不可不知的造价常用的生活计算公式.docx
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不可不知的造价常用的生活计算公式
圆的标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2注:
(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0注:
△=D^2+E^2-4F>0
抛物线标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4π*r2
圆柱侧面积S=c*h=2π*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=π*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注:
其中,S'是直截面面积,L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=π*r2h
图形周长面积体积公式
长方形的周长=(长+宽)×2c=2〔a+b〕
正方形的周长=边长×4c=4a
长方形的面积=长×宽s=ab
正方形的面积=边长×边长s=a2
三角形的面积=底×高÷2
已知三角形底a,高h,则S=ah/2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
(海伦秦九韶公式)(p=(a+b+c)/2)
和:
(a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=absinC/2
设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
已知三角形三边a、b、c,则S=√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}(“三斜求积”南宋秦九韶)注:
秦九韶公式与海伦公式等价
|ab1|
S△=1/2*|cd1|
|ef1|
【|ab1|
|cd1|为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d),C(e,f),这里 |ef1|
ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!
】
秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
直径=d=2r
圆的周长=πd=2πr
圆的面积=πr^2
长方体的表面积=
(长×宽+宽×高+高×长)×2s=2〔ab+bc+ca〕
长方体的体积=长×宽×高v=abc
正方体的表面积=棱长×棱长×6s=6a^2
正方体的体积=棱长×棱长×棱长v=a^3
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高s=ch
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积s=2╥r^2
圆柱的体积=底面积×高v=sh
圆锥的体积=底面积×高÷3v=sh÷3
柱体体积=底面积×高
平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C=4aS=a^2
长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab
三角形a,b,c-三边长其中s=(a+b+c)/2S=ah/2
h-a边上的高=ab/2×sinC
s-周长的一半=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
A,B,C-内角=a^2sinBsinC/(2sinA)
几何公理
线角
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3同角或等角的补角相等
4同角或等角的余角相等
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9同位角相等,两直线平行
10内错角相等,两直线平行
11同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13两直线平行,内错角相等
14两直线平行,同旁内角互补
三角形
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23角边角公理(asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24边边边公理(sss)有三边对应相等的两个三角形全等
25斜边、直角边公理(hl)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
26定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
27定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
28角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
29 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
30推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
31等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
32推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
33等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
34推论1三个角都相等的三角形是等边三角形
35推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
36在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
37直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
38定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
39逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
40线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
41定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
42定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
43逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
44勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
45勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形
四边形
46定理四边形的内角和等于360°
47四边形的外角和等于360°
48多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°
49推论任意多边的外角和等于360°
50平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
51平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
52推论夹在两条平行线间的平行线段相等
53平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
54平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
55平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
56平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
58矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
59矩形性质定理2矩形的对角线相等
60矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
61矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
62菱形性质定理1菱形的四条边都相等
63菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
64菱形面积=对角线乘积的一半,即s=(a×b)÷2
65菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
66菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
67正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
68正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
69定理1关于中心对称的两个图形是全等的
70定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
71逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
72等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
73等腰梯形的两条对角线相等
74等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
75对角线相等的梯形是等腰梯形
76平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
77推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
78推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
79三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
80梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半l=(a+b)÷2s=l×h
81
(1)比例的基本性质如果a:
b=c:
d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:
b=c:
d
82
(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
83(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
84平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
85推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
86定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
87平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
88定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
89相似三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相似(asa)
90直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
91判定定理2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas)
92判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(sss)
93定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
94性质定理1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
95性质定理2相似三角形周长的比等于相似比
96性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方
97任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
98任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
圆
99圆是定点的距离等于定长的点的集合
100圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
101圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
103同圆或等圆的半径相等
104到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
105和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
106到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
107到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
108定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
109垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
110推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
111推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
112圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
113定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
114推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
115定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
116推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
117推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
118推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
119定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
120①直线l和⊙o相交d﹤r
②直线l和⊙o相切d=r
③直线l和⊙o相离d﹥r
121切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
122切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
123推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
124推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
125切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
126圆的外切四边形的两组对边的和相等
127弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
128推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
129相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
130推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
131切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
132推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
133如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
134①两圆外离d﹥r+r②两圆外切d=r+r
③两圆相交r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)
④两圆内切d=r-r(r﹥r)⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r)
135定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
136定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
137定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
138正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
139定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
149正n边形的面积sn=pnrn/2p表示正n边形的周长
141正三角形面积√3a/4a表示边长
142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
143弧长计算公式:
l=nπr/180
144扇形面积公式:
s扇形=nπr2/360=lr/2
145内公切线长=d-(r-r)外公切线长=d-(r+r)
146等腰三角形的两个底脚相等
147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
148如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
149三条边都相等的三角形叫做等边三角形
150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形
数学归纳法
(—)第一数学归纳法:
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法:
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题,如果:
(1)当n=1回时,命题成立;
(2)假设当n≤k时命题成立,则当n=k+1时,命题也成立。
那么,命题对于一切自然数n来说都成立。
(三)螺旋归纳法:
螺旋归纳法是归纳法的一种变式,其结构如下:
Pi和Qi是两组命题,如果:
P1成立
Pi成立=>Qi成立
那么Pi,Qi对所有自然数i成立
利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的
编辑本段排列,组合
·阶乘:
n!
=1×2×3×……×n,(n为不小于0的整数)
规定0!
=1。
·排列
从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数,
A(n,m)=n!
/(n-m)!
(m是上标,n是下标,都是不小于0的整数,且m≤n)
··组合
从n个不同的元素里,每次取出m个元素,不管以怎样的顺序并成一组,均称为组合。
所有不同组合的种数
C(n,m)=A(n,m)/m!
=n!
/[m!
·(n-m)!
](m是上标,n是下标,都是不小于0的整数,且m≤n)
◆组合数的性质:
C(n,k)=C(n,k-1)+C(n-1,k-1);
对组合数C(n,k),将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应的n为0,而k为1,则C(n,k)为偶数;否则为奇数
◆整次数二项式定理(binomialtheorem)
(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b+C(n,2)×a^(n-2)×b^2+...+C(n,n)×a^0×b^n
所以,有C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)
=C(n,0)×1^n+C(n,1)×1^(n-1)×1+C(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+C(n,n)×1^n=(1+1)^n
=2^n
微积分学
极限的定义:
设函数f(x)在点x。
的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x。
|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式:
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限
几个常用数列的极限:
an=c常数列极限为c
an=1/n极限为0
an=x^n绝对值x小于1极限为0
导数:
定义:
f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx
几种常见函数的导数公式:
①C'=0(C为常数函数);
②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q);
③(sinx)'=cosx;
④(cosx)'=-sinx;
⑤(e^x)'=e^x;
⑥(a^x)'=(a^x)*Ina(ln为自然对数)
⑦(Inx)'=1/x(ln为自然对数X>0)
⑧(logax)'=1/(xlna),(a>0且a不等于1)
⑨(sinh(x))'=cosh(x)
⑩(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)(x>1)
(arctanh(x))'=1/(1+x^2)(|x|<1)
(arccoth(x))'=1/(1-x^2)(|x|>1)
(chx)‘=shx,(ch为双曲余弦函数)
(shx)'=chx:
(sh为双曲正弦函数)
(3)导数的四则运算法则:
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数(链式法则):
df[u(x)]/dx=(df/du)*(du/dx)。
[∫(上限h(x),下限g(x))f(x)dx]’=f[h(x)]·h'(x)-f[g(x)]·g'(x)
洛必达法则(L'Hospital):
是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设
(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零;
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;
(3)当x→a时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零;
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0;
(3)当x→∞时limf'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→∞时limf(x)/F(x)=limf'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
①在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型,否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。
曲率
K=lim(Δs→0)|Δα/Δs|
当曲线y=f(x)存在二阶导数时,K=|y''|/(1+y'^2)^(3/2);
曲率半径R=1/K;
不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。
记作∫f(x)dx。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做
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