四年级 行程问题老师.docx
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四年级 行程问题老师.docx
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四年级行程问题老师
行程问题
专题简析:
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,并且已经了解到:
上述三个量之间存在这样的基本关系:
路程=速度×时间.因此,在这一讲中,我们将在前面学习的基础上,主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题,也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题,指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题;所谓相背问题,指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题,下面,我们来具体看几个例子.
例0甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,问:
二人几小时后相遇?
分析出发时甲、乙二人相距30千米,以后两人的距离每小时都缩短6+4=10(千米),即两人的速度的和(简称速度和),所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.
解:
30÷(6+4)
=30÷10
=3(小时)
答:
3小时后两人相遇.
例0是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系:
路程=速度和×时间.
例1一列货车早晨6时从甲地开往乙地,平均每小时行45千米,一列客车从乙地开往甲地,平均每小时比货车快15千米,已知客车比货车迟发2小时,中午12时两车同时经过途中某站,然后仍继续前进,问:
当客车到达甲地时,货车离乙地还有多少千米?
分析货车每小时行45千米,客车每小时比货车快15千米,所以,客车速度为每小时(45+15)千米;中午12点两车相遇时,货车已行了(12—6)小时,而客车已行(12—6-2)小时,这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后,再来求当客车行完全程到达甲地时,货车离乙地的距离.
解:
①甲、乙两地之间的距离是:
45×(12—6)+(45+15)×(12—6—2)
=45×6+60×4
=510(千米).
②客车行完全程所需的时间是:
510÷(45+15)
=510÷60
=8.5(小时).
③客车到甲地时,货车离乙地的距离:
510—45×(8.5+2)
=510-472.5
=37.5(千米).
答:
客车到甲地时,货车离乙地还有37.5千米.
疯狂练习1:
甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车到达B城需4小时,乙车到达A城需6小时,问:
两车出发后多长时间相遇?
1.解:
240÷(240÷4+240÷6)=2.4(小时).
例2:
两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米.两车错车时,甲车上一乘客发现:
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒,求乙车的车长.
分析首先应统一单位:
甲车的速度是每秒钟36000÷3600=10(米),乙车的速度是每秒钟54000÷3600=15(米).本题中,甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动,乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动,因此,我们只需研究下面这样一个运动过程即可:
从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起,乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒,每一秒钟,乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大(10+15)米,因此,14秒结束时,车头与乘客之间的距离为(10+15)×14=350(米).又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾,所以,乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度,即:
乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.
解:
(10+15)×14
=350(米)
答:
乙车的车长为350米.
我们也可以把例2称为一个相背运动问题,对于相背问题而言,相遇问题中的基本关系仍然成立.
疯狂练习2:
东、西镇相距45千米,甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行,甲比乙每小时多行1千米,5小时后两人相遇,问两人的速度各是多少?
2.解:
①甲、乙的速度和45÷5=9(千米/小时).
②甲的速度:
(9+1)÷2=5(千米/小时).
③乙的速度:
9—5=4(千米/小时).
例3甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米?
分析甲、乙两车共同走完一个AB全程时,乙车走了64千米,从上图可以看出:
它们到第二次相遇时共走了3个AB全程,因此,我们可以理解为乙车共走了3个64千米,再由上图可知:
减去一个48千米后,正好等于一个AB全程.
解:
①AB间的距离是
64×3-48
=192-48
=144(千米).
②两次相遇点的距离为
144—48-64
=32(千米).
答:
两次相遇点的距离为32千米.
疯狂练习3:
.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.
3.解:
①A、B两地间的距离:
4×3—3=9(千米).
②两次相遇点的距离:
9-4-3=2(千米).
例4:
甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行,甲骑车,乙步行,在行走过程中,甲的车发生故障,修车用了1小时.在出发4小时后,甲、乙二人相遇,又已知甲的速度为乙的2倍,且相遇时甲的车已修好,那么,甲、乙二人的速度各是多少?
分析甲的速度为乙的2倍,因此,乙走4小时的路,甲只要2小时就可以了,因此,甲走100千米所需的时间为(4—1+4÷2)=5小时.这样就可求出甲的速度.
解:
甲的速度为:
100÷(4-1+4÷2)
=10O÷5=20(千米/小时).
乙的速度为:
20÷2=10(千米/小时).
答:
甲的速度为20千米/小时,乙的速度为10千米/小时.
疯狂练习4:
甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行,甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小时相遇,又已知甲比乙每小时快2千米,求甲、乙二人的速度.
4.解:
①乙的速度为:
[100—2×(4+1)]÷(4×2+1)=10(千米/小时).
②甲的速度为:
10+2=12(千米/小时).
提示:
甲比乙每小时快2千米,则(4+1)小时快2×(4+1)=10(千米),因此,相当于乙走100—10=90千米的路需(4×2+1)=9(小时).
例5:
某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟?
分析解这类应用题,首先应明确几个概念:
列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此,这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长;两车相遇,错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止,这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题,这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此,错车时间就等于车长之和除以速度之和.
列车通过250米的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,所以列车行驶的路程为(250—210)米时,所用的时间为(25—23)秒.由此可求得列车的车速为(250—210)÷(25—23)=20(米/秒).再根据前面的分析可知:
列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长,因此,这个列车的车长为20×25—250=250(米),从而可求出错车时间.
解:
根据另一个列车每小时走72千米,所以,它的速度为:
72000÷3600=20(米/秒),
某列车的速度为:
(25O-210)÷(25-23)=40÷2=20(米/秒)
某列车的车长为:
20×25-250=500-250=250(米),
两列车的错车时间为:
(250+150)÷(20+20)=400÷40=10(秒).
答:
错车时间为10秒.
疯狂练习5:
一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是280米,慢车的车长为385米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少?
5.解:
280÷(385÷11)=8(秒).
提示:
在这个过程中,对方的车长=两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.
例6:
甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米,有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时,8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇,求丙车的速度.
分析甲车每小时比乙车快60-48=12(千米).则5小时后,甲比乙多走的路程为12×5=60(千米).也即在卡车与甲相遇时,卡车与乙的距离为60千米,又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5=1小时后相遇,所以,可求出卡车的速度为60÷1-48=12(千米/小时)
卡车在与甲相遇后,再走8-5=3(小时)才能与丙相遇,而此时丙已走了8个小时,因此,卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此,丙的速度也可求得,应为:
(60×5-12×3)÷8=33(千米/小时).
解:
卡车的速度:
(60-48)×5÷(6-5)-48=12(千米/小时),
丙车的速度:
(60×5-12×3)÷8=33(千米/小时),
答:
丙车的速度为每小时33千米.
注:
在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位,如5米/秒表示为每秒钟走5米.
疯狂练习6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石,现有甲、乙两辆汽车,甲车自矿山,乙车自钢铁厂同时出发相向而行,速度分别为每小时40千米和50千米,到达目的地后立即返回,如此反复运行多次,如果不计装卸时间,且两车不作任何停留,则两车在第三次相遇时,距矿山多少千米?
6.解:
①第三次相遇时两车的路程和为:
90+90×2+90×2=450(千米).
②第三次相遇时,两车所用的时间:
450÷(40+50)=5(小时).
③距矿山的距离为:
40×5—2×90=20(千米).
练习一
1、甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米。
问他走后一半路程用了多少分钟?
分析:
解法1、全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟
解法2:
设走一半路程时间是x分钟,则80*x+70*x=6*1000,解方程得:
x=40分钟
因为80*40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是40+(40-37.5)=42.5分钟
答:
他走后一半路程用了42.5分钟。
2、小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路、一半下坡路。
小明上学走两条路所用的时间一样多。
已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍?
分析:
解法1:
设路程为180,则上坡和下坡均是90。
设走平路的速度是2,则下坡速度是3。
走下坡用时间90/3=30,走平路一共用时间180/2=90,所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45 因为速度与时间成反比,所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。
解法2:
因为距离和时间都相同,所以平均速度也相同,又因为上坡和下坡路各一半也相同,设距离是1份,时间是1份,则下坡时间=0.5/1.5=1/3,上坡时间=1-1/3=2/3,上坡速度=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75
解法3:
因为距离和时间都相同,所以:
1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1,得:
上坡速度=0.75
答:
上坡的速度是平路的0.75倍。
3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8千米,因此第二小时比第一小时多行驶6千米。
那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?
分析:
解法1,第二小时比第一小时多走6千米,说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。
顺水走1小时比逆水多走8千米,说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同,这段时间里的路程差是5-3=2千米,等于1小时路程差的1/4,所以顺水速度是每小时5*4=20千米(或者说逆水速度是3*4=12千米)。
甲、乙两地距离是12*1+3=15千米
解法2,顺水每小时比逆水多行驶8千米,实际第二小时比第一小时多行驶6千米,顺水行驶时间=6/8=3/4小时,逆水行驶时间=2-3/4=5/4,顺水速度:
逆水速度=5/4:
3/4=5:
3,顺水速度=8*5/(5-3)=20千米/小时,两地距离=20*3/4=15千米。
答:
甲、乙两地距离之间的距离是15千米。
4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。
他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。
到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟?
分析:
骑车人一共看到12辆车,他出发时看到的是15分钟前发的车,此时第4辆车正从甲发出。
骑车中,甲站发出第4到第12辆车,共9辆,有8个5分钟的间隔,时间是5*8=40(分钟)。
答:
他从乙站到甲站用了40分钟。
5、甲、乙两人在河中游泳,先后从某处出发,以同一速度向同一方向游进。
现在甲位于乙的前方,乙距起点20米,当乙游到甲现在的位置时,甲将游离起点98米。
问:
甲现在离起点多少米?
分析:
甲、乙速度相同,当乙游到甲现在的位置时,甲也又游过相同距离,两人各游了(98-20)/2=39(米),甲现在位置:
39+20=59(米)
答:
甲现在离起点59米。
6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲每小时行56千米,乙每小时行48千米,两车在离两地中点32千米处相遇。
问:
东西两地的距离是多少千米?
分析:
解法1:
甲比乙1小时多走8千米,一共多走32*2=64千米,用了64/8=8小时,所以距离是8*(56+48)=832(千米)
解法2:
设东西两地距离的一半是X千米,则有:
48*(X+32)=56*(X-32),解得X=416,距离是2*416=832(千米)
解法3:
甲乙速度比=56:
48=7:
6,相遇时,甲比乙多行=(7-6)/(7+6)=1/13,两地距离=2*32/(1/13)=832千米。
答:
东西两地间的距离是832千米。
7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。
0.5小时后,营地老师闻讯前往迎接,每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时,张明从学校骑车去营地报到。
结果3人同时在途中某地相遇。
问:
骑车人每小时行驶多少千米?
分析:
老师速度=4+1.2=5.2(千米),与李相遇时间是老师出发后(20.4-4*0.5)/(4+5.2)=2(小时),相遇地点距离学校4*(0.5+2)=10(千米),所以骑车人速度=10/(2+0.5-2)=20(千米)
答:
骑车人每小时行驶20千米。
8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5小时相遇。
已知慢车从乙地到甲地用12.5小时,慢车到甲地停留0.5小时后返回,快车到乙地停留1小时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间?
分析:
解法1,快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离,慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。
两车行1个单程用5小时,如果不停,再次相遇需要5*2=10小时,如果两车都停0.5小时,则需要10.5小时再次相遇。
快车多停30分钟,这段路程快车与慢车一起走,需要30/(1+2/3)=18(分钟)所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟
解法2:
回程慢车比快车多开半小时,这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全程,两车合起来少开1/25,节省时间=5*1/25=0.2小时,所以,从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小时。
答:
两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。
9、某校和某工厂之间有一条公路,该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告,往返需用1小时。
这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来,途中遇到接他的汽车,便立刻上车驶向学校,在下午2时40分到达。
问:
汽车速度是劳模步行速度的几倍?
解:
汽车走单程需要60/2=30分钟,实际走了40/2=20分钟的路程,说明相遇时间是2:
20,2点20分相遇时,劳模走了60+20=80分钟,这段距离汽车要走30-20=10分钟,所以车速/劳模速度=80/10=8
答:
汽车速度是劳模步行速度的8倍。
10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。
甲、乙两人分别由A,B两地同时出发。
如果相向而行,0.5小时后相遇;如果他们同向而行,那么甲追上乙需要多少小时?
分析:
两人相向而行,路程之和是AB,AB=速度和*0.5;同向而行,路程之差是AB,AB=速度差*追及时间。
速度和=1.4+1=2.4,速度差=1.4-1=0.4。
所以:
追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3(小时)
答:
甲追上乙需要3小时。
11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子,马上紧追上去。
兔跑9步的路程狗只需跑5步,但狗跑2步的时间,兔却跑3步。
问狗追上兔时,共跑了多少米路程?
分析:
狗跑2步时间里兔跑3步,则狗跑6步时间里兔跑9步,兔走了狗5步的距离,距离缩小1步。
狗速=6*速度差,路程=10*6=60(米)
答:
狗追上兔时,共跑了60米。
12、张、李两人骑车同进从甲地出发,向同一方向行进。
张的速度比李的速度每小时快4千米,张比李早到20分钟通过途中乙地。
当李到达乙地时,张又前进了8千米。
那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?
分析:
解法1,张速度每小时8/(20/60)=24(千米),李速度每小时24-4=20(千米),张到乙时超过李距离是20*(20/60)=20/3(千米)所以甲乙距离=24*(20/3/4)=40(千米)
解法2:
张比李每小时快4千米,现共多前进了8千米,即共骑了8/4=2小时,张从甲到乙用了2*60-20=100分钟,所以甲乙两地距离=(100/20)*8=40千米。
答:
甲、乙两地之间的距离是40千米。
13、上午8时8分,小明骑自行车从家里出发;8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他;然后爸爸立刻回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上他的时候,离家恰好是8千米。
问这时是几时几分?
分析:
爸爸第一次追上小明离家4千米,如果等8分钟,再追上时应该离家8千米,说明爸爸8分钟行8千米,爸爸一共行了8+8=16分钟,时间是8点8分+8分+16分=8点32分。
答:
这时8点32分。
14、龟兔进行10000米赛跑,兔子的速度是乌龟的速度的5倍。
当它们从起点一起出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时乌龟已经领先它5000米;兔子奋起直追,但乌龟到达终点时,兔子仍落后100米。
那么兔子睡觉期间,乌龟跑了多少米?
分析:
兔子跑了10000-100=9900米,这段时间里乌龟跑了9900*1/5=1980米,兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米
答:
兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。
15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。
大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。
已知大轿车比小轿车早出发17分钟,但在两地中点停了5分钟后,才继续驶往乙地;在小轿车出发后中途没有停,直接驶往乙地,最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。
又知大轿车是上午10时从甲地出发的,求小轿车追上大轿车的时间。
分析:
解法1,大车如果中间不停车,要比小车多费17-5+4=16分钟,大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数,即1/0.8=5/4,所以大车行驶时间是16/(5-4)*5=80分钟,小车行驶时间是80-16=64分钟,走到中间分别用了40和32分钟。
大车10点出发,到中间点是10点40分,离开中点是10点45分,到达终点是11点25分。
小车10点17分出发,到中间点是10点49分,比大车晚4分;到终点是11点21分,比大车早4分。
所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间,11点5分。
解法2:
大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍,大轿车的用时是小轿车用时的1/0.8=1.25倍,大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分钟,大轿车行驶时间=16*(1.25/0.25)=80分钟,小轿车行驶时间=16/(0.25)=64分钟,小轿车比大轿车实际晚开17-5=12分钟,追上需要=12*0.8/(1-0.8)=48分钟,48+17=65分=1小时5分,所以,小轿车追上大轿车的时间是11时5分
答:
小轿车追上大轿车的时间是11点5分。
练习二
1、某解放车队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进。
一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾,那么这需要多少时间?
分析:
从排尾到排头用的时间是450/(3-1.5)=300秒,从排头回排尾用的时间是450/(3+1.5)=100秒,一共用了300+100=400秒
答:
需要400秒。
2、铁路旁的一条平行小路上,有一行人与一骑车人同进向南行进,行人速度为每小时3.6千米,骑车人速度为每小时10.8千米。
这时,有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒钟,通过骑车人用26秒钟。
这列火车的车身总长是多少米?
分析:
设火车速度是每秒X米。
行人速度是每秒3.6*1000/60*60=1(米),骑车人速度是每秒1.8*1000/60*60=3(米) 根据已知条件列方程:
(X-1)*22=(X-3)*26,解得:
X=14(米),车长=(14-1)*22=286(米)
分析2,骑车人速度是行人速度的10。
8/3。
6=3倍,22秒时火车通过行人(设行人这22秒所走的路程为1),车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程,即距离2;26秒(即又过4秒)时,火车通过骑车人,骑车人行=4*(3/22)=6/11,火车行2+6/11=28/11,火车与骑车人的速度比为28/11:
6/11=14:
3;火车速度=14*10.8/3=504千米/小时;火车车长=(50400-3600)*22/3600=286米。
答:
这列火车的车身总长是286米。
3、一列客车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒。
已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车,车身长为320米,速度每秒17米。
求列车与华车从相遇到离开所用的时间。
分析:
客车速度是每秒(250-210)/(25-23)=20米,车身长=20*23-210=250米
客车与火车从相遇到离开的时间是(250+320)/(20-17)=190(秒)
答:
客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。
4、铁路旁有一条小路,一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。
14小时10分钟追上向北行走的一位工人,15秒种后离开
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