培优第二章轴对称Word文档下载推荐.docx
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∴E、D为别是AF和AG的中点,
∴ED是△AFG的中位线,
∴FG=2DE,
则△ABC的周长为:
AB+BC+AC=BG+CG+BC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG,
由BF=2,ED=3,GC=4,FG=2DE=6得△ABC的周长为30.
故答案为:
30.
点评:
此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质,属于基础题.
2—37已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1、B1、C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点,若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于__
60°
三角形的五心.
计算题.
首先要抓住I是内心,即是三角形角平分线的交点,即可得∴∠DBI=1/2∠ABC,
又由A1、B1、C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点,可得ID=A1D=IA1,∠BDI=90°
,即可求得∠ABC的度数.
∵I是锐角三角形ABC的内心,
∴∠DBI=1/2∠ABC,
∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点,
∴ID=A1D1/2IA1
∠BDI=90°
,
∵点B在△A1B1C1的外接圆上,
∴IB=IA1,
∴ID=1/2IB,
∴∠IBD=30°
∴∠ABC=60°
此题考查了三角形的内心与对称性,以及直角三角形的知识.注意此题图形复杂,仔细识图,合理应用数形结合思想解题的关键.
2—38如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为
2
翻折变换(折叠问题).
根据折叠的性质,在图②中得到DB=8-6=2,∠EAD=45°
;
在图③中,得到AB=AD-DB=6-2=4,△ABF为等腰直角三角形,然后根据等腰三角形的性质和矩形的性质得到BF=AB=4,CF=BC-BF=6-4=2,EC=DB=2,最后根据三角形的面积公式计算即可.
∵AB=8,AD=6,纸片折叠,使得AD边落在AB边上,图②,
∴DB=8-6=2,∠EAD=45°
又∵△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,图③,
∴AB=AD-DB=6-2=4,△ABF为等腰直角三角形,
∴BF=AB=4,
∴CF=BC-BF=6-4=2,
而EC=DB=2,
∴△CEF的面积=1/2*2*2=2.
2.
本题考查了折叠的性质:
折叠前后的两个图形全等,即对应线段相等,对应角相等.也考查了等腰三角形的性质和矩形的性质.
2—39三角形的三角度数之和是180度,由此可确定一个角的角度是180-140=40度,由于两个角之和是140,但不能确定是那两个角,那么就有两种情况,一种是两个角是相等的两个角,则这两个角角度为140/2=70度,另一种是其中一个角是和40度角相等,则还有一个角角度是140-40=100度
2—40解2点之间直线最短,所以|PA|+|PB|最小,那么P点就在点A(-1,1),b(3,-2),(b为B与X轴的对称点)
由A(-1,1),b(3,-2)确定直线,设直线方程为y=kx+b带入点A,b
(-1)k+b=1;
3k+b=-2解得k=-(3/4)b=1/4
直线方程为y=-(3/4)x+1/4因为P点在X轴上,所以y=0带入解得x=1/3
所以点P的坐标为P(1/3,0)
2—42等腰三角形的底边长为10cm,一腰上的中线把三角形的周长分成两部分,其中一部分比另一部分长4cm,则这个三角形的腰长是( )
A.6cm
B.14cm
C.6cm或14cm
D.17cm或11cm
等腰三角形的性质.
设等腰三角形的腰长是xcm,根据其中一部分比另一部分长4cm,即可列方程求解.
设等腰三角形的腰长是xcm.
当AD+AB与BC+BD的差是4cm时,即1/2x+x-(1/2x+10)=4
解得:
x=14cm;
当BC+BD与AD+AB的差是4cm时,即10+1/2x-(1/2x+x)=4
x=6cm.
故腰长是:
6cm或14cm.
故选C.
本题主要考查了等腰三角形的计算,正确理解分两种情况讨论是解题的关键
2—43已知a,b,c为△ABC的三边,且3a3+6a2b-3a2c-6abc=0,则△ABC的形状为
等腰三角形
因式分解的应用.
此题主要是对已知的等式进行因式分解,熟练运用分组分解法,在分析问题的时候,注意三角形的三边都是正数.
∵3a3+6a2b-3a2c-6abc=0,
∴a3+2a2b-a2c-2abc=0,
a2(a+2b)-ac(a+2b)=0,
a(a+2b)(a-c)=0,
又a,b,c为△ABC的三边,
∴a-c=0,
即a=c,该三角形是等腰三角形.
等腰三角形.
此题的关键在于能够熟练运用分组分解法进行因式分解.
2—44在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AH⊥BC,AP是它一条内角平分线,AP的垂直平分线EF与A
P相交于点E,与BC的延长线相交于点F.那么AF=
6
相似三角形的判定与性质;
全等三角形的判定与性质;
角平分线的性质;
勾股定理.
根据AH⊥BC,利用勾股定理求出CH,然后可得BH的长,再利用勾股定理求出AH,利用角平分线的性质求出PH,再利用勾股定理求出AP,再利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质得出AP/AF=PH/(1/2AP),
然后即可求得AF.
∵AH⊥BC,
∴AC2-CH2=AB2-BH2,
则42-CH2=62-(5-CH)2,
解得,CH=0.5,
则BH=BC-CH=5-0.5=4.5,
在直角三角形AHC中,AH=
AC2-CH2
=
42-0.52
3
7
∵AP是∠CAB的平分线,
∴AB/AC=BP/PC,
6/4=(BH-PH)/PH+0.5),
解得PH=1.5,
在Rt△APH中,AP=
AH2+PH2
=3
又∵EF是AP的垂直平分线,
∴△FEP≌△FEA(SAS),
∴∠FEP=∠FAE,
∴△APH∽△FEA,
∴AP/AF=PH/(1/2AP),
则AF=
1
AP2
PH
×
(3
)2
1.5
=6.
6.
此题主要考查勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等多个知识点,综合性强.难度较大,属于难题.
2—45如图,∠AOB=45°
,角内有点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于O点),则△PQR的周长的最小值为
轴对称-最短路线问题.
根据轴对称图形的性质,作出P关于OA、OB的对称点M、N,连接AB,根据两点之间线段最短得到最小值线段,再构造直角三角形,利用勾股定理求出MN的值即可.
分别作P关于OA、OB的对称点M、N.
连接MN交OA、OB交于Q、R,则△PQR符合条件.
连接OM、ON,
则OM=ON=OP=10,
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×
45°
=90°
故△MON为等腰直角三角形.
∴MN=
102+102
=10
故答案为10
.点评:
此题考查了轴对称最短路径问题,根据题意构造出对称点,转化为直角三角形的问题是解题的关键.
2—46如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°
,则∠EDC=
30°
等腰三角形的性质;
三角形内角和定理;
三角形的外角性质.
根据三角形外角的性质,可得:
∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,∠AED=∠EDC+∠C.
∵△ADE中,AD=AE,
∴∠ADE=∠AED;
∵∠AED=∠EDC+∠C①,而∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD②;
∴②-①得:
2∠EDC=∠B-∠C+∠BAD;
∵AB=AC,
∴∠B=∠C;
∴∠EDC=1/2∠BAD=30°
此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质,难度不大,注意等腰三角形性质的掌握与运用.
2—47如图,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为
12°
角平分线的定义;
设∠BAC为x°
,根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠CBD=4x°
,再根据角平分线的定义可表示出∠A′AB的度数,再根据三角形内角和定理不难求解.
∵AB=BB′,
∴∠CAB=∠BB′A,
∴∠B′BD=2x°
,∠CBD=4x°
∵AB=AA′,
∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°
∵∠A′AB=1/2(180°
-x°
),
∴1/2(180°
)+4x°
+4x°
=180°
∴x°
=12°
此题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用
2—48如图,△ABC中,AC=BC=5,∠ACB=80°
,O为△ABC内一点,∠OAB=10°
,∠OBA=30°
,则线段AO的长是多少?
全等三角形的判定与性质.
证明题.
先作辅助线,作∠CAO的平分线AD,交BO的延长线于D,连接CD.根据条件可证得△ACD≌△BCD,再可证得△ACD≌△AOD,即可得AO=AC=5.
如图,作∠CAO的平分线AD,交BO的延长线于D,连接CD.
∵∠ACB=80°
,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=50°
,(3分)
又∠OAB=10°
∴∠CAO=40°
∴∠CAD=∠OAD=20°
,∠DAB=10°
+20°
=30°
=∠DBA,
∴AD=BD,∠ADB=120°
,(5分)
在△ACD与△BCD中,
AC=BC
AD=BD
CD=CD
∴△ACD≌△BCD(SSS),
∴∠CDA=∠CDB=
360°
=120°
.(7分)
在△ACD与△AOD中,
∠CAD=∠OAD
AD=AD
∠CDA=∠ODA
∴△ACD≌△AOD(ASA),(9分)
∴AO=AC=5.(10分)
本题考查了全等三角形的判定和性质,涉及到三角形内角和定理、角平分线的性质等知识点,正确作出辅助线是解题的关键.
2—49如图,△ABC中,∠C=90°
,∠CAD=30°
,AC=BC=AD.
求证:
BD=CD.
可过C作CE⊥AD于E,过D作DE⊥BC于F,依据题意可得∠FCD=∠ECD,由角平分线到角两边的距离相等可得DF=DE,进而的△CED≌△CFD,由对应边又可得Rt△CDF≌Rt△BDF,进而可得出结论.
证明:
如图,过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥BC于F.
∵∠CAD=30°
,∴∠ACE=60°
,且CE=1/2AC,
∵AC=AD,∠CAD=30°
,∴∠ACD=75°
∴∠FCD=90°
-∠ACD=15°
,∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°
在△CED和△CFD中
∠CED=∠CFD,∠ECD=∠FCD,CD=CD,
∴△CED≌△CFD,
∴CF=CE=1/2AC=1/2BC,
∴CF=BF.
∴Rt△CDF≌Rt△BDF,
∴BD=CD.
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的性质问题,能够熟练运用其性质进行解题.
2—50如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°
,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE=1/2BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
线段垂直平分线的性质;
延长AE、BC交于点F.根据等角的余角相等,得∠DBC=∠FAC;
在△BCD和△ACF中,根据ASA证明全等,得AF=BD,从而AE=EF,根据线段垂直平分线的性质,得AB=BF,再根据等腰三角形的三线合一即可证明.
延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BE,
∴∠BEF=90°
,又∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC,
在△ACF和△BCD中,
∠ACF=∠BCD=90°
,AC=BC,∠FAC=∠DBC
∴△ACF≌△BCD(ASA),
∴AF=BD.
又AE=1/2BD
∴AE=EF.
∴AB=BF,
∴BD是∠ABC的角平分线.
此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.
2—52书本的答案很好,很详细。
看一下。
2—53如图,在三角形abc中,已知角B=40度,角BAD=30度,若AB=CD试求角ACD的大小
解
在BC上作BE=AB=CD
则三角形ABE是等腰三角形
∠BEA=1/2(180度-∠B)=70度
又∠CDA=∠B+∠BAD=70度
所以,∠BEA=∠CDA
所以,AE=AD
在三角形ABE和三角形ACD中
AE=AD
∠BEA=∠CDA
BE=CD
所以,两个三角形全等
所以∠ACD=∠ABE=40度
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- 第二 轴对称