1、20：一次(正比例）函数和反比例函数的综合一、选择题1.（浙江杭州3分） 如图，函数和函数的图像相交于点M（2，），N（1，），若，则的取值范围是A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】D。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据反比例函数的自变量取值范围，1与2图象的交点横坐标，可确定12时，的取值范围：由图象知，函数和函数 的图象相交于点M（2，m），N（1，n），当12时，10或2。故选D。2.（浙江台州4分）如图，双曲线与直线交于点M、N，并且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为1根据图象信息可得关于的方程的解为A3，1 B3，3C1，1 D1，3 【答案】A。【考点
2、】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据图象信息可得关于的方程的解是双曲线与直线交点的横坐标。因此，把M的坐标(1，3)代入，得，即得双曲线表达式为。把点N的纵坐标1代入，得，即关于的方程的解为3，1。故选A。3（辽宁丹东3分）反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是【答案】D。【考点】反比例函数和一次函数的图象。【分析】根据反比例函数的图象所在的象限确定0。然后根据0确定一次函数的图象的单调性及与轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数的图象经过第一、二、三象限故选D。3.（山东东营3分）如图，直线和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重 合)过点A、B、P分别向
3、x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP设AOC的面积为BOD的面积为。POE的面积为，则ABCD【答案】D。【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据双曲线的性质，由，即在第一象限，双曲线任一点向向轴作垂线，这一点与垂足、坐标原点构成的三角形面积都等于。另一方面，由于在直线和双曲线交点范围内直线总在双曲线的上方，从而设PE交轴于F，连接OF，因为EOF的面积与AOC的面积、BOD的面积都等于，POE的面积大于EOF的面积。因此有。故选D4.（山东青岛3分）已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当12时，的取值范围是A1或
4、03 B10或3C10 D3【答案】B。【考点】一次函数与反比例函数的图象。【分析】12，即一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。从图象可知，当10或3时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方。故选B。5（广东湛江3分）在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象大致是A、B、C、D【答案】B。【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象。【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可：正比例函数中，k=10，此图象过一、三象限；反比例函数中，k=20，此函数图象在一、三象限。故选B。6.（四川乐山3分）如图，直线 交轴、轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P
5、作轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AFBE= A. 8 B.6 C. 4 D. 【答案】A。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】过点E作ECOB于C，过点F作FDOA于D，直线 交轴、轴于A、B两点，A（6，0），B（0，6）。OA=OB。ABO=BAO=45。BC=CE，AD=DF。PMOA，PNOB，四边形CEPN与MDFP是矩形。CE=PN，DF=PM。P是反比例函数 图象上的一点，PNPM=4，CEDF=4。在RtBCE中，BE= CEsin45=CE，在RtADE
6、中，AF= DFsin45=DF，AFBE=CEDF=2CEDF=8。故选A。8.（四川眉山3分）如图，直线（b0）与双曲线（0）交于A、B两点，连接OA、OB，AMy轴于M，BNx轴于N；有以下结论：OA=OB，AOMBON，若AOB=45，则SAOB=，当AB=时，ONBN=1；其中结论正确的个数为A1 B2 C3 D4 【答案】D。【考点】反比例函数图象上点的坐标特点和对称性，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】设A（1，1），B（2，2），代入中，得11=22=，联立，得2=0，则12=，又11=，2=1。同理可得1=2。ON=OM，AM=BN。AOMBON。O
7、A=OB。正确。作OHAB，垂足为H，OA=OB，AOB=45，OAMOAHOBHOBN，SAOB=SAOH+SBOH=SAOM+SBON=+=，正确。延长MA，NB交于G点，NG=OM=ON=MG，BN=AM，GB=GA，ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，ON-BN=GN-BN=GB=1，正确。正确的结论有4个。故选D。9.（青海省3分）一次函数y=2x+1和反比例函数y=的大致图象是 A B C D【答案】D。【考点】一次函数和反比例函数的图象特征【分析】根据题意：一次函数y=-2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y= 3x过一、三象限。故选D。10.（辽宁鞍山3分
8、）在同一直角坐标系中，函数ykxk(k0)与y(k0)的图象大致是 【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】若k0，反比例函数y的图象经过一、三象限，一次函数ykxk的图象经过一、四、三象限，答案中没有符合条件的结果；若k0，反比例函数y的图象经过二、四象限，一次函数ykxk的图象经过二、一、四象限，答案C符合条件。故选C。11.（云南昭通3分）函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是 【答案】D。【考点】一次函数和反比例函数的图象特征。【分析】若，函数的图象经过一、四、三象限，函数的图象经过一、三象限，所以无适合选项；若，函数的图象经过二、一、四象限，函数的图象经过二、四象限
9、，所以选项D适合。故选D。12.（贵州贵阳3分）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A（1，3）、B（1，3）两点，若，则的取值范围是 A、10 B、11 C、1或01D、10或1【答案】C。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据题意知：若，则只须12，又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，从图象上可以看出当1或01时12。故选C。13.（贵州毕节3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是【答案】C。【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象。【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知0，由一次函
10、数的图象过二、四象限可知0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知0，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知0，由一次函数的图象与轴交点在轴的负半轴可知0，两结论相矛盾，故本选项错误。故选C。14.（湖北宜昌3分）如图，直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为 【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。【分析】因为直线=
11、+2与双曲线=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：由+2=得2+2+3m=0，=+2与=有两个交点，方程2+2+3m=0有两不相等的实数根。即=44（3m）0，解得m2。又双曲线在二、四象限，m30。m3。m的取值范围为：2m3。故在数轴上表示为B。故选B。15.（湖北恩施3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1k20）的图象如图所示，若y1y2，则x的取值范围是 A、2x0或x1B、2x1C、x2或x1D、x2或0x1【答案】A。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数（k1k
12、20）的图象的交点的横坐标分别为x=2或x=1，若y1y2，则y1的图象在y2的上面，x的取值范围是2x0或x1故选A。二、填空题1. （四川成都4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小。若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数= 【答案】。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】反比例函数当0时，随的增大而减小，0。设P（，），则=2，+=。又OP2=2+2，2+2=7，即（+）22=7。（）24=7，解得或1，而0，。2.（新疆乌鲁木齐4分）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是（），则另一个交点的坐标为 。【答案】（1，2）。【
13、考点】反比例函数图象的对称性。【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，两函数的交点关于原点对称。一个交点的坐标是（-1，-2），另一个交点的坐标是（1，2）。3.（湖北黄石3分）若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的取值范围是 .【答案】k。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】联立，得，整理得。 一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点 关于的一元二次方程无实数根。 1+4k0，解得k。4.（内蒙古乌兰察布4分）函数l= (0 ) , （ 0 ）的图象如图所示，则结论： 两函数图象的交点A的坐标为
14、（3 ,3 ) 当 3 ，时， 当 1时， BC = 8 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小其中正确结论的序号是 .【答案】。【考点】正比例函数和反正比例函数的图象特征。【分析】由( 0 )解得，从而。即两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 )。当 3时，l= (0 ) 的图象在（ 0 ）的图象之上，所以。 当 1时，l=1，所以BC =8。 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小。因此，正确结论的序号是。三、解答题1.（重庆綦江10分）如图，已知A （4，），B （2，4）是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点（1）求反比例函数和一次函数的解
15、祈式；（2）求A0B的面积【答案】解：（1）将A （4，），B （2，4）两点坐标代入中， 得4=（2）（4）=，解得=2，=8。将A（4，2），B（2，4）代入中，得，解得。 反比例函数解析式为，一次函数的解祈式为。（2）设直线AB交轴于C点，由直线AB的解析式得C（0，2），SAOB=SAOC+SBOC=。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，角二元一次方程。【分析】（1）A 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，），B （2，4）两点代入，即可求、的值，再将A、B两点坐标代入中得方程组即可求解。（2）设直线AB交轴于C点，由直线AB的解析式求C点坐
16、标，根据SAOB=SAOC+SBOC求面积2.（黑龙江大庆7分）如图，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为yC，从加热开始计算的时间为xmin据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系已知该材料在加热前的温度为15C，加热5min达到60C并停止加热；停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系，并写出x的取值范围；(2)根据工艺要求，在材料温度不低于30C的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】解：（1）设加热过程中一次函数表达式为该函数图像
17、经过点（0，15），（5，60）， ，解得。一次函数表达式为。设加热停止后反比例函数表达式为，该函数图像经过点（5，60），得。反比例函数表达式为。（2）由题意得： ，解得； 解得 则。所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟。【考点】反比例函数和一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系。【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可。（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个的值相减即可得到答案。3.（北京5分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数=2的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，n）（1）求反比例函数的解析式；（2）若P是
18、坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标【答案】解：（1）点A（1，n）在一次函数=2的图象上，n=2（1）=2。 点A的坐标为（1，2）。 点A在反比例函数的图象上，k=2 反比例函数的解析式是。 （2）点P的坐标为（2，0）或（0，4）。【考点】反比例函数与一次函数的交点，待定系数法。【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式。 （2）以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P。4.（天津8分）已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于点P(31) (I) 求这两个函数的解析式；(II) 当3时，试判断与的大小井说明理由
19、。【答案】解 ：(I)P(31)在一次函数一次函数上，1=3b。b=2。 一次函数的解析式为。 同理，反比例函数的解析式为。 (II) 理由如下：当时， 又当时一次函数随的增大而增大反比例函数随的增大而减小， 当时。【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。【分析】(I)因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点P在一次函数和反比例函数的图象上，把P的坐标分别代入即可求出。 (II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。5.（重庆分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与轴交于C点，点B的坐标为（6，）线段OA=
20、5，E为轴上一点，且sinAOE=（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOC的面积【答案】解：（1）过点A作AD轴于D点，如图， sinAOE=，OA=5，sinAOE=。AD=4，DO=。而点A在第二象限，点A的坐标为（3，4）。将A（3，4）代入，得=12，所求的反比例函数的解析式为。将B（6，）代入，得=2。将A（3，4）和B（6，2）分别代入，得，解得。所求的一次函数的解析式为。（2）在中，令，即，解得。C点坐标为（0，3），即OC=3，。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）过点A作AD轴于D点，由sinAOE=，
21、OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（3，4），把A（3，4）代入，即可确定反比例函数的解析式；将B（6，）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入，即可确定一次函数函数的解析式。（2）先令，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算AOC的面积即可。6（重庆潼南10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值 【答案】解：（1）由图象可知：点A、B的坐标分别为（2，）
22、，（1，1）。反比例函数的图象经过点A（2，），把点A的坐标代入，得。反比例函数的解析式为：。又一次函数的图象经过点A（2，）点B（1，1），把点A、点B的坐标分别代入，得，解得。一次函数的解析式为。（2）由图象可知：当2或10时一次函数值大于反比例函数值。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】（1）由题意，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入与，即可得出解析式。（2）即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，的取值范围即可。7.（浙江省8分）若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（，2）(1)求反比例函数的解析式；(2) 当反比
23、例函数的值大于一次函数的值时，求自变量的取值范围【答案】解：(1)的图象过点A（，2）， =3过点A（3，2）， =6 ， (2) 求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标，得到方程： 解得：1= 3，2= 1。 另外一个交点是（1，6）。 当1或03时，。【考点】反比例函数和一次函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】(1)先把点A的坐标代入一次函数，求出，再把A（3，2）代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的解析式。 （2）求出反比例函数与一次函数的图象的交点和横坐标，根据图象即可得。8.（吉林长春6分）如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC
24、轴于点C，OC=2AO求双曲线的解析式【答案】解：由直线与轴交于点A的坐标为（1，0），OA=1。又OC=2OA，OC=2。点B的横坐标为2。代入直线 ，得y= 。B（2， ）。点B在双曲线上，k=2=3，双曲线的解析式为= 。【考点】反比例函数综合题，点的坐标与方程的关系。【分析】先利用一次函数与图象的交点，再利用OC2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可。9.（广西北海8分）如图，矩形ABCD中，AB1，BC2，BC在轴上，一次函数的图象经过点A、C，并与y轴交于点E，反比例函数的图象经过点A来(1)点E的坐标是 ；(2)求一次函数和反比例函
25、数的解析式；(3)根据图象写出当0时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围【答案】解：（1）（0，2）。 （2）由题意得知ABOE，ABCEOC。 ，。点C的坐标为（4，0），把点C的坐标代入得，420，。所求一次函数的解析式为。又点A在上，点A的坐标为（6，1）。又点A在上，。所求反比例函数的解析式为。（3）当0时，由图象可知：当6时，一次函数的值大于反比例函数的值。【考点】相似三角形的判定和性质，点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的图象性质。【分析】（1）在中令0，得2，即得点E的坐标。 （2）由ABOE可得ABCEOC，从而根据相似三角形对应边成比例的性质可求出OC，从而得
26、到点C的坐标。根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点C的坐标代入求得，从而得到所求一次函数的解析式。从而求出点A的坐标，代入求得，从而得到所求反比例函数的解析式。 （3）由图象可知，在0时，当6时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值。10.（广西来宾10分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（1，4）和点B（，2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得12成立的自变量的取值范围；（3）如果点C与点A关于轴对称，求ABC的面积【答案】解：（1）函数的图象过点A（1，4），即，=4，反比例函数的关系式为。又点B（，2）在上，=2，
27、B（2，2）。又一次函数过A、B两点，依题意，得，解得 。一次函数的关系式为。（2）2或01。（3）点C与点A关于轴对称，A（1，4），点C的坐标为（1，4）。 过点B作BDAC于点DAC=8，BD=3SABC=ACBD=83=12。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，对称的性质。【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是（2，2），利用待定系数法求一次函数的解析式。（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围2或01。 （3）根据对称的性质求出点C的坐标，从而求得边AC的长和AC边上的高BD的长，因此求得ABC的面积。11.（广西贵港8分）如图所示，反比例函数y的图象与一次函数ykx3的图象在第一象限内相交于点A (4，m)（1）求m的值及一次函数的解析式；（2）若直线x2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长【答案】解：（1）点A (4，m)在反比例函数y的图象上，m1，A (4，1)。把A (4，1)代入一次函数ykx3，得4x31，k1。一次函数的解析式为yx
