K12教育学习资料学习文理通用届高考数学大二轮复习 第1部分 专题5 立体几何Word文件下载.docx
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C.30cm3D.40cm3
[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥,可视作直三棱柱ABC-A1B1C1沿平面AB1C1截去一个三棱锥A-A1B1C1余下的部分.
∴VA-BCC1B1=VABC-A1B1C1-VA-A1B1C1=×
4×
5-×
(×
3)×
5=20cm3.
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(B)
A.18+2πB.20+π
C.20+D.16+π
[解析] 由三视图可知,这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的圆柱体,其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和,即该几何体的表面积S=4×
5+2×
2π×
1×
=20+π.
故选B.
5.(2018·
双鸭山一模)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为(A)
A.B.
C.4D.2π
[解析] 由已知几何体的正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形,可得该几何体有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图.
则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,
这个几何体的外接球的半径R=PD=.
则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×
()2=.
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.
[解析] 利用三棱锥的体积公式直接求解.
VD1-EDF=VF-DD1E=SD1DE·
AB=×
×
1=.
7.已知E,F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点,且BC=2AB=2,现沿EF将平面ABEF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,则三棱锥A-FEC外接球的体积为π.
[解析] 如图,平面ABEF⊥平面EFDC,AF⊥EF,
所以AF⊥平面ECDF,将三棱锥A-FEC补成正方体ABC′D′-FECD.
依题意,其棱长为1,外接球的半径R=,
所以外接球的体积V=πR3=π·
()3=π.
8.(文)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°
.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
[解析]
(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°
,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.
又A1C=,则A1C2=OC2+OA,故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=.故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×
OA1=3.
(理)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°
直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.
[解析]
(1)证明:
在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°
,所以BC∥AD.
又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
故BC∥平面PAD.
(2)如图,取AD的中点M,连接PM,CM.
由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°
得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.
因为CM⊂底面ABCD,
所以PM⊥CM.
设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.
如图,取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,
所以PN=x.
因为△PCD的面积为2,
所以×
x×
x=2,
解得x=-2(舍去)或x=2.
于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.
所以四棱锥P-ABCD的体积V=×
2=4.
B组
1.(文)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(D)
A.60B.30
C.20D.10
[解析]
由三视图画出如图所示的三棱锥P-ACD,过点P作PB⊥平面ACD于点B,连接BA,BD,BC,根据三视图可知底面ABCD是矩形,AD=5,CD=3,PB=4,所以V三棱锥P-ACD=×
5×
4=10.
故选D.
(理)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(B)
A.3B.2
C.2D.2
[解析] 在正方体中还原该四棱锥,如图所示,
可知SD为该四棱锥的最长棱.
由三视图可知正方体的棱长为2,
故SD==2.
2.(2018·
宜宾一模)三棱锥A-BCD内接于半径为2的球O,BC过球心O,当三棱锥A-BCD体积取得最大值时,三棱锥A-BCD的表面积为(D)
A.6+4B.8+2
C.4+6D.8+4
[解析] 由题意,BC为直径,△BCD的最大面积为×
2=4,
三棱锥A-BCD体积最大时,AO⊥平面BCD,三棱锥的高为2,
所以三棱锥A-BCD的表面积为4×
2+2×
2×
=8+4.
3.三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC且PA=2,△ABC是边长为的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为(C)
A.B.4π
C.8πD.20π
[解析] 由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC的外接圆半径r=×
=1,外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1,所以外接球的半径R==,所以三棱锥外接球的表面积S=4πR2=8π,
故选C.
4.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为(B)
A.2B.2
C.4D.2
[解析] 如图,四面体的直观图是棱长为2的正方体ABCD-MNPQ中的三棱锥Q-BCN,且QB==2,NC=QN=QC=2,四面体Q-BCN各面的面积分别为S△QBN=S△QBC=×
2=2,S△BCN=×
2=2,S△QCN=×
(2)2=2,
面积最大为2.
5.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为(B)
A.2B.4
C.D.16
[解析] 由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC,且底面△ABC为等腰三角形,
在△ABC中AC=4,AC边上的高为2,
故BC=4,
在Rt△SBC中,由SC=4,
可得SB=4.
6.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等且=,则的值是.
[解析] 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则有2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,又=,∴=,∴=,则=()2=.
7.已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三棱锥D-ABC的体积取最大值时,其外接球的体积为π.
[解析] 当平面DAC⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积取最大值.此时易知BC⊥平面DAC,∴BC⊥AD,又AD⊥DC,∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BD,取AB的中点O,易得OA=OB=OC=OD=1,故O为所求外接球的球心,故半径r=1,体积V=πr3=π.
8.(文)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°
,AE⊥EC,三棱锥E____ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.
故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,
由∠ABC=120°
,可得AG=GC=x,
GB=GD=.
因为AE⊥EC,
所以在Rt△AEC中,可得EG=x.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.
由已知得,三棱锥EACD的体积
VEACD=×
AC·
GD·
BE=x3=.
故x=2.从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥EACD的侧面积为3+2.
(理)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.
(1)求证:
AC⊥平面BDEF;
(2)求证:
平面BDGH//平面AEF;
(3)求多面体ABCDEF的体积.
因为四边形ABCD是正方形,
所以AC⊥BD.
又因为平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,
且AC⊂平面ABCD,
所以AC⊥平面BDEF.
(2)证明:
在△CEF中,因为G、H分别是CE、CF的中点,
所以GH∥EF,
又因为GH⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,
在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF,
所以OH∥AF,
又因为OH⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H,OH,GH⊂平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
(3)解:
由
(1),得AC⊥平面BDEF,
又因为AO=,四边形BDEF的面积SBDEF=3×
2=6,
所以四棱锥A-BDEF的体积V1=×
AO×
SBDEF=4.
同理,四棱锥C-BDEF的体积V2=4.
所以多面体ABCDEF的体积V=V1+V2=8.
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