛时每位运动员自选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩。
假设每个运动员完成每个系列中的K和D两个动作的得分是相互独立的。
根据赛前训练的统计数据,某运动员完成甲系列和乙系列中的K和D两个动作的情况如下表:
表1:
甲系列 表2:
乙系列
动作
K动作
D动作
得分
100
80
40
10
概率
动作
K动作
D动作
得分
90
50
20
0
概率
现该运动员最后一个出场,之前其他运动员的最高得分为115分。
(1)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择哪个系列?
说明理由。
并求其获得第一名的概率。
(2)若该运动员选择乙系列,求其成绩的分布列及数学期望
解.
(1)应选择甲系列,因为甲系列最高可得到140分,而乙系列最高只可得到110分,不可能得第一名。
该运动员获得第一名的概率
(2)的可能取值有50,70,90,110。
110
90
70
50
P
3.在本次考试中共有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有一个是正确的。
评分标准规定:
‘每题只选一项,答对得5分,不答或答错得0分。
’某考生每道题都给出一个答案。
某考生已确定有9道题的答案是正确的,而其余题中,有1道题可判断出两个选项是错误的,有一道可以判断出一个选项是错误的,还有一道因不了解题意只能乱猜。
试求出该考生:
(Ⅰ)选择题得60分的概率;
(Ⅱ)选择题所得分数的数学期望
解:
(1)得分为60分,12道题必须全做对.在其余的3道题中,有1道题答对的概率为,有1道题答对的概率为,还有1道答对的概率为,
所以得分为60分的概率为:
,。
。
。
。
。
。
5分
(2)依题意,该考生得分的范围为{45,50,55,60}.,。
。
。
。
。
。
6分
得分为45分表示只做对了9道题,其余各题都做错,
所以概率为,。
。
。
。
。
。
7分
得分为50分的概率为:
,。
。
。
。
。
。
8分
同理求得得分为55分的概率为:
,。
。
。
。
。
。
9分
得分为60分的概率为:
,。
。
。
。
。
。
10分
所以得分的分布列为
45
50
55
60
数学期望。
。
。
。
。
。
12分
4.某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别
从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为,“实用性”得分为,统计结果如下表:
作品数量
实用性
1分
2分
3分
4分
5分
创
新
性
1分
1
3
1
0
1
2分
1
0
7
5
1
3分
2
1
0
9
3
4分
1
6
0
5分
0
0
1
1
3
(Ⅰ)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率;
(Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为,求、的值.
解:
(Ⅰ)从表中可以看出,“创新性为分且实用性为分”的作品数量为件,
∴“创新性为分且实用性为分”的概率为.…………4分
(Ⅱ)由表可知“实用性”得分有分、分、分、分、分五个等级,
且每个等级分别有件,件,件,件,件.…………5分
∴“实用性”得分的分布列为:
又∵“实用性”得分的数学期望为,
∴.……………10分
∵作品数量共有件,∴
解得,.……………………13分
5.一个袋中装有个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为.
(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取1个球,有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率;
(Ⅱ)若从袋中每次随机抽取个球,有放回的抽取3次,求恰有次抽到号球的概率;
(Ⅲ)若一次从袋中随机抽取个球,记球的最大编号为,求随机变量的分布列.
解:
(Ⅰ)设先后两次从袋中取出球的编号为,则两次取球的编号的一切可能结果有种,………………2分
其中和为的结果有,共种,
则所求概率为.………………4分
(Ⅱ)每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率.
………………6分
所以,次抽取中,恰有次抽到6号球的概率为
.………………8分
(Ⅲ)随机变量所有可能的取值为.………………9分
,
,
,
.………………12分
所以,随机变量的分布列为:
………………13分
6.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。
(1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲、乙约定:
若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜。
你认为此游戏是否公平?
请说明你的理由.
解:
(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况为(2,3),(2,4),(2,),(3,2),(3,4),(3,),(4,2),(4,3),(4,),(,2),(,3),(,4),共12种不同情况
………4分
(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.……8分
(3)由甲抽到的牌比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(,2),(,3),共5种甲获胜的概率乙获胜的概率为
此游戏不公平……..13分
7.某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空,第一空答对得3分,答错或不答得0分;第二空答对得2分,答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷,其中该题的得分组成容量为1000的样本,统计结果如下表:
第一空得分情况
第二空得分情况
得分
0
3
得分
0
2
人数
198
802
人数
698
302
第一空得分
第二空得分
得分
0
3
得分
0
2
人数
198
802
人数
698
302
(Ⅰ)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计这个地区高三学生该题的平均分.
B
A
C
M
F
E
D
(Ⅱ)这个地区的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分的数学期望.
解:
(Ⅰ)设样本试卷中该题的平均分为,则由表中数据可得:
, …….3分
据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分. …….4分
(Ⅱ)依题意,第一空答对的概率为0.8,第二空答对的概率为0.3, ………6分
则该同学这道题得分的分布列如下:
ks5u
0
2
3
5
P
0.14
0.06
0.56
0.24
所以E=0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3……12分
8.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(Ⅰ)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;
(Ⅱ)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为,求的分布列;
(Ⅲ)随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.
解:
(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为…………………………1分
事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”………2分
………………4分
(Ⅱ)由题可知可能取值为0,1,2,3.
,
.…………8分
0
1
2
3
………………9分
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为………10分
事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以,.……………13分
9.某商场进行促销活动,到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖,满200元转两次,以此类推(奖金累加);转盘的指针落在A区域中一等奖,奖10元,落在B、C区域中二等奖,奖5元,落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消费268元,
A
B
C
(Ⅰ)求该顾客中一等奖的概率;
(Ⅱ)记为该顾客所得的奖金数,求其分布列;
(Ⅲ)求数学期望(精确到0.01).
解(Ⅰ)设事件表示该顾客中一等奖
所以该顾客中一等奖的概率是……4分
(Ⅱ)的可能取值为20,15,10,5,0………5分
,,
,(每个1分)……………10分
所以的分布列为
20
15
10
5
0
………………10分
(Ⅲ)数学期望…………………14分
10.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:
两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为,乙、丙面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.
(Ⅰ)求至少有1人面试合格的概率;
(Ⅱ)求签约人数的分布列和数学期望.
解:
(Ⅰ)用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,
且.
至少有1人面试合格的概率是
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.
=
=
=
=
∴的分布列是
0
1
2
3
的期望
11.甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.
解:
(Ⅰ)当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止,
故,
解得或.
又,所以.…………………6分
(Ⅱ)依题意知的所有可能取值为2,4,6.
,
,
,
所以随机变量的分布列为:
所以的数学期望.………………13分
12.甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手,乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手,学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.
(Ⅰ)求选出的4名选手均为男选手的概率.
(Ⅱ)记为选出的4名选手中女选手的人数,求的分布列和期望.
解:
(Ⅰ)事件表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知
………………3分
.………………5分
(Ⅱ)的可能取值为.………………6分
,………………7分
,………………9分
,………………10分
.………………11分
的分布列:
………………12分
.………………13分
13.为振兴旅游业,某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡,其中向省外人士发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡。
某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。
在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡。
(1)在该团中随机采访3名游客,求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率;
(2)在该团的省外游客中随机采访3名游客,设其中持金卡人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望EX。
.解:
(1)由题意知,省外游客有27人,其中9人持有金卡,省内游客有9人,其中6人持有银卡。
记事件B为“采访该团3人中,至少有1人持金卡且恰有1人持银卡,”
记事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡,”
记事件为“采访该团3人中,2人持金卡,1人持银卡,”
则
所以在该团中随机采访3名游客,至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为。
…………………………………….6分
(2)X的可能取值为0,1,2,3
因为,
,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
…10分
故……………………13分
H
C
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
14.张先生家住H小区,他工作在C科技园区,从家开车到公司上班路上有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.
(Ⅰ)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;
(Ⅱ)若走L2路线,求遇到红灯次数的数学期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.
解:
(Ⅰ)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则
.………………4分
所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为.
(Ⅱ)依题意,的可能取值为0,1,2.……5分
,
,
.……8分
随机变量的分布列为:
0
1
2
P
.……10分
(Ⅲ)设选择L1路线遇到红灯次数为,随机变量服从二项分布,,
所以.……12分
因为,所以选择L2路线上班最好.……14分
15.在某次抽奖活动中,一个口袋里装有5个白球和5个黑球,所有球除颜色外无任何不同,每次从中摸出2个球,观察颜色后放回,若为同色,则中奖。
(Ⅰ)求仅一次摸球中奖的概率;
(Ⅱ)求连续2次摸球,恰有一次不中奖的概率;
(Ⅲ)记连续3次摸球中奖的次数为,求的分布列。
解:
(Ⅰ)设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1==……………………3分
(Ⅱ)设连续2次摸球(每次摸后放回),恰有一次不中奖的概率为P2,则
P2=………………………………………………7分
(Ⅲ)的取值可以是0,1,2,3
=(1-)3=,==,
===,==
所以的分布列如下表
0
1
2
3
P
………………………………………………………13分
16.在一次考试中共有8道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的,还有两道题因不理解题意只好乱猜.
(Ⅰ)求该考生8道题全答对的概率;
(Ⅱ)
若评分标准规定:
“每题只选一个选项,选对得5分,不选或选错得0分”,求该考生所得分数的分布列.
解:
(Ⅰ)说明另四道题也全答对,相互独立事件同时发生,即:
5分
(Ⅱ)答对题的个数为4,5,6,7,8,其概率分别为:
20
25
30
35
40
分布列为:
………13分
17.为保护水资源,宣传节约用水,某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动,每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立.
(Ⅰ)求4人恰好选择了同一家公园的概率;
(Ⅱ)设选择甲公园的志愿者的人数为,试求的分布列及期望.
解:
(Ⅰ)设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………1分
每名志愿者都有3种选择,4名志愿者的选择共有种等可能的情况 .……2分
事件A所包含的等可能事件的个数为3, ………3分
所以,.
即:
4人恰好选择了同一家公园的概率为. ……5分
(Ⅱ)设“一名志愿者选择甲公园”为事件C,则. …………6分
4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数,因此,随机变量服从二项分布.
可取的值为0,1,2,3,4. ………………8分
,. ………………10分
的分布列为:
0
1
2
3
4
.…12分
的期望为. .……………………13分
18.某学校高一年级开设了五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率;
(Ⅲ)设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数,求的分布列与数学期望.
解:
(Ⅰ)甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种,
故共有(种).
(Ⅱ)三名学生选择三门不同选修课程的概率为:
.
∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为:
.
(Ⅲ)由题意:
.
;;
;.
的分布列为
数学期望=.---------------13分
19.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:
按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核,若小张参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过,且他直到参加第二次考核才合格的概率为
(I)求小张第一次参加考核就合格的概率P1;
(Ⅱ)求小张参加考核的次数和分布列和数学期望值
解:
(I)由题意得
…………4分
(II)由(I)知小张4次考核每次合格的概率依次为
,所以
所以的分布列为
1
2
3
4
P
…………12分
20.已知5条桥梁横跨A、B两岸,假设各条桥梁的车流量分别为1、1、2、2、3(单
位:
万量),现从这5条桥梁中任取三条桥梁,考察这三条桥梁的车流量之和.
(1)求的概率;(2)求的数学期望.
解:
(1)由等可能事件得.……………………………………… 5分
(2)由已知得.分布列如下:
4
5
6
7
……………………………………………………………………………………………10分
故.……………
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- 离散 随机变量 分布 综合 精选 答案