秋季六年级数学同步课程第十讲 周期问题.docx
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秋季六年级数学同步课程第十讲周期问题
第十讲周期问题
课程目标
1.找几何图形的排列规律,通过排列规律,准确说出接下来的图形的排列情况。
2.找简单数列的排列周期,通过图形的规律,类推出数列的周期问题的解决方法。
3.熟悉年、月、日的循环规律,能够通过周期,推算出事情将要发生的时间。
4.通过简单的计算,掌握一些特殊结果的周期性,运用周期规律简化计算。
课程重点
找几何图形的排列规律,找简单数列的排列周期,熟悉年、月、日的循环规律,通过简单的计算,掌握一些特殊结果的周期性。
课程难点
通过排列规律,准确说出接下来的图形的排列情况,通过图形的规律,类推出数列的周期问题的解决方法,能够通过周期,推算出事情将要发生的时间,运用周期规律简化计算
教学方法建议
通过观察法、讨论法等让学生发现规律,并解决问题。
一、知识梳理
世间万物,千奇百怪;运动变化,千姿百态。
可这貌似“杂乱无章”的世界却受到各式各样的规律支配着。
在这些规律中,有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象中提炼出来的规律。
如果某一事物的变化具有周期性,那么,该事物在经历一段变化后,又会呈现原俩的状态。
我们把事物所经历的这一段,叫该事物变化的周期。
例如,在自然数列中,各位数字变化的周期是10;星期日出现的周期是7(天);用动物记年的走器是12(年)等等。
在数学中,我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。
二、方法归纳
一般解答思路:
(1)判断是否是周期现象(几个重复一次周期就是几);
(2)用除法算式来表示周期现象:
总数÷周期=组数……余数;
整周期部分非整周期部分
无余数:
本组的最后一个;
有余数:
下一组的第余数个。
(3)根据除法算式想象排列图;
(4)根据要求求解。
3、课堂精讲
(一)、图形中的周期问题
例1.两个小朋友比赛智力,一位小朋友画出了一组图形(排列如下),根据排列的规律。
请算出第60个图形是(),第121个图形是()。
【规律方法】每3个图形为一组,称为一个周期。
没有余数,说明组合里刚好有完整的周期数。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1.如图所示,黑珠、白珠共l26个,穿成一串,这串珠子中最后一个珠子是__________颜色的,这种颜色的珠子共有__________个.
2.如图,算出第20个图形是什么?
○△△□□□○△△□□□○△△……
3.观察图中图形的规律,第200个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个?
例2.如图,将下面的每一列上、下两个字组成一组,例如第一组为(我奥),第二组为(最数),那么第235组为什么数呢?
我
最
棒
我
最
棒
我
最
棒
…
奥
数
好
玩
奥
数
好
玩
奥
…
【规律方法】如果从表格上找规律,该题的周期是3、4的最小公倍数为12,且列出一个周期的项,比较繁。
我们可以分行找规律,求出该行第235组是什么,在将它们组合。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
4.下表中每列上下两个汉字和字母组成一组,例如,第一组是(我A),第二组是(们B),…
我
们
爱
数
学
我
们
爱
数
学
我
…
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
…
(1)第82组是什么?
(2)如果(爱C)代表1978年,(数D)代表1979年,…那么,2000年将对应哪一组?
5.如图,将下面的每一列上、中、下三个字组成一组,例如第一组为(学看广),第二组为(好亚州),请问第289组为什么呢?
学
好
数
学
学
好
数
学
学
…
看
亚
运
看
亚
运
看
亚
运
…
广
州
亚
运
会
广
州
亚
运
…
例3.如图,伸出左手,然后从大拇指开始数数。
当数到200的时候,正好数到哪根手指?
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
6.(2015年学而思)将非零自然数1、2、3·····2015按照一定规律排成数表如下图:
A列
B列
C列
D列
第1行
1
2
3
第2行
6
5
4
第3行
7
8
9
第4行
12
11
10
第5行
13
14
15
····
······
(1)2015排在第几行第几列?
请计算说明
(2)B列的前40个数字之和是多少?
7.有a、b、c、d四条直线(如图),从直线a上开始,按箭头方向从1开始依次在a、b、c、d上写自然数1,2,3,4,5,6,…
(1)106在哪条线上?
(2)直线a上第56个数是多少?
(二)、日期中的周期问题
例4.2013年的6月1号是星期五,再过80天是星期几呢?
那么明年的6月1是星期几呢?
那么2014年的6月1是星期几呢?
【规律方法】由于每个星期有7天,以今年的6月1日为周期的第1天,周期是星期五、星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四,根据周期问题的规律有:
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
8.如果今天是星期五,那么再过80天是星期几呢?
9.甲问乙:
今天是星期五,再过30天是星期几?
乙问甲:
假如16日是星期一,这个月的31日是星期几?
2011年的10月1日是星期六,那么这个月的28日是星期几?
(三)数字中的周期问题
例5.将
化成小数后,
(1)小数点后第200个数是几?
(2)小数点后300位的数字和是多少?
【规律方法】因为
=0.142857142857…,
是一个无限循环小数142857循环,周期是6。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
10.把
化成小数后,小数点后面100位数字之和是多少?
例6.
的尾数是多少?
【规律方法】像这种从有限到无限的研究,其思路肯定是先通过有限找出规律与周期,然后再进行最终处理。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
11.求
的个位数字为多少?
并说明理由。
12.71998表示1998个7连乘,它的结果末位上的数字是几?
例7.有一列数如下:
4、5、9、14、23……问这列数的第1999个数除以3,余数是几?
【规律方法】看看数列除以3的余数是多少,找规律。
余数分别是1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1……发现数列余数的周期是(1,2,0,2,2,1,0,1)。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
13.有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……从第三个数开始,每个数都是它前面两个数之和,那么前1000个数中,有()奇数。
四、讲练结合题
1.有同样大小的红珠、白珠、黑株共有160个?
按4个红株,3个白株,2个黑株的顺序排列着。
黑株共有几个?
第101个株子是什么颜色?
2.国庆节,路旁挂起一排彩灯,小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯个一盏,那么,第80盏灯应是什么颜色的?
3.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年号。
如果1940年是龙年,那么,1996年是什么年?
4.(2016年学而思)这个循环小数点后第2016位的数字是()。
5.
用循环小数表示,小数点后第2012位上的数字是()。
6.12415表示15个124连乘,所得积的末位数字是几?
7.(2015年天河省实)2000名学生排成一排,按1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1,……循环报数,则第2000名学生所报的数是。
8.(2016学而思)我国农历纪年方法是干支纪年法,十天干:
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支为:
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
从天干的第一个字“甲”与地支的第一个字“子”开始配对,依次为:
甲子、乙丑、丙寅、……,天干或地支取完了就从头再取,直到“癸亥”,为一周期。
苏轼曾写下一篇《赤壁赋》,是中国文学史上的名著,开篇两句是这样的:
“壬戌之秋,七月既望。
”已知苏轼生于1037年,卒于1103,而且今年(2016年)是农历丙申年。
根据上述条件,请你推算一下《赤壁赋》写于哪一年。
9.(2016学而思)2015年的元旦是星期四,那么2015年的5月1日是星期()。
A四B五C六D日
五.课后自测练习
1.(2014天河省实)有一列图形:
○○★□◆○○★□◆○○★□◆……,根据规律,第71个图形是。
2.(2013年广大附中)节日的大街上挂起一串串彩灯,从第一盏开始,按照5盏红灯,4盏黄灯,三盏绿灯,2盏蓝灯重复拍下去,请问:
第2013盏灯是______________颜色
3.(2017玉岩天健)观察图形▲●△△○▽○△△○▽○……的排列情况,第2017个图形是()。
4.(2016年希望杯初试)将
化成小数,小数部分从左到右第2016个数字是。
5.(2015年广大附中)一串数:
1,9,9,1,4,1,4,1,9,1,9,4,1,4,1,9,9,1,4,4,……,共有2008个数.
(1)这串数中有多少个1,多少个9,多少个4?
(2)这些数的总和是多少?
6.(2015年广雅)2014年5月17日(星期六)是面试日期,则这天以后的第
天是星期()。
7.甲、乙、丙三名学生,每天早晨轮流为李奶奶取牛奶,甲第一次取牛奶是星期一,那么甲第100次取牛奶是星期几?
8.把16把椅子摆成一个圆圈,依次编上1到16号。
现在有一个人从第一号椅子顺时针前进213把椅子,再逆时针前进285把椅子,又顺时针前进213把椅子,再逆时针前进285把椅子,又顺时针前进12把椅子,这时他到了第几号椅子?
9.自然数如下表的规则排列,求:
(1)上起第10行左起第13列的数
(2)数127应排在上起第几行左起第几列?
第十讲周期问题【答案】
例1根据题意,小朋友所画一组图形是3个图形的循环,第三个是三角形,第六个也是三角形,所以所有排列是3的倍数的图形都是三角形,比三的倍数多1的是正方形,比三的倍数多2的是圆形。
题中60是3的倍数,所以第60个图形是三角形;
121是3的倍数(120)多1,所以第121个图形是正方形。
【搭配课堂训练题】
1.因为这串珠总共有126个,(126-1)÷4=31…1,则最后一个珠子为白颜色.白颜色的珠子共有31+1=32个.
故这串珠子中最后一个珠子是白颜色的,共有32个.
2.20÷6=3……2。
故第20个图形是△。
3.根据观察及其分析:
一白两黑,3个一个周期,
所以第200个是黑色的;200÷10=20
因此,本题正确答案是:
A.
例2235÷3=78…1(我)
235÷4=58…3(好)
答:
所以第235组是(我好)
【搭配课堂训练题】
4.“我、们、爱、数、学”是5个一组进行循环,
82÷5=16……2
所以第82组对应的字是们;
“A、B、C、D”是4个一组进行循环的,
82÷4=20……2
所以第82组对应的字母是B;
答:
第82组是(们B).
(2)如果(爱C)代表1978年,那么(我A)就代表1976年;
2006-1976+1=31
31÷5=6……1
所以2006年对应的字是我;
31÷4=7……3
所以2006年对应的字母是C;
答:
2006年将对应(我C)
5.“学、好、数、学”是4个一组进行循环,
289÷4=72……1
所以第289组对应的字是学;
“看、亚、运”是3个一组进行循环的,
289÷3=96……1
所以第289组对应的字母是看;
“广、州、亚、运、会”是5个一组进行循环,
289÷5=57……4
所以第289组对应的字是运;
答:
第289组是(学看运)
例3
能够整除,故数到25个周期结束的时候恰好到了200,
所以数到200正好到了食指上.
答:
当数到200的时候,正好数到食指上.
【搭配课堂训练题】
6.
7.106÷4=26……2
答:
106在第二条直线b上
4×(56-1)+1=221
答:
直线a上第56个数是221
故答案为:
直线b;221
例4(80+1)÷7=11……4
所以再过80天是星期一。
(365+1)÷7=52……2
所以明年的6月1日是星期六。
(365+366+365+365+1)÷7=208……6
所以2014的6月1日是星期三。
【搭配课堂训练题】
8.再过80天是星期几,则,80÷7=11……3,余3天,就是从星期五往后数3天,即是星期一.
9.30÷7=4……2,今天是星期五,再过30天是星期天,(31-16)÷7=2……1,这个月的31号是星期二,(28-1)÷7=3……6,所以这个月的28号是星期五.
故答案为:
星期天;星期二;星期五
例5
(1)200÷6=33……2
所以
化成小数点后第200个数是4;
(2)300÷6=50
(1+4+2+8+5+7)×50=1350
所以小数点后300位数字的和是1350。
【搭配课堂训练题】
10.循环节是012345679,9位0+1+2+3+4+5+6+7+9=37100÷9=11余1所以有11个循环节,在加上第一位的0所以是11×37+0=407
例621末尾数=2
22末尾数=4
23末尾数=8
24末尾数=6
25末尾数=2
26末尾数=4
所以
每四次一循环
2016÷4=504
所以
末尾数应为6
【搭配课堂训练题】
11.因为3,3×3=9,3×3×3=27,3×3×3×3=81,3×3×3×3×3=243,
积的个位数是3、9、7、1的循环,又因为1993÷4=498……1,
所以3×3×3×3×…×3(1993个3)的个位数是3.
12.可以先看一下7相乘得到的积的末位上的数字的变化规律,7,7×7=49,7×7×7=343,7×7×7×7=2401,7×7×7×7×7=16807……可以看出末位数字的变化呈现出7、9、3、1这样的变化规律,1998里面包含数字的组数是1998÷4=499……2,所以末尾的数字是9.
例71999÷8=249……7
答:
这个数列第1999个数除以3的余数是0,既能被3整除。
【搭配课堂训练题】
13.这个数列是按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环重复排列的;每一组循环中有2个奇数和1个偶数;
余数是1,余下的这个数是奇数;
所以奇数有:
答:
共有667个奇数.
四、讲练结合题
1.由题意可知,一组珠中含有4个红珠、3个白珠、2个黑珠,每9个珠循环一次.
160÷9=17……7
黑珠的个数为:
17×2=34(个)
101÷9=11……2,可以知道第101个珠子是红颜色的.
答:
黑珠共有34个,第101个珠子是红颜色的.
2.80÷4=20(组).所以第80盏灯是绿色.
3.
余数是8,龙年再过8年是鼠年.
答:
1996年是鼠年.
4.6
5.
用循环小数表示是
循环节是六位数;
;那么小数点后第2012位上的数字是循环节的第二位上的数字,也就是2。
6.由4×4×4=64,可得每3个个位上是4的数相乘,个位上还是4;所以把12415中15个因数分成每3个一组,共5组,每组都是3个124相乘,而3个124相乘的积的个位上还是4,那么三组数相乘的积的个位上还是4,用这个结果再与剩下的另外两组积相乘,得出最后积的个位上仍是4.
答:
积的末位数字是4
7.提示1:
观察学生所报数的特点,知道按1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1、循环报数,即每13个数为一个循环,所以2000除以13,看余数对应的循环数中的几就是该名学生所报的数.
提示2:
关键是找出循环数,再找出余数对应的是循环数中的几.解:
2000÷13=153……11,
因为,在1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1这组循环数中,第11个数是3,
答:
第2000名学生报的数是:
3.
8.写于1082年
9.2015年是平年,所以从1月1日到5月1日一共有31+28+31+30+1=121(天)
121÷7=17(星期)……2(天)
因为元旦是星期四,所以17个星期的最后一天是星期三,所以5月1日是星期五。
五.课后自测练习
1.71÷5=14……1
余数是1,那么第71个图形就与第一个相同是○
2.5+4+3+2=14
2000÷14=142……12
余数为12,即是绿灯
答:
第2000盏灯是绿色的.
3.○4.5
5.这个数列以7个数字1,9,9,1,4,1,4不断循环构成
在这一节循环中,有3个1,2个9,2个4
然后
即有286个这样的循环并且最后剩6个数1,9,9,1,4,1
不妨最后再加上一个4,变成2009个数,然后凑成287个循环
由于287个循环中每个循环都有3个1,2个9,2个4
所以共
,
,
再减去之前自己加的那个4
答案为861个1,574个9,573个4
总和
6.星期五
7.300÷7=42……6
余数是6,他第100次取奶是星期日.
8.总共逆时针前进了285×2=570,
总共顺时针前进了213×2+12=438,
所以实际上此人是逆时针前进了570-438=132,
132÷16=8……4
因此,他到了第13号(如果椅子编号是顺时针的话)或者第5号(如果椅子编号是逆时针的话).
9.求上起第10行,左起第13列的数是154数127应在上起第6行,左起第12列
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