版 第4章 1 11利用函数性质判定方程解的存在.docx
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版第4章111利用函数性质判定方程解的存在
§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系.(易混点)
2.掌握函数零点存在的判定方法.(重点)
3.能结合图像求解零点问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 函数零点及判定定理
阅读教材P116~P117整节的内容,完成下列问题.
函数的零点及判定定理
(1)函数的零点:
①定义:
函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系.
(2)函数零点的判定定理:
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零点即函数y=f(x)的图像与x轴的交点.( )
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点.( )
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.( )
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
2.函数y=x-
的零点是________.
【解析】 令y=x-
=
=0,解得x=±1.
【答案】 ±1
[小组合作型]
求函数的零点
求下列函数的零点:
(1)y=-x2-x+20;
(2)f(x)=x4-1.
【精彩点拨】 先因式分解,再确定函数的零点.
【尝试解答】
(1)y=-x2-x+20
=-(x2+x-20)=-(x+5)(x-4),
方程-x2-x+20=0的两根为-5,4.
故函数的零点是-5,4.
(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),
∴方程x4-1=0的实数根是-1,1.
故函数的零点是-1,1.
求函数的零点常用方法是解方程:
(1)一元二次方程可用求根公式求解;
(2)高次方程可用因式分解法求根.
[再练一题]
1.判断下列说法是否正确:
(1)函数f(x)=x2-2x的零点为(0,0),(0,2);
(2)函数f(x)=x-1(2≤x≤5)的零点为x=1.
【解】
(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值,所以函数f(x)=x2-2x的零点为0和2,故
(1)错.
(2)虽然f
(1)=0,但1∉[2,5],即1不在函数f(x)=x-1的定义域内,所以函数在定义域[2,5]内无零点,故
(2)错.
判断零点所在的区间
(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
-7
6
-4
-5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个
C.4个D.5个
(2)函数f(x)=lnx-
的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.
和(3,4)D.(e,+∞)
【精彩点拨】 在区间(a,b)上检验f(a),f(b)是否满足函数零点存在性定理.
【解析】
(1)由已知数表可知f
(2)·f(3)=10×(-7)<0,
f(3)·f(4)=(-7)×6<0,f(4)×f(5)=6×(-4)<0,
故函数f(x)在(2,3),(3,4),(4,5)上分别存在零点,故至少有3个零点.
(2)∵f
(1)=-2<0,f
(2)=ln2-1<0,
∴在(1,2)内f(x)无零点,A错;
又f(3)=ln3-
>0,∴f
(2)·f(3)<0,
∴f(x)在(2,3)内有零点.
【答案】
(1)B
(2)B
1.确定函数零点、方程解所在的区间,通常利用函数零点的存在性定理,转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反.
2.有时需要考察函数在区间上是否连续,若要判断零点(或根)的个数,还需结合函数的单调性.
[再练一题]
2.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为( )
【导学号:
04100072】
A.
B.
C.
D.
【解析】 f
·f
=
=
<0.
【答案】 C
零点个数的判断
判断下列函数零点个数:
(1)y=ex+2x-6;
(2)y=log2x-x+2.
【精彩点拨】 借助函数的单调性和图像解答.
【尝试解答】
(1)∵y1=ex在R上单调递增,y2=2x-6在R上单调递增,∴y=ex+2x-6在R上单调递增.
又f(0)=1+0-6=-5<0,f(3)=e3+6-6=e3>0.
∴y=f(x)在(0,3)上有一个零点.从而知此函数只有一个零点.
(2)函数对应的方程为log2x-x+2=0.即求函数y=log2x与y=x-2图像交点个数.
在同一坐标系下,画出两个函数的图像,如图,知有2个交点.从而函数y=log2x-x+2有两个零点.
判断函数零点个数的方法主要有:
(1)解方程:
当能直接求解零点时,就直接求出进行判断.
(2)用定理:
零点存在性定理.(3)利用图像的交点:
有些题目可先画出某两个函数y=f(x),y=g(x)的图像,其交点的横坐标是f(x)-g(x)的零点.
[再练一题]
3.
(1)函数f(x)=x-
的零点有( )
A.0个B.1个
C.2个D.无数个
(2)函数f(x)=
-
x的零点个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
【解析】
(1)令f(x)=0,即x-
=0,
∴x=±2.
故f(x)的零点有2个.故选C.
(2)函数f(x)=
-
x的零点个数,即方程
-
x=0的根的个数,即函数y=
的图像与函数y=
x图像的交点个数;画出两者的图像(如图),可得交点的个数为1.
【答案】
(1)C
(2)B
[探究共研型]
函数的零点分布
探究1 函数y=x2-x+1有几个零点?
【提示】 令y=0,得x2-x+1=0.
∵Δ=(-1)2-4=-3<0,
∴x2-x+1=0无实根,
∴函数y=x2-x+1无零点.
探究2 若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的取值范围是什么?
【提示】
(1)当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图像与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.
(2)当a≠0时,函数y=ax2-x-1是二次函数.
因为y=ax2-x-1只有一个零点,
所以关于x的方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根,
所以Δ=0,即1+4a=0,解得a=-
.
综上所述,a的值为0或-
.
当a取何值时,方程ax2-2x+1=0一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上.
【精彩点拨】 分a=0,a>0,a<0三种情况讨论列出关于a的不等式,最后求得结果.
【尝试解答】
(1)当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意.
(2)当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,
∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,
∴
即
解得
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