魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答Word下载.doc
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1.6有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9。
从这五条线段中任取三条,求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。
所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点,于是。
1.7一个小孩用13个字母作组字游戏。
如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大?
解显然样本点总数为,事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。
所以
1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以相互吃掉的概率。
解任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于个不同位置,当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。
故所求概率为
1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。
电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为。
事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。
所以包含个样本点,于是。
1.10某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000。
问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
解用表示“牌照号码中有数字8”,显然,所以
-
1.11任取一个正数,求下列事件的概率:
(1)该数的平方的末位数字是1;
(2)该数的四次方的末位数字是1;
(3)该数的立方的最后两位数字都是1;
解
(1)答案为。
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答案为
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含个样本点。
用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为,则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数,要使3的个位数是1,必须,因此所包含的样本点只有71这一点,于是
1.12一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。
然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接。
求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。
并把上述结果推广到根草的情形。
解
(1)6根草的情形。
取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有种接法,同样对尾也有种接法,所以样本点总数为。
用表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有种连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为。
所以包含的样本点数为,于是
(2)根草的情形和
(1)类似得
1.13把个完全相同的球随机地放入个盒子中(即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的)。
如果每一种放法都是等可能的,证明
(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为,
(2)恰好有个盒的概率为,
(3)指定的个盒中正好有个球的概率为,
解略。
1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解所求概率为
1.15在中任取一点,证明的面积之比大于的概率为。
解截取,当且仅当点落入之内时的面积之比大于,因此所求概率为。
1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。
一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。
因此所求概率为
1.17在线段上任取三点,求:
(1)位于之间的概率。
(2)能构成一个三角形的概率。
解
(1)
(2)
1.18在平面上画有间隔为的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为(均小于),求三角形与平行线相交的概率。
解分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然所求概率为。
分别用表示边,二边与平行线相交,则显然,,。
[]
(用例1.12的结果)
1.19己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件?
试举例说明之。
解概率为零的事件不一定是不可能事件。
例如向长度为1的线段内随机投点。
则事件“该点命中的中点”的概率等于零,但不是不可能事件。
1.20甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止。
试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。
解表示白,表示黑白,表示黑黑白,…,
则样本空间{,,…,},并且,
,,…,
甲取胜的概率为+++…
乙取胜的概率为+++…
1.21设事件及的概率分别为、及,求,,,
解由得
,
1.22设、为两个随机事件,证明:
(1);
(2).
证明
(1)=
(2)由
(1)和得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23对于任意的随机事件、、,证明:
证明
1.24在某城市中共发行三种报纸:
甲、乙、丙。
在这个城市的居民中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比:
(1)只订甲报的;
(2)只订甲、乙两报的;
(3)只订一种报纸的;
(4)正好订两种报纸的;
(5)至少订一种报纸的;
(6)不订任何报纸的。
解事件表示订甲报,事件表示订乙报,事件表示订丙报。
(1)==30%
(2)
(3)
++=++=73%
(4)
(5)
1.26某班有个学生参加口试,考签共N张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?
解用表示“第张考签没有被抽到”,。
要求。
,,……,
,……
1.27从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?
解阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为,当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。
用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。
则
,……
1.29已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的)。
解用分别表示男孩和女孩。
则样本空间为:
其中样本点依年龄大小的性别排列。
表示“有女孩”,表示“有男孩”,则
1.30设件产品中有件是不合格品,从中任取两件,
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。
(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。
解
(1)设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”,表示“所取产品都是不合格品”,则
(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”,表示“所取产品中有一件合格品,一件不合格品”。
1.31个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求:
(1)已知前个人都没摸到,求第个人摸到的概率;
(2)第个人摸到的概率。
解设表示“第个人摸到”,。
(1)
1.32已知一个母鸡生个蛋的概率为,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为,证明:
一个母鸡恰有个下一代(即小鸡)的概率为。
解用表示“母鸡生个蛋”,表示“母鸡恰有个下一代”,则
1.33某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解用表示“任选一名射手为级”,,表示“任选一名射手能进入决赛”,则
1.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有5%,4%,2%。
现在从产品中任取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少?
解用表示“任取一只产品是甲台机器生产”
表示“任取一只产品是乙台机器生产”
表示“任取一只产品是丙台机器生产”
表示“任取一只产品恰是不合格品”。
则由贝叶斯公式:
1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:
3:
2:
1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:
1。
当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少?
解则,,,
,,,
由贝时叶斯公式得
1.36有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。
如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是、、,而乘飞机不会迟到。
结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少?
解用表示“朋友乘火车来”,表示“朋友乘轮船来”,表示“朋友乘汽车来”,表示“朋友乘飞机来”,表示“朋友迟到了”。
则
1.37证明:
若三个事件、、独立,则、及都与独立。
证明
(1)
=
(2)
(3)=
1.38试举例说明由不能推出一定成立。
解设,,,
,,,则,
但是
1.39设为个相互独立的事件,且,求下列事件的概率:
(1)个事件全不发生;
(2)个事件中至少发生一件;
(3)个事件中恰好发生一件。
解
(1)
(3).
1.40已知事件相互独立且互不相容,求(注:
表示中小的一个数)。
解一方面,另一方面,即中至少有一个等于0,所以
1.41一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率
(1)两个人为型,其它三个人分别为其它三种血型;
(2)三个人为型,两个人为型;
(3)没有一人为。
解
(1)从5个人任选2人为型,共有种可能,在其余3人中任选一人为型,共有三种可能,在余下的2人中任选一人为型,共有2种可能,另一人为型,顺此所求概率为:
1.42设有两门高射炮,每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少?
又若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮。
解用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”,,表示“击中飞机”。
则,。
(2),
取。
至少需要6门高射炮,同时发射一发炮弹,可保证99%的概率击中飞机。
1.43做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为,求在成功次之前已失败了次的概率。
解用表示“在成功次之前已失败了次”,表示“在前次试验中失败了次”,表示“第次试验成功”
则
1.45某数学家有两盒火柴,每盒都有根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。
求他用完一盒时另一盒中还有根火柴()的概率。
解用表示“甲盒中尚余根火柴”,用表示“乙盒中尚余根火柴”,分别表示“第次在甲盒取”,“第次在乙盒取”,表示取了次火柴,且第次是从甲盒中取的,即在前在甲盒中取了,其余在乙盒中取。
所以
由对称性知,所求概率为:
第二章离散型随机变量
2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列?
(1)
(2)
(3)(4)
解
(1)是
(2),所以它不是随机变量的分布列。
(3),所以它不是随机变量的分布列。
(4)为自然数,且,所以它是随机变量的分布列。
2.2设随机变量的分布列为:
,求
(1);
(2);
(3)。
(2);
2.3解设随机变量的分布列为。
求的值。
解,所以。
2.4随机变量只取正整数,且与成反比,求的分布列。
解根据题意知,其中常数待定。
由于,所以,即的分布列为,取正整数。
2.5一个口袋中装有个白球、个黑球,不返回地连续从袋中取球,直到取出黑球时停止。
设此时取出了个白球,求的分布列。
解设“”表示前次取出白球,第次取出黑球,则的分布列为:
2.6设某批电子管的合格品率为,不合格品率为,现在对该批电子管进行测试,设第次为首次测到合格品,求的分布列。
解
2.7一个口袋中有5个同样大小的球,编号为1、2、3、4、5,从中同时取出3只球,以表示取出球的取大号码,求的分布列。
2.8抛掷一枚不均匀的硬币,出现正面的概率为,设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数,求的分布列。
解,其中。
2.9两名篮球队员轮流投篮,直到某人投中时为止,如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6,求每名队员投篮次数的分布列。
解设,表示第二名队员的投篮次数,则
+;
2.10设随机变量服从普哇松分布,且,求。
解。
由于得(不合要求)。
所以。
2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布,问在月初进货时应进多少件此种商品,才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解设为该种商品当月销售数,为该种商品每月进货数,则。
查普哇松分布的数值表,得。
2.12如果在时间(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。
已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。
解设为时间内通过交叉路口的汽车数,则
时,,所以;
时,,因而
2.13一本500页的书共有500个错误,每个错误等可能地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过500个)。
试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解在指定的一页上出现某一个错误的概率,因而,至少出现三个错误的概率为
利用普哇松定理求近似值,取,于是上式右端等于
2.14某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装箱,若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品,那么每箱至少应装多少个产品?
解设每箱至少装个产品,其中有个次品,则要求,使
,
利用普哇松分布定理求近似值,取,于是上式相当于,查普哇松分布数值表,得。
2.15设二维随机变量的联合分布列为:
求边际分布列。
2.17在一批产品中一等品占50%,二等品占30%,三等品占20%。
从中任取4件,设一、二、三等品的件数分别为、、,求的联合分布列与各自的边际分布列。
解,
,;
,。
2.18抛掷三次均匀的硬币,以表示出现正面的次数,以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求的联合分布列及边际分布列。
2.21设随机变量与独立,且,
又,定义,问取什么值时与独立?
解=
而,由得
2.22设随机变量与独立,且,定义,证明两两独立,但不相互独立。
证明
因为
所以相互独立。
同理与相互独立。
但是,因而不相互独立。
2.23设随机变量与独立,,且只取值1、2、3、4、5、6,证明不服从均匀分(即不可能有。
)
证明设。
若,则
将
(2)式减去
(1)式,得:
,于是。
同理。
因此,与(3)式矛盾。
2.24已知随机变量的分布列为,求与的分布列。
解分布列为,,;
的分布列为,,。
2.25已知离散型随机变量的分布列为,求的分布列。
解,,,
2.26设离散型随机变量的分布列为:
,:
,且相互独立,求的分布列。
解
2.27设独立随机变量分别服从二项分布:
与,求的分布列。
解设为重贝努里试验中事件发生的次数(在每次试验中),为重贝努里试验中事件发生的次数(在每次试验中),而相互独立,所以为重贝努里试验中事件发生的次数,因而
2.28设为独立同分布的离散型随机变量,其分布列为
求的分布列。
解
2.29设随机变量具有分布:
,求、及。
解,,
+4+4=27
2.30设随机变量具有分布:
,求及。
解,
2.31设离散型随机变量的分布列为:
,问是否有数学期望?
解,因为级数发散,所以没有数学期望。
2.32用天平秤某种物品的重量(砝码仅允许放在一个秤盘中),物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克,现有三组砝码:
(甲组)1,2,2,5,10(克)
(乙组)1,2,3,4,10(克)
(丙组)1,1,2,5,10(克)
问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少?
解设、、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数,则有
物品重量度12345678910
1122122331
1111222331
1123122341
于是
所以,用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。
2.33某个边长为500米的正方形场地,用航空测量法测得边长的误差为:
0米的概率是0.49,米的概率各是0.16,米的概率各是0.08,米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。
解设场地面积为,边长的误差为米,则且
2.34对三架仪器进行检验,各仪器发生故障是独立的,且概率分别为、、。
试证发生故障的仪器数的数学++。
证令
为发生故障的仪器数,则,
所以++。
2.37如果在15000件产品中有1000件不合格品,从中任意抽取150件进行检查,求查得不合格品数的数学期望。
解设,
则的分布列为,因而。
设为查得的不合格品数,则
,所以。
2.38从数字0,1,…,n中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望。
解设为所选两个数字之差的绝对值,则,
于是。
2.39把数字任意在排成一列,如果数字恰好出现在第个位置上,则称有一个匹配,求匹配数的数学期望。
解设则的分布列为:
于是,设匹配数为,则,因而。
2.40设为取非负整数值的随机变量,证明:
证明
(1)由于存在,所以该级数绝对收敛。
从而
(2)存在,所以级数也绝对收敛,从而
2.41在贝努里试验中,每次试验成功的概率为,试验进行到成功与失败均出现时停止,求平均试验次数。
解设成功与失败均出现时的试验次数为,则
,
利用上题的结论,+=1+
2.42从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球,直至摸到白球时停止。
如果
(1)摸球是为返回的,
(2)摸球是返回的,试对这两种不同的摸球方式求:
取出黑球数的数学期望。
2.43对一批产品进行检验,如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格,如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查,且认为这批产品不合格。
设产品数量很大,可以认为每次检查到不合格品的概率都是,问平均每批要检查多少件?
2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率,当生产出个不合格品时即停工检修一次。
求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。
解设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为,又在两次检修之间产品总数为,则
因独立同分布,,由此得:
,,
,。
2.46设随机变量与独立,且方差存在,则有
(由此并可得)
2.47在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数,记为和:
(1)第一个数取后放回,再取第二个数;
(2)第一个数取后不放回就取第二个数,求在的条件下的分布列。
解
(1).
2.49在次贝努里试验中,事件出现的概率为,令
求在的条件下,的分布列。
解
2.50设随机变量,相互独立,分别服从参数为与的普哇松分布,试证:
证明
由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布,所以
2.51设,,…,为个相互独立随机变量,且服从同一几何分布,即有。
试证明在的条件下,的分布是均匀分布,即
,其中.
由于,,…,相互独立且服从同一几何分布,所以
从而。
第三章连续型随机变量
3.1设随机变数的分布函数为,试以表示下列概率:
(1);
(2);
(3);
解:
(2);
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