数学中考专题角平分线问题专题.doc
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2018年数学中考角平分线专题
下面就以五种情况进行专题研究
1.如图1,角平分线遇平行必有等腰三角形;
2.如图2,垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形,并且垂足F是GH的中点(三线合一);
3.如图3,角平分线定理;
4.补半角成倍角,或分倍角为半角;
5.角平分线与圆.
图1图2图3
一、角平分线遇平行找等腰三角形
1.探究1如图①,AD为等边△ABC的内角平分线,显然有.
探究2如图②,若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角平分线,一定成立吗?
证明你的判断.
应用:
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=24,AB=40,E为AB上一点且AE=15,CE交其内角平分线AD于F.试求的值.
①②③
2.如图1,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC、BC分别交于点E、F,则()
A.B.C.D.
图1图2
3.如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=5,连接BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD,则AD的长为.
4.如图3,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在射线EF上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP.设BP=y,PE=x.
(1)当时,求y与x之间的函数关系式;
(2)当(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式.
图3
5.
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与CD相交于F点.试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系,并证明你的结论;
图①图②
(2)如图②,当F在DC的延长线上时(其他条件不变),请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.
二、遇垂直角平分线找等腰三角形(角平分线遇垂直,补全成三线合一)
6.在△ABC中,点D是BC边的中点,AM是△ABC的角平分线,CE⊥AM,垂足为E,连接DE.
(1)当时(如图①),求证:
;
图①图②图③
(2)当时(如图②),请你写出AB、AC与DE之间的数量关系:
;
(3)如果改AM为△ABC的外角平分线,其他条件不变(如图③),请写出AB、AC与DE之间的数量
关系:
.
7.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC交AC于D,过C作BE的垂线交BE于E,
求证:
BD=2CE.
8.
(1)如图①,已知BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD于F,AG⊥CE于G,连接FG,延长AF、AG与直线BC相交于M、N.则FG与△ABC三边具有的数量关系是:
.
图①图②
(2)如图②,若BD为△ABC的内角平分线,其他条件不变,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请证明你的猜想.
三、遇倍角或半角
见半角补成倍角或等分倍角;见倍角等分之或造半角的等腰三角形
14.在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠C=2∠EDB,BE⊥DE于E,DE交AB于点F.
(1)如图①,当AB=AC时,1)∠EBF=;2)探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明;
(2)如图②,当AB=kAC时,求的值(用含k的式子表示).
图①图②
15.阅读材料:
如图①,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.小明通过以下计算:
由题意知∠B=30°,∠C=90°,,,得:
,即.
于是小明猜想:
对于任意的△ABC,当∠A=2∠B时,关系式都成立.
图①图②图③
(1)如图②,请你用等腰Rt△进行验证,判断小明的猜测是否正确,并写出验证过程;
(2)如图③,你认为小明的猜想是否正确,若认为正确,请你证明;否则,请说明理由;
(3)若某三角形的三边长恰为三个连续偶数,且∠A=2∠B,请直接写出这个三角形三边的长.
四、见角平分线用性质(角关于角平分线所在直线对称,依角的对称性找(或造)全等)
16.如图1,在△ABC中,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E.
(1)当∠B=47°,则∠AEC=;
(2)当∠B=α时,∠AEC=.
图1图2图3
17.如图2,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:
①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中,结论正确的是(填序号)
18.如图3,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ.则
(1)∠A1=;
(2)∠An=.
19.已知,直线MA∥NB,∠MAB与∠NBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.
(1)如图①,当直线l与直线MA垂直时,线段AD、BE、AB满足怎样的数量关系,请证明之;
图①图②
(2)如图②,当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时,
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
五、两角平分线相交用内切圆
三角形内切圆是其三个内角平分线的交点,在Rt△中,内切圆半径r与三边a、b、c()的关系为.
20.如图1,已知Rt△ABC中,AC=24,斜边AB=25,半径为1的⊙P在△ABC内部沿顺时针方向滚动,且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切,当P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是()
A.B.25C.D.56
图1图2
21.如图2,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F.求证:
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- 数学 中考 专题 平分线 问题