全国181套中考数学试题分类汇编20一次(正比例)函数和反比例函数的综合.doc
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20:
一次(正比例)函数和反比例函数的综合
一、选择题
1.(浙江杭州3分)如图,函数和函数的图像相交于点M(2,),N(-1,),
若,则的取值范围是
A.或B.或
C.或D.或
【答案】D。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据反比例函数的自变量取值范围,1与2图象的交点横坐标,可确定1>2时,的取
值范围:
∵由图象知,函数和函数的图象相交于点M(2,m),N(-1,n),
∴当1>2时,-1<<0或>2。
故选D。
2.(浙江台州4分)如图,双曲线与直线交于点M、N,并
且点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为-1.根据图象信息可得关于的方
程的解为
A.-3,1B.-3,3
C.-1,1D.-1,3
【答案】A。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据图象信息可得关于的方程的解是双曲线与直线交点的横坐标。
因此,把M的坐标(1,3)代入,得,即得双曲线表达式为。
把点N的纵坐标-1代入,得,即关于的方程的解为-3,1。
故选A。
3.(辽宁丹东3分)反比例函数的图象如图所示,则一次函数的图象大致是
【答案】D。
【考点】反比例函数和一次函数的图象。
【分析】根据反比例函数的图象所在的象限确定>0。
然后根据>0确定一次函数的图象的单调性及与轴的交点的大体位置,从而确定该一次函数的图象经过第一、二、三象限故选D。
3.(山东东营3分)如图,直线和双曲线交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合).过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、OP.设△AOC的面积为.△BOD的面积为。
△POE的面积为,则
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】反比例函数系数的几何意义;反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据双曲线的性质,由,即在第一象限,双曲线任一点向向轴作垂线,这一点与垂足、坐标原点构成的三角形面积都等于。
另一方面,由于在直线和双曲线交点范围内直线总在双曲线的上方,从而设PE交轴于F,连接OF,因为△EOF的面积与△AOC的面积、△BOD的面积都等于,△POE的面积大于△EOF的面积。
因此有。
故选D
4.(山东青岛3分)已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系
中的图象如图所示,则当1<2时,的取值范围是
A.<-1或0<<3B.-1<<0或>3
C.-1<<0D.>3
【答案】B。
【考点】一次函数与反比例函数的图象。
【分析】1<2,即一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。
从图象可知,当
-1<<0或>3时,一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。
故选B。
5(广东湛江3分)在同一坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象大致是
A、B、C、 D
【答案】B。
【考点】反比例函数的图象,一次函数的图象。
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可:
∵正比例函数中,k=1>0,∴此图象过一、三象限;∵反比例函数中,k=2>0,∴此函数图象在一、三象限。
故选B。
6.(四川乐山3分)如图,直线交轴、轴于A、B两点,P是反比例函数图象上位于直线下方的一点,过点P作轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F。
则AF·BE=
A.8B.6C.4D.
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的判定和性质。
【分析】过点E作EC⊥OB于C,过点F作FD⊥OA于D,
∵直线交轴、轴于A、B两点,
∴A(6,0),B(0,6)。
∴OA=OB。
∴∠ABO=∠BAO=45°。
∴BC=CE,AD=DF。
∵PM⊥OA,PN⊥OB,∴四边形CEPN与MDFP是矩形。
∴CE=PN,DF=PM。
∵P是反比例函数图象上的一点,∴PN•PM=4,∴CE•DF=4。
在Rt△BCE中,BE=CE÷sin45°=CE,在Rt△ADE中,AF=DF÷sin45°=DF,
∴AF•BE=CE•DF=2CE•DF=8。
故选A。
8.(四川眉山3分)如图,直线(b>0)与双曲线(>0)交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M,BN⊥x轴于N;有以下结论:
①OA=OB,②△AOM≌△BON,③若∠AOB=45°,则S△AOB=,④当AB=时,ON-BN=1;其中结论正确的个数为
A.1B.2C.3D.4
【答案】D。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特点和对称性,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】①②设A(1,1),B(2,2),代入中,得1•1=2•2=,
联立,得2-+=0,则1•2=,又1•1=,∴2=1。
同理可得1=2。
∴ON=OM,AM=BN。
∴△AOM≌△BON。
∴OA=OB。
∴①②正确。
③作OH⊥AB,垂足为H,
∵OA=OB,∠AOB=45°,
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN,
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=+=,正确。
④延长MA,NB交于G点,
∵NG=OM=ON=MG,BN=AM,
∴GB=GA,
∴△ABG为等腰直角三角形,
当AB=时,GA=GB=1,
∴ON-BN=GN-BN=GB=1,正确。
正确的结论有4个。
故选D。
9.(青海省3分)一次函数y=-2x+1和反比例函数y=的大致图象是
ABCD
【答案】D。
【考点】一次函数和反比例函数的图象特征.
【分析】根据题意:
一次函数y=-2x+1的图象过一、二、四象限;反比例函数y=3x过一、三象限。
故选D。
10.(辽宁鞍山3分)在同一直角坐标系中,函数y=kx-k(k≠0)与y=(k≠0)的图象大致是.
【答案】C。
【考点】一次函数和反比例函数的图象。
【分析】若k>0,反比例函数y=的图象经过一、三象限,一次函数y=kx-k的图象经过一、四、三象限,答案中没有符合条件的结果;若k<0,反比例函数y=的图象经过二、四象限,一次函数y=kx-k的图象经过二、一、四象限,答案C符合条件。
故选C。
11.(云南昭通3分)函数与()在同一直角坐标系中的图像可能是
【答案】D。
【考点】一次函数和反比例函数的图象特征。
【分析】若,函数的图象经过一、四、三象限,函数的图象经过一、三象限,所以无适合选项;若,函数的图象经过二、一、四象限,函数的图象经过二、四象限,所以选项D适合。
故选D。
12.(贵州贵阳3分)如图,反比例函数和正比例函数的图象交于A(﹣1,﹣3)、B(1,3)两点,若,则的取值范围是
A、﹣1<<0 B、﹣1<<1
C、<﹣1或0<<1 D、﹣1<<0或>1
【答案】C。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】根据题意知:
若,则只须1>2,又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点,
从图象上可以看出当<﹣1或0<<1时1>2。
故选C。
13.(贵州毕节3分)一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图
象大致是
【答案】C。
【考点】反比例函数的图象,一次函数的图象。
【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可:
A、由反比例函数的图象在一、三象限可知>0,由一次函数的图象过二、四象限可知<0,两结论相矛盾,故本选项错误;B、由反比例函数的图象在二、四象限可知<0,由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知>0,两结论相矛盾,故本选项错误;C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0,由一次函数的图象过二、三、四象限可知<0,两结论一致,故本选项正确;D、由反比例函数的图象在一、三象限可知>0,由一次函数的图象与轴交点在轴的负半轴可知<0,两结论相矛盾,故本选项错误。
故选C。
14.(湖北宜昌3分)如图,直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点,那么m的取值范围在数轴上表示为
【答案】B。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,在数轴上表示不等式的解集。
【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点,联立两方程求出m的取值范围即可,然后在数轴上表示出m的取值范围:
由+2=得2+2+3﹣m=0,
∵=+2与=有两个交点,∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。
即△=4﹣4×(3﹣m)>0,解得m>2。
又∵双曲线在二、四象限,∴m﹣3<0。
∴m<3。
∴m的取值范围为:
2<m<3。
故在数轴上表示为B。
故选B。
15.(湖北恩施3分)一次函数y1=k1x+b和反比例函数(k1∙k2≠0)的图象如图所示,若y1>y2,则x的取值范围是
A、﹣2<x<0或x>1 B、﹣2<x<1
C、x<﹣2或x>1 D、x<﹣2或0<x<1
【答案】A。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】如图,依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数(k1∙k2≠0)的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1,若y1>y2,则y1的图象在y2的上面,x的取值范围是﹣2<x<0或x>1.故选A。
二、填空题
1.(四川成都4分)在平面直角坐标系中,已知反比例函数满足:
当时,y随x的增大而减小。
若该反比例函数的图象与直线都经过点P,且,则实数= ▲.
【答案】。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】∵反比例函数当<0时,随的增大而减小,∴>0。
设P(,),则=2,+=。
又∵OP2=2+2,∴2+2=7,即(+)2﹣2=7。
∴()2﹣4=7,解得或﹣1,
而>0,∴。
2.(新疆乌鲁木齐4分)正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是(),则另一个交点的坐标为▲。
【答案】(1,2)。
【考点】反比例函数图象的对称性。
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可:
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称,∴两函数的交点关于原点对称。
∵一个交点的坐标是(-1,-2),∴另一个交点的坐标是(1,2)。
3.(湖北黄石3分)若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点,则实数的取
值范围是▲.
【答案】k<。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】联立,得,,整理得。
∵一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点
∴关于的一元二次方程无实数根。
∴△=1+4k<0,解得k<。
4.(内蒙古乌兰察布4分)函数l=(≥0),(>0)的图象如图所示,则结论:
①两函数图象的交点A的坐标为(3,3)②当>3,时,③当=1时,BC=8④当逐渐增大时,l随着的增大而增大,2随着的增大而减小.其中正确结论的序号是▲.
【答案】①③④。
【考点】正比例函数和反正比例函数的图象特征。
【分析】①由(>0)解得,从而。
即两函数图象的交点A的坐标为(3,3)。
②当>3时,l=(≥0)的图象在(>0)的图象之上,所以。
③当=1时,l=1,,所以BC=8。
④当逐渐增大时,l随着的增大而增大,2随着的增大而减小。
因此,正确结论的序号是①③④。
三、解答题
1.(重庆綦江10分)如图,已知A(4,),B(﹣2,﹣4)是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解祈式;
(2)求△A0B的面积.
【答案】解:
(1)将A(4,),B(﹣2,﹣4)两点坐标代入中,
得4=(﹣2)×(﹣4)=,解得=2,=8。
将A(4,2),B(﹣2,﹣4)代入中,得,
解得。
∴反比例函数解析式为,一次函数的解祈式为。
(2)设直线AB交轴于C点,
由直线AB的解析式得C(0,﹣2),
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,角二元一次方程。
【分析】
(1)A根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将(4,),B(﹣2,﹣4)两点代入,即可求、的值,再将A、B两点坐标代入中得方程组即可求解。
(2)设直线AB交轴于C点,由直线AB的解析式求C点坐标,根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求面积
2.(黑龙江大庆7分)如图,制作一种产品的同时,需将原材料加热,设该材料温度为yºC,从加热开始计算的时间为xmin.据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为15ºC,加热5min达到60ºC并停止加热;停止加热后,材料温度逐渐下降,这时温度y与时间x成反比例函数关系.
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系,并
写出x的取值范围;
(2)根据工艺要求,在材料温度不低于30ºC的这段时间内,需要对
该材料进行特殊处理,那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少?
【答案】解:
(1)设加热过程中一次函数表达式为
∵该函数图像经过点(0,15),(5,60),
∴,解得。
∴一次函数表达式为。
设加热停止后反比例函数表达式为,
该函数图像经过点(5,60),∴,得。
∴反比例函数表达式为。
(2)由题意得:
,解得;解得
则。
所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟。
【考点】反比例函数和一次函数的应用,待定系数法,点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)确定两个函数后,找到函数图象经过的点的坐标,用待定系数法求得函数的解析式即可。
(2)分别令两个函数的函数值为30,解得两个的值相减即可得到答案。
3.(北京5分)如图,在平面直角坐标系O中,一次函数=﹣2的图象与反比例函数的图象的一个交点为A(﹣1,n).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若P是坐标轴上一点,且满足PA=OA,直接写出点P的坐标.
【答案】解:
(1)∵点A(﹣1,n)在一次函数=﹣2的图象上,∴n=﹣2×(﹣1)=2。
∴点A的坐标为(﹣1,2)。
∵点A在反比例函数的图象上,∴k=﹣2
∴反比例函数的解析式是。
(2)点P的坐标为(﹣2,0)或(0,4)。
【考点】反比例函数与一次函数的交点,待定系数法。
【分析】
(1)把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值,即可得到函数解析式。
(2)以A为圆心,以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P。
4.(天津8分)已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数(为常数.且)
的图象相交于点P(3.1).
(I)求这两个函数的解析式;
(II)当>3时,试判断与的大小.井说明理由。
【答案】解:
(I)∵P(3.1)在一次函数一次函数上,∴1=3+b。
∴b=-2。
∴一次函数的解析式为。
同理,反比例函数的解析式为。
(II).理由如下:
当时,,
又当时.一次函数随的增大而增大.反比例函数随的增大而减小,
∴当时。
【考点】点的坐标与方程的关系,一次函数和反比例函数的性质。
【分析】(I)因为点在曲线上点的坐标满足方程,所以利用点P在一次函数和反比例函数的图象上,把P的坐标分别代入即可求出。
(II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。
5.(重庆10分)如图,在平面直角坐标系O中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点,与轴交于C点,点B的坐标为(6,).线段OA=5,E为轴上一点,且sin∠AOE=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOC的面积.
【答案】解:
(1)过点A作AD⊥轴于D点,如图,
∵sin∠AOE=,OA=5,∴sin∠AOE=。
∴AD=4,∴DO=。
而点A在第二象限,∴点A的坐标为(-3,4)。
将A(-3,4)代入,得=-12,
∴所求的反比例函数的解析式为。
将B(6,)代入,得=-2。
将A(-3,4)和B(6,-2)分别代入,得
,解得。
∴所求的一次函数的解析式为。
(2)在中,令,即,解得。
∴C点坐标为(0,3),即OC=3,
∴。
【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,勾股定理。
【分析】
(1)过点A作AD⊥轴于D点,由sin∠AOE=,OA=5,根据正弦的定义可求出AD,再根据勾股定理得到DO,即得到A点坐标(-3,4),把A(-3,4)代入,即可确定反比例函数的解析式;将B(6,)代入,确定点B点坐标,然后把A点和B点坐标代入,即可确定一次函数函数的解析式。
(2)先令,求出C点坐标,得到OC的长,然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可。
6.(重庆潼南10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.求:
(1)根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出:
当为何值时,一次函数值大于反比例函数值.
【答案】解:
(1)由图象可知:
点A、B的坐标分别为(2,),(﹣1,﹣1)。
∵反比例函数的图象经过点A(2,),
∴把点A的坐标代入,得。
∴反比例函数的解析式为:
。
又∵一次函数的图象经过点A(2,)点B(﹣1,﹣1),
∴把点A、点B的坐标分别代入,得
,解得。
∴一次函数的解析式为。
(2)由图象可知:
当>2或﹣1<<0时一次函数值大于反比例函数值。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】
(1)由题意,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,可得出A、B两点的坐标,再将A、B两点的坐标代入与,即可得出解析式。
(2)即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时,的取值范围即可。
7.(浙江省8分)若反比例函数与一次函数的图象都经过点A(,2)
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当反比例函数的值大于一次函数的值时,求自变量的取值范围.
【答案】解:
(1)∵的图象过点A(,2),∴=3
∵过点A(3,2),∴=6,∴
(2)求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标,得到方程:
解得:
1=3,2=-1。
∴另外一个交点是(-1,-6)。
∴当<-1或0<<3时,。
【考点】反比例函数和一次函数的图象,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)先把点A的坐标代入一次函数,求出,再把A(3,2)代入反比例函数,求出,即可得到反比例函数的解析式。
(2)求出反比例函数与一次函数的图象的交点和横坐标,根据图象即可得。
8.(吉林长春6分)如图,平面直角坐标系中,直线与
轴交于点A,与双曲线在第一象限内交于点B,BC⊥轴于
点C,OC=2AO.求双曲线的解析式.
【答案】解:
由直线与轴交于点A的坐标为(-1,0),
∴OA=1。
又∵OC=2OA,∴OC=2。
∴点B的横坐标为2。
代入直线,得y=。
∴B(2,)。
∵点B在双曲线上,∴k==2×=3,∴双曲线的解析式为=。
【考点】反比例函数综合题,点的坐标与方程的关系。
【分析】先利用一次函数与图象的交点,再利用OC=2AO求得C点的坐标,然后代入一次函数求得点B的坐标,进一步求得反比例函数的解析式即可。
9.(广西北海8分)如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,BC在轴上,一次函数的图象
经过点A、C,并与y轴交于点E,反比例函数的图象经过点A.[来
(1)点E的坐标是;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式;
(3)根据图象写出当>0时,一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
【答案】解:
(1)(0,-2)。
(2)由题意得知AB∥OE,∴△ABC∽△EOC。
∴,∴。
∵点C的坐标为(4,0),
∴把点C的坐标代入得,4-2=0,∴。
∴所求一次函数的解析式为。
又∵点A在上,∴点A的坐标为(6,1)。
又∵点A在上,∴,∴。
∴所求反比例函数的解析式为。
(3)当>0时,由图象可知:
当>6时,一次函数的值大于反比例函数的值。
【考点】相似三角形的判定和性质,点的坐标与方程的关系,一次函数和反比例函数的图象性质。
【分析】
(1)在中令=0,得=-2,即得点E的坐标。
(2)由AB∥OE可得△ABC∽△EOC,从而根据相似三角形对应边成比例的性质可求出OC,从而得到点C的坐标。
根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系,将点C的坐标代入求得,从而得到所求一次函数的解析式。
从而求出点A的坐标,代入求得,从而得到所求反比例函数的解析式。
(3)由图象可知,在>0时,当>6时,一次函数的图象在反比例函数的图象上方,即一次函数的值大于反比例函数的值。
10.(广西来宾10分)已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A(1,4)和点B(,-2),
(1)求这两个函数的关系式;
(2)观察图象,写出使得1>2成立的自变量的取值范围;
(3)如果点C与点A关于轴对称,求△ABC的面积.
【答案】解:
(1)∵函数的图象过点A(1,4),即,
∴=4,∴反比例函数的关系式为。
又∵点B(,-2)在上,
∴=-2,∴B(-2,-2)。
又∵一次函数过A、B两点,
∴依题意,得,解得。
∴一次函数的关系式为。
(2)<-2或0<<1。
(3)∵点C与点A关于轴对称,A(1,4),
∴点C的坐标为(1,-4)。
过点B作BD⊥AC于点D
∴AC=8,BD=3
∴S△ABC=×AC×BD=×8×3=12。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,待定系数法,解二元一次方程组,对称的性质。
【分析】
(1)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为,再求出B的坐标是(-2,-2),利用待定系数法求一次函数的解析式。
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直线在双曲线的下方,直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围<-2或0<<1。
(3)根据对称的性质求出点C的坐标,从而求得边AC的长和AC边上的高BD的长,因此求得△ABC的面积。
11.(广西贵港8分)如图所示,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx-3的图象在第一象限内相交
于点A(4,m).
(1)求m的值及一次函数的解析式;
(2)若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C,求
线段BC的长.
【答案】解:
(1)∵点A(4,m)在反比例函数y=的图象上,
∴m==1,∴A(4,1)。
把A(4,1)代入一次函数y=kx-3,得4x-3=1,∴k=1。
∴一次函数的解析式为y=x
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