八年级数学等腰三角形检测试题.docx
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八年级数学等腰三角形检测试题
§14.3等腰三角形
1.等腰三角形
知识要点
1.有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.
2.三角形按边分类:
三角形
3.等腰三角形是轴对称图形,其性质是:
性质1:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
4.等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
典型例题
例:
如图,五边形ABCDE中AB=AE,BC=DE,∠ABC=∠AED,点F是CD的中点.求证:
AF⊥CD.
分析:
要证明AF⊥CD,而点F是CD的中点,联想到这是等腰三角形特有的性质,于是连接AC、AD,证明AC=AD,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论.
证明:
连接AC、AD在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED(SAD)∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)
又∵△ACD中AF是CD边的中线(已知)
∴AF⊥CD(等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合)
练习题
(第一课时)
一、选择题
1.等腰三角形的对称轴是()
A.顶角的平分线B.底边上的高
C.底边上的中线D.底边上的高所在的直线
2.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,则该三角形的周长是()
A.17cmB.22cmC.17cm或22cmD.18cm
3.等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是()
A.40°B.50°C.60°D.30°
4.等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是()
A.100°B.100°或40°C.40°D.80°
5.如图,C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,则∠GEF的度数是()
A.80°B.90°C.100°D.108°
二、填空题
6.等腰△ABC的底角是60°,则顶角是________度.
7.等腰三角形“三线合一”是指___________.
8.等腰三角形的顶角是n°,则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________.
9.如图,△ABC中AB=AC,EB=BD=DC=CF,∠A=40°,则∠EDF的度数是_____.
10.△ABC中,AB=AC.点D在BC边上
(1)∵AD平分∠BAC,∴_______=________;________⊥_________;
(2)∵AD是中线,∴∠________=∠________;________⊥________;
(3)∵AD⊥BC,∴∠________=∠_______;_______=_______.
三、解答题
11.已知△ABC中AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm,求AD的长.
12.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:
∠ABC=∠ADC.
13.已知△ABC中AB=AC,点P是底边的中点,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,
求证:
PD=PE.
四、探究题
14.如图,CD是△ABC的中线,且CD=
AB,你知道∠ACB的度数是多少吗?
由此你能得到一个什么结论?
请叙述出来与你的同伴交流.
答案:
1.D2.B3.A4.C5.B6.60
7.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
8.(90+
n)°9.70°10.略11.6cm
12.连接BD,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB.∴∠ABC=∠ADC
13.连接AP,证明AP平分∠BAC.
14.∠ACB=90°.结论:
若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形
练习题
(第二课时)
一、选择题
1.如图1,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于()
A.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm
(1)
(2)(3)
2.△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于D,则图中的等腰三角形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图2,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:
①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有()
A.①②③B.①②③④C.①②D.①
4.如图3,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD于H,EF⊥AB于F,则下列结论中不正确的是()
A.∠ACD=∠BB.CH=CE=EFC.CH=HDD.AC=AF
二、填空题
5.△ABC中,∠A=65°,∠B=50°,则AB:
BC=_________.
6.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD∥BC,则△ABC的边一定满足________.
7.△ABC中,∠C=∠B,D、E分别是AB、AC上的点,AE=2cm,且DE∥BC,则AD=________.
8.一灯塔P在小岛A的北偏西25°,从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛,此时测得灯塔P在北偏西50°方向,则P与小岛B相距________.
三、解答题
9.如图,已知AB=AC,E、D分别在AB、AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,
求证:
BF=CF.
10.如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,
求证:
△DBE是等腰三角形.
四、探究题
11.如图,AF是△ABC的角平分线,BD⊥AF交AF的延长线于D,DE∥AC交AB于E,
求证:
AE=BE.
答案:
1.A2.C3.A4.C5.16.AB=AC7.2cm8.30海里
9.连接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC
10.证明∠D=∠BED
11.证明∠EAD=∠EDA,∠EBD=∠EDB分别得到AE=DE,BE=DE
2.等边三角形
知识要点
1.三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.
2.等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°
3.等边三角形的判定方法:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典型例题
例:
如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,E、F分别在AB、AC上,且∠EDF=60°,求△AEF的周长.
分析:
由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°,从而想到把这两个角拼在一起构造全等三角形,即延长AC至点P,使CP=BE,证明△BDE≌CDP,然后证明△DEF≌△DPF,得到EF=PF,从而把△AEF的周长转化为用△ABC的边长表示.
解:
延长AC至点P,使CP=BE,连接PD.
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD=CD,∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠EBD=∠DCF=90°
∴∠DCP=∠DBE=90°
在△BDE和△CDP中
∴△BDE≌△CDP(SAS)
∴DE=DP,∠BDE=∠CDP
∵∠BDC=120°,∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°∴∠CDP+∠CDF=60°
∴∠EDF=∠PDF=60°
在△DEF≌△DPF中
∴△DEF≌△DPF(SAS)∴EF=FP∴EF=FC+BE
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2
练习题
一、选择题
1.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于()
A.60°B.90°C.120°D.150°
2.下列三角形:
①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()
A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④
3.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是()
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形D.不等边三角形
4.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长度是()
A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm
5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准备的判断是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状
二、填空题
6.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=_______.
7.已知AD是等边△ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=______.
8.等边三角形是轴对称图形,它有______条对称轴,分别是_____________.
9.△ABC中,∠B=∠C=15°,AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是_______.
三、解答题
10.已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点,且AE=BD,求BE与CD的夹角是多少度?
11.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,求证:
BC=3AD.
12.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,①求证:
△BCE≌△ACD;②求证:
CF=CH;③判断△CFH的形状并说明理由.
四、探究题
13.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.(提示:
连接CE)
答案:
1.C2.D3.A4.C5.B6.60°7.60°
8.三;三边的垂直平分线9.1cm10.60°或120°
11.∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,
∴在Rt△ADC中CD=2AD,
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=120°-90°=30°,
∴∠B=∠BAD,∴AD=BD,∴BC=3AD
12.①∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCE=∠ACD.
又∵BC=AC,CE=CD,∴△BCE≌△ACD;
②证明△BCF≌△ACH;
③△CFH是等边三角形.
13.连接CE,先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°,
再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
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- 八年 级数 等腰三角形 检测 试题