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第十二章轴对称

12．1.1轴对称（21课时）

学习目标

1．通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形；

2．通过试验，归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形；

3．培养良好的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。

重点：

理解轴对称图形的概念

难点：

判断图形是否是轴对称图形

一、预习新知P29

1、观察课本中的7副图片，你能找出它们的共同特征吗？

2、你能列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物吗？

3、动手做一做：

把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，展开后会是一个什么样的图形?

它有什么特征？

4、如果一个图形沿一条__________折叠,________两旁的部分能够完全________.这个图形就叫做轴对称图形,这条________就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条_________（成轴）对称.

做下面的题，检验你预习的结果

5、轴对称图形的对称轴是一条___________

A直线B射线C线段

6、课本P30练习题。

7、下面的图形是轴对称图形吗？

如果是，指出对称轴。

二、课堂展示

例1．我国的文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，图案（）有别于其余三个图案．

思路分析：

所用知识点：

例2．如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？

它们各有几条对称轴，你能画出来吗？

（小组讨论完成）

思路分析：

所用知识点：

三、随堂练习

A组：

1、要求同学们找出所剪的图案的对称轴，并且用直尺把它画出来。

2、课本P36习题1，

3、课本P63复习题1

B组：

1、找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？

2、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗

3、练习册习题

C组：

1、用两个圆、两个三角形、两条平行线构造轴对称图形，别忘了要加上一两句贴切、诙谐的解说词。

2、小练习册习题

12.1.2轴对称（22课时）

学习目标

1、通过动手实验，掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等；

2、理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系。

3、能够判别两个图形是否成轴对称。

重点：

轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。

难点：

两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系。

一、预习新知P30-----P31

1、试验：

在纸上滴上墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称?

它的对称轴是哪一条?

把它画出来。

2、观察课本中的三幅图形，并试着沿虚线折叠，每对图形有什么共同特征？

3、一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与________重合,那么就说_______关于这条直线对称,这条直线叫做__________,折叠后________叫做对称点.

4、在课本中的第三幅图中，

（1）标出A、B、C的对称点，∠A、∠B、∠C的对应角，

（2）连接AA′,BB′，CC′，你发现这三条线段有什么关系？

你找到规律了吗？

5、成轴对称的两个图形全等吗?

为什么?

6、全等的两个图形成轴对称吗？

试举例说明。

（可以画图说明）

7、课本P31练习题

二、课堂展示

例1、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（）

例2、观察规律并填空：

例3、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？

（小组讨论回答）思路分析：

所用知识点：

三、随堂练习

A组

1．下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?

2、课本P36习题2，3

B组

1、课本P63复习题9

2．如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?

哪些线段相等?

C组

1、你能运用学过的知识把下面这个数学中不可能的式子变为可能吗?

2、如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。

（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD=，∠CBA=，∠ADC=．

（2）AE与BF平行吗？

为什么？

（3）AE与BF平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？

（4）延长线段BC、FG，交于点P，延长线段AB、EF，交于点Q,,你有什么发现吗？

12.1.3线段的垂直平分线1（23课时）

学习目标：

1、通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义

2、理解线段垂直平分线与对称轴的关系

3、掌握线段垂直平分线的性质

重点：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

难点：

运用线段垂直平分线性质解决问题。

教学过程

一、预习新知P31----P33

1、线段是轴对称图形吗？

通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O

1）点A的对称点是_______

2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？

3）AB与直线l在位置上有什么关系？

2、经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.

3、观察课本P31思考中的图，线段AA′,BB′，CC′与直线MN的关系是________

由上可得：

对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？

4、已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.

1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？

2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？

3）由1），2），你得到什么猜想？

4）用我们以前学过的只是证明你的猜想。

6、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________。

7、.课本P34练习题1.

二、课堂展示

例1、已知互不平行的两条线段AB,A′B′关于直线l对称，AB,A′B′所在的直线交于点P，判断下列正误。

1）AB=A′B′（）2）点P在直线l上（）

3）若A,A′是对称点，则l垂直平分线段AA′（）

4）若B,B′是对称点，则PB=PB′（）

例2．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。

思路分析：

所用知识点：

三、随堂练习

A组：

1．如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?

为什么?

B组：

1、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：

△BCD的周长。

C组：

课本P63复习题5

12．1.4线段的垂直平分线2（24课时）

学习目标：

1、进一步理解线段垂直平分线的性质，并能灵活运用。

2、掌握线段垂直平分线的判定

3、运用线段垂直平分线的判定解决问题

重点：

探索并理解线段垂直平分线的判定

难点：

运用线段垂直平分线的判定解决问题

一、预习新知P33

1、用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去。

（1）

（2）

1）如图

（1）要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？

为什么？

那么点C在_____________上。

2）如图

（2），拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上。

3）由1），2），你得到什么猜想？

4）用学过的知识证明你的猜想。

2、与一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的______________上。

3、课本P34练习题2

二、课堂展示

例、如图所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D．要使点D恰为AB的中点，问还要添加什么条件？

根据你添加的条件，你能证明出D为AB的中点吗？

思路分析：

所用知识点：

三、随堂练习

A组1、如图：

已知直线l和l异侧的两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA=PB.

·A

·B

D

2、如图：

已知，OD=OC,ED=EC,那么直线OE是线段

CD的______________,你能写出证明过程吗/

E

O

C

B组

已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：

（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OE是CD的垂直平分线．

C组课本P38习题12

12．1．5轴对称（25课时）

学习目标：

1、掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”

2、熟练画出轴对称图形的对称轴。

3、培养良好的动手实践能力。

重点：

验证一个图形是不是轴对称图形

难点：

画轴对称图形的对称轴。

一、预习新知P34—P35

1、如图：

不通过折叠的方法，你能验证出这两个四边形是否关于直线MN对称吗？

2、设A、B两点关于直线MN对称，则______垂直平分________．

3、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？

4、作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段_____________

5、只用圆规和直尺（不量长度）你能作出线段AB垂直平分线吗？

根据下面的做法试一试。

作法：

（1）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；

（2）作直线CD

所以直线CD就的垂直平分线，也是线段AB的对称轴。

问：

这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？

6、课本P35练习题1、2

三、课堂展示

例1、试着画出下边两个轴对称图形的对称轴。

例2、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。

长方形　　正方形　三角形　　　等腰三角形　等边三角形　

平行四边形　　任意梯形　　　等腰梯形　　　圆

图

形

长方

形

正方

形

三角

形

等腰

三角

形

等边

三角

形

平行

四边

形

任意

梯形

等腰

梯形

圆

对称轴的条数

三、随堂练习

A组1：

画出以下图形的对称轴　　

2课本P35练习题3

3、课本P37习题5

B组1：

下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?

2、课本P37习题7，9

C组1、课本P38习题11

2、小练习册

12.2.1轴对称变换（26课时）

学习目标

1．能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形。

2、能设计简单的轴对称图案。

3、通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操。

：

重点：

利用对称轴作轴对称图形。

难点：

利用对称轴进行图案设计。

教学过程

一、预习新知P39---P41

1、如图：

你能做出它关于虚线的对称图形吗？

（1）找到点A的对称点A′

（2）AA′与对称轴有什么关系？

（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还

有上述关系吗？

2、连接任意一对对称点的线段被对称轴____________

3、如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。

请说说你的画法

　　　　　　　　　　　　　　　l

A·

4、作△ABC关于直线l的对称的图形△A′B′C′

5、课本P41练习题1

二、课堂展示

例1、已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC关于直线l的对称图形。

A.A′思路分析：

B

C

三、随堂练习

A组1．如图

（1），请画出三角形关于直线l对称的图形。

2、身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为_________米．

B组

1、请用四个半圆设计对称图形。

2、课本P46习题5

C组

25．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：

⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：

⑴分别作两条对角线（如图中的图1）；⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）．请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．（正确画图，不写画法）

12.2.2用坐标表示轴对称（27课时）

学习目标：

1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点。

2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。

3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

重点：

在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。

难点：

能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

一、预习新知P43—P44

1、如图，在平面直角坐标系中，

1）分别写出点A、B、C的坐标。

2）在坐标系中标出点A、B、C关于x轴的对称点

A1、B1、C1、。

3）写出A1、B1、C1、的坐标。

4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？

5）再找几个点，分别作出它们关于x轴的对称点，

检验一下你发现的规律。

由此可以得到：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。

点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.

2、如上图，在平面直角坐标系中，

1）在坐标系中标出点A、B、C关于关于y轴的对称点A2、B2、C2。

2）写出A2、B2、C2的坐标。

4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？

5）再找几个点，分别作出它们关于y轴的对称点，检验一下你发现的规律。

由此可以得到：

在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。

点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.

3、完成下表.

已知点

（2,-3）

（-1,2）

（-6,-5）

（0,-1.6）

（4,0）

关于x轴的对称点

关于y轴的对称点

4、点（－１，３）与点（－１，—3）关于_________对称；

点（2，—4）与点（－2，—4）关于_________对称；

5、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5）,B（-4，1）,C（-1，3），作出△ABC关于y轴对称的图形。

6、课本P45练习题2

二、课堂展示

例1、已知点P（2a+b,-3a）与点P’（8,b+2）.

若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____b=_______.

若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____b=_______.

例2、25.平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.

（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；

（2）求△ABC的面积.

（3）若

与△ABC关于x轴对称，写出

、

、

的坐标.

三、随堂练习

A组

1、快速口答

点（３，６）、（－７，９）关于x轴的对称点分别是什么？

点（－３，－５）、（０，１０）关于y轴的对称点分别是什么？

2、根据下列点的坐标的变化，判断它们进

行了怎样的变换：

⑴　（－１，３）　（－１，－３）⑵　（－５，－４）　　（－５，４）

⑶　（３，４）　　（－３，４）⑷　（１，０）　　　　（－１，０）

3、点M（a,-5）与点N（-2,b）关于y轴对称，则a=_____,b=_____.

4、课本P45习题3、4

B组

1、已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy=————————。

2、课本P45练习题3

3、已知A、B两点的坐标分别是（－2，3）和（2，3），则下面四个结论：

①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．

C组

课本P46习题8

12.2.3轴对称的应用（28课时）

学习目标

1、能熟练根据对称轴做出对称点。

2、灵活运用对称知识解决实际问题

3、培养良好的动手实践能力。

重点：

灵活运用对称知识解决实际问题

难点：

灵活运用对称知识解决实际问题

一、预习新知P42

1、

（1）一群小孩以同样的速度同时出发从A村到B村，要过一条公路a，其中只有一个小孩以最短的时间到达B村，你知道这个聪明的小孩的行程路线吗？

在图中画出来。

A·

A·

B·

·BD·Ca

（1）

（2）

·A1

2）在公路a的同侧有A、B两村庄，要在公路上建立一个站点，使到A、B两村的距离最短，

下面是两位同学的方法：

小刚：

分别过点A,B作到直线a的垂线段，垂足分别为E,F;则EF的中点D就是所求的站点。

小明：

先作出点A关于直线a的对称点A1，然后连接A1B,则A1B与直线l的交点C就是所求的站点。

谁的距离短呢？

请完成下面过程，得到结论。

1）连接AC,DB,DA,DA1。

∵A、A1关于直线a对称

∴直线a_________AA1

∴AC=_____,AD=______.

∴AC+BC=_______+BC=______,AD+DB=______+DB

∵三角形两边之和大于第三边

∴_____+DB>____

∴AD+DB>AC+BC

因此，小明找的点到A、B两村的距离比小刚找的点到A、B两村的距离短。

2）小明找的点就是到A、B两村的距离最短的点吗？

2、完成课本P42探究，你有几种方法？

二、课堂展示

例1、如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

最短路程是多少？

C

D

B

A

三、随堂练习

A组

1、如图，要在l上修一座学校，使得A、B两村到学校的距离和最小，请在图中找出学校的位置。

A·

·B

2、课本P47习题9

B组

已知M（a,3）和N（4，b）关于y轴对称，则

的值为（　　　）

A.1　　　B、－1　　　C.

　　D.

C组

1．认真观察图8的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

特征1：

_________________________________________________；

特征2：

_________________________________________________．

2．如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

12．3．1　等腰三角形

（1）（29课时）

一、学习目标

1、掌握等腰三角形的性质1、2

2、会利用等腰三角形的性质解决简单问题

二、自学指导

自学课本49－51页内容，完成下列要求

1、认真学习探究的内容，边看边操作、思考

（1）剪出的等腰三角形是否为轴对称图形

（2）把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角

2、认真学习等腰三角形性质的证明部分，注意辅助线的添加方法，体会能否可以添加底边上的高或顶角的平分线。

3、学习例1，体会等腰三角形性质的应用。

4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。

三、展示内容

1、等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿，简写成＿＿＿＿＿＿＿

2、等腰三角形的顶角平分线＿＿＿＿、＿＿＿＿＿相互重合。

3、已知△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，求证：

（1）∠B=∠C　　

（2）∠BAD＝∠CAD　　（3）BD＝CD

4、如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。

（1）

（2）

5、在△MNP中，MN=MO=OP,∠NMO=

.求∠N和∠P

课后反思：

12.3.1等腰三角形

（2）（30课时）

一、学习目标

1、掌握等腰三角形的判定方法

2、利用等腰三角形的判定方法

（1）证明相关问题

（2）辅助以尺规作图手段作等腰三角形

二、自学指导　

自学课本51－53页内容，完成下列要求：

1、通过预习，思考51页内容后，你有哪些方法证明“等角对等边”这一结论？

小组交流，互相探讨。

2、阅读例2，注意在证明一个三角形为等腰三角形时，关键就是找这个三角形中两条边相等或两角相等。

3、学习例3的内容，边看边操作，体会已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形的方法。

4、自学20分钟后展示。

三、展示内容：

1、等腰三角形的判定方法：

如果＿＿＿＿＿＿＿＿，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿简写成“＿＿＿＿＿＿”

2、已知△ABC中，∠B＝∠C，求证：

AB＝AC

3、已知△ABC和BC上的高AD，BC＝4cm，AD＝3cm，求作等腰三角形ABC.

4、如左下图，∠A=

∠C=

∠DBC=

.分别计算∠BDC、∠ABD的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。

5、如图（上右）,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB,

求证：

OC=OD.

课后反思：

　12.3.2等边三角形

（1）（31课时）

一、自学目标

1、了解等边三角形的定义

2、掌握等边三角形的性质也判定

二、自学指导

认真阅读课本53－54页的内容，完成下列要求：

1、请你用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质

2、在证明判定2时注意60°的角是等腰三角形的顶角或底角

3、合作交流例4的其它证法

4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示

三、展示内容

1、一个三角形一边的中线和高线重合，那么这个三角形是＿＿

2、等腰三角形顶角的外角平分线与底边的位置关系是＿＿＿＿

3、一个等腰三角形有三条对称轴，那么它就是＿＿＿三角形。

4、在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是＿＿＿三角形。

5、选择：

下列叙述正确的是（　　）

A、等腰三角形是等边三角形　　B、所有的等边三角形形状都相同，所以全等　　　

C、三个角之比为1：

2：

3的三角形是等腰三角形

D、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴

6、选择：

如图在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC那么∠BOC=（）A、100°　　B、90°C、150°　D、120°

6、证明:

等边三角形的判定方法2.

8、O是等边三角形ABC内一点，∠OCB＝∠ABO，求∠BOC的度数

9、等边三角形的三条中线交于一点，画出图中所有的全等三角形，并能说出它们是