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体有长度,有宽度,还有高度。
我们对数学形家族有了初步的了解,那我们再看看数。
“数”这个家族也有很多的成员,而且互相的关系很复杂,一年级要求认识的成员叫自然数。
我们平常说到的0、1、2、3等等都是自然数。
数学学科的特点是把生活中的现实,通过思维抽象出来,用数和形两种抽象的方式来表达。
2.新课程的学习方法
(1)新课程的学习内容
①数与代数——数的世界
②空间与图形——形的世界
③统计与概率——数形世界
④实践与应用——数学世界
(2)新课程学习方法
三步过程:
①了解问题的情景
②在情景中进行数学建模
③在数学建模之后,要学会解释、应用和拓展
“问题情景”就是了解这个知识,知道它究竟是什么问题引起的。
比如,前面我们说到了“形”这个概念,这个家族是怎么来的呢?
你带着这样的问题把它弄明白,就能更好地进行点、线、面、体四个要素的建模学习。
二、建构“数学模型”时常用的数学方法
数学上比较重要的建模方法有三个:
数学表示、数学等价、数学同构。
数学表示:
就是用数字、符号来表现数学的内容。
它相当于搭积木的木块。
数学等价:
就是表现事物之间的联系,就像把积木块搭在一起。
数学同构:
相当于搭积木的整个结构。
1.数学表示
(1)数家族
①数字
阿拉伯数字:
1、2、3、4、5、6、7、8、9、0
中国记数的方式和文字:
一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、零(小写)
壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、零(大写)
罗马数字:
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ
国际通用的记数方式是阿拉伯数字。
②运算符号
掌握“+”(加号)和“-”(减号)两个符号。
③关系符号
第一个是“<
”(小于号);
尖尖的这边事物小,张口的那边事物大。
第二个是“>
”(大于号);
大的事物在符号左边,小的事物在符号右边。
第三个是“=”(等于号);
符号两边的事物完全相等。
④计数单位
一年级主要认识的是整数和自然数,这个阶段主要认识三个计数单位:
个、十、百
⑤度量单位
测量时间的单位:
时、分、秒
时:
分′秒″
货币单位:
元、角、分
(2)形家族
面:
长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形、菱形
体:
长方体、正方体、圆柱体、圆锥体
2.数学等价
(1)几组关系式
有了这些符号,怎么来表达数学之间的关系呢?
我们要掌握以下几组关系式:
①部分+部分=整体
②小数+差=大数
③加数+加数=和
④被减数-减数=差
(2)有关度量单位的关系式
1元=10角,1角=10分时间单位:
1时=60分,1分=60秒
(3)有关计数单位的关系式
一个百=10个十,一个十=10个一,一个百=100个一
理解并记住这些关系式有利于我们进行数学结构的搭建。
3.数学同构
(1)计数单位和数位
个位的计数单位是个;
排在左边的是十位,计数单位是十;
再往左边是百位,计数单位是百。
这样排出来,你就会对前面学习的数学符号与它们之间的关系有整体的了解,运用起来也就更加自如了。
计数单位
……
百
十
个
数位
百位
十位
个位
(2)度量单位
把时、分、秒按从大到小的顺序列出来,时和分的进率是60,分和秒之间的关系也是60,我们把它表示出来,这样构成一个完整的结构,便于我们理解和记忆。
把元、角、分按从大到小的顺序列出来,元和角的进率是10,角和分的进率是10,1元又等于100分,只要记住这个结构,就把我们学的零散的知识全串起来了。
(3)四组等量关系
我们把整体、部分、部分搭成一个三角形的房子,整体在上面,两个部分在下面,你们看部分和部分是加法关系,得到上面的整体,整体和部分是减法关系,得到另一部分。
用同样的方法还可以得到以下启发:
(4)对应
①数家族
数,它来源于生活,在生活中有各种各样的物品,我们都可以用一个数学符号把它表示出来,数学符号和它是对应的,当一个和一个对应的时候,称作一一对应。
在这种对应的情况下,人们在数数的时候叫做计数。
数完了用文字表达出来就是写数。
人们在数数的时候,如果数得少,就可以一个一个地数,或者两个两个地数,但是当数得多的时候,就会用更大的标准来数,比如十个十个地数,像我们说到的元、角、分那样的计数单位,或者是六十个六十个地数,像我们前面学过的时间单位,以更大的标准去数,这个规定的标准在数学上就叫单位,十个十个地数就产生了进位制,那就是十进制,进率就是10,六十个六十个地数就产生了六十进制,进率就是60。
像我们熟悉的计算机,它运行得那么快,它是2进制,两个两个地数,这些以后我们会有更深地了解。
当用一个更大更多的标准来数数的时候,那就不光是一个数位了,它就会出现多个数位,在讨论数的大小的时候,就会把它分解或者组合,这就是分解组成,产生了基数的概念。
对应着分解组成,我们还可以比较数的大小;
对应着分解和组成就产生了数位和数位的顺序;
对应着比较大小,就产生运算。
在计数、写数的时候,我们所选用的表达方式有数字的、有文字的,还有符号的,写完了还涉及到去读它。
在数这个数的时候,数10以内的数,在讨论它的分解和组成的时候,常常就一个一个单位而言的;
十以上的数,讨论它的分解组成,实际上是讨论计数单位,每个数都包含了几个计数单位。
前面的数学表示涉及到的许多概念,零零散散像积木块一样的东西,经过这样地搭建,形成了严紧的结构,有利于我们记忆和了解。
②形家族
形家族还有个好听的名字——“几何”。
我们已经知道有点、线、面、体这四个主要成员。
我们学习了三角形,也就是三边形。
它是多边形中边数最少的图形,少于三边就不能构成一个封闭式的图形了。
边数第二少的是四边形,我们认识了四种图形,有长方形、正方形、平行四边形和菱形。
我们还认识了多边形中边数最多的图形,我们可以把它叫作无数边形,它是圆形。
接下来我们看看体,体这个家族中,可以按照柱体和锥体,分为两部分。
在柱体里,有长方体、正方体和圆柱体。
锥体里,我们认识的是圆锥体。
经过这样地搭建,对数家族和形家族的成员,我们都有了一个非常清晰的了解和比较准确的认识。
三、解释应用“数学模型”时常用的数学方法
针对数与代数我们重点介绍三个方法:
分解化归、函数分析、等价变换。
针对空间与图形,我们重点介绍一种数学方法:
几何变换。
针对统计和概率,我们重点介绍一种数学方法:
统计概率。
针对实践与综合运用,我们重点介绍一种方法:
优化决策。
1.分解化归
我们在学习5以内数的时候,是从数数(方法)、读数、写数、数的分解组成、比较大小、数的加法和减法这六个方面来认识的。
那么这六个方面,就对5以内数构成了一个认识结构。
有了这样一个结构,我们在进一步学习10以内数以至于后来我们学习100以内数的时候,都可以把不同的数转化成5以内数的认识结构,从这六个方面去逐一地分析和认识它。
比如,我们曾经学过20以内进位加法,有同学这样做:
9+5=9+1+4=10+4=14
我们看他是怎么解决问题的。
首先把9+5这样的进位加法,通过分解5转化成了9+1+4的不进位加法,又进一步把它转化成数的分解组成10+4=10+1+1+1+1,最后变成了计数,也就是数数,得出结果14。
这样的过程告诉我们,把没有学过的比较复杂的内容,分解转换成我们学过的、容易的、低级的问题。
我们学习100以内的进位加法,比如说17+25的时候,也是同样的道理,把两位数的进位加法转化成了20以内的进位加法。
具体做法,有这样几种:
第一种:
把17分解成10和7,把25分解成20和5。
10+20,7+5最后变成30+12=42
这就是把两位数的进位加法转换成了两位数的不进位加法和一位数的进位加法。
第二种:
把25分解成3+22用17+3=20,20+22=42
是把进位加法转化成了20以内的不进位加法和两位数的不进位加法。
第三种:
把25分解成30-5,17+30-5=42
把进位加法转化成了两位数的不进位加法,合在一起去减一位数的加减混合运算。
第四种:
把17分解为12和5,把5+25=30,30+12=42
这也是把进位加法转化成了两位数的不进位加法,只是具体的策略不同。
第五种:
把17转化成了20-3,20+25-3=42
把两位数的进位加法转化成了两位数不进位加法再减3的加减混合运算。
这些解决办法的总体思路是把没有学过的问题转化成学过的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,这就是我们说的“分解”。
分解只是一个手段,目的是要把未知的转化成已知的,也就是转化到学过的基本概念上去,这是我们解决数学问题时最常用的方法。
2.函数分析
在数与代数这个领域的第二种数学方法是:
函数分析。
函数分析就是让我们在变化和不变化的量之间去找一种关系。
例1用圆中心的数分别减去圆周上的数将结果写在相应的空格内。
我们观察一下会发现10减1对应的空格填9,再用10分别减2、3、4、5、6、7、8、9对应的结果分别是8、7、6、5、4、3、2、1。
在这组练习中,它反映出有变化的量也有不变化的量。
通过观察,我们可以看到变化的是减数和相应的差。
而不变的是被减数,都是10。
从观察中,我们已经发现和体会了在运算中存在变化和不变的数量。
例2在空格中填上适当的数,使上下相对应的两格中数字相加的和相等。
1
10
3
8
5
6
7
4
9
2
11
格中出现的数字是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,应该填几使它们的和相等呢?
这就需要同学们去假设一个和。
在设定和的时候,根据我们目前的知识,至少应该选择出现数字当中最大的数或者比它更大的数为和。
我们就先设定这个和是12,那对应的1下面就应该填11,对应的2就填10,顺次应该填9、8、7、6、5、4、3、2,在这组数量当中,什么变了什么没变呢?
它反映出两个加数分别在变化而和没有变,这样的形式我们转换成的图像是一条逐渐向下的斜直线,那这个图像所反映的实际上就是这组数据变化的规律。
关于函数分析这种方法目前我们有这样两种体会:
就是在事物的发展中有变化的量也有不变的量,它们之间是有关系的;
我们应该注意把握的是把这种变化和不变的量表现出来的形式可以有两种,一种是我们刚才出现的图和表格的方式,另一种是把这个数写成数对在坐标图上表现出来。
3.等价变换
在数与代数这个领域的第三种数学方法是等价变换。
等价就是一一对应。
例1下面这堆几何图形,可以怎样分类?
我们看到在这个集合圈里有各种各样的图形:
圆形、三角形、长方形:
同时他们所表现出来的颜色也有不同:
有全涂黑的、有阴影的、还有白色的。
解法一:
根据这些图形的特点我们可以按照颜色把它分为三类。
在第一类中,不管是三角形、圆形、还是长方形,只要是全涂色的,都放在这个圈里,一共有6个图形。
第二类是带阴影的图形一共有6种。
第三类是白色,也是6种。
通过分类我们知道,上面的图形可以按照颜色分成三类。
解法二:
按照形状来分,也是三类。
第一类,不管它是什么颜色,只要是三角形的,就都放在这个圈里,一共有6个图形。
第二类,放长方形,有6个。
第三类,放圆形,也是6个。
通过刚才的分类方法,我们发现,不管把这些图形怎么分,最后分得的结果还是这些图形,不多一个也不少一个,分出类的每一个图形跟最后总的图形,要一个一个对应上,这就是等价变换。
由此我们知道可以用等价变换的方法帮助我们分类;
同时,等价的方法还可以帮助我们对分得结果是否正确做一个验算。
例2每种图形各有几个?
解:
三角形有12个,圆形有10个,正方形有9个,长方形有3个,梯形有1个。
(参见讲解视频)
集合圈里的图形数=35…………………………………………A
三角形+圆形+长方形+梯形=12+10+9+3+1=35…………B
A=B,正确。
由此我们可以知道,集合圈里的每一个图形,都对应着外面的一个数,这样达到了一个等价的状态说明我们的统计没有出差错。
例3把下面的动物连到合适的圈里去。
金鱼、小猫、水蛇、青蛙、乌龟、小兔、鹅
思路:
左边的集合圈填四条腿的动物,右边的集合圈填会游泳的动物,中间交叉的部分表示既有4条腿又会游泳的动物。
金鱼,应该放在会游泳的位置上。
小猫,放在四条腿的圈子里。
水蛇,应该放在会游泳这部分。
青蛙又会游泳又有四条腿,应该和乌龟一样放在中间交叉的位置当中。
小兔有四条腿但不会游泳,所以它只能放在四条腿的动物当中。
鹅会游泳但不是四条腿,所以它只能放在会游泳的圈内。
做完之后,我们应该用等价的方法检验一下,看有没有漏掉或者重复的动物,我们一看这7种动物,都分别站到了相应的位置上,构成了一个整体,他们是一一对应的,是等价变换的。
例4把10张卡片分成两类,可以怎样分?
把这十张卡片按照单数和双数分为两类:
双数有2、4、8、10、20、30这样六张。
单数有39,3,23,25这样四张。
用等价变换的方法,可以拿10-6=4。
这种计算的方法,会比数更快一些,但是有一个前提,你一定要把双数数准确。
这个过程说明,等价变换在帮助我们分类中所起的作用。
把这十张卡片,看成十以内的数和大于十的数。
按照这种标准,我们也可以把这十张卡片,分成两类。
当然,对于这道题还有不同的分法。
总之,我们可以用等价变换的方法解题和检验,把部分和部分合起来,看看和总数是否相等来保证自己做题的正确性。
例51个大苹果等于2个中苹果的重量,1个中苹果等于2个小苹果的重量。
1个大苹果等于几个小苹果的重量?
(参见讲解视频)
我们可以用等价变换的方法来推导出结果。
由图可知,1个大苹果可以换2个中苹果,1个中苹果可以换2个小苹果,如果把另1个中苹果也换成2个小苹果,也就是说1个大苹果应该是4个小苹果,答案就出来了,1个大苹果等于4个小苹果。
在这样的过程中,我们把苹果的大小进行了变换,但是有一点是不变的,那就是它们的重量都是相同的。
用中的换小的,用小的换中的,换来换去都是相等的。
这种等价变换是帮助我们进行推导和推理的重要方法。
例6括号中的算式怎么填?
可以说8+5的和与11+2的和是等价的,是相等的,都得13。
你可以这样填:
通过观察我们可以发现规律:
在和不变的条件下,一个加数增加几,另个加数就减少几,这样就能填出许多不同的算式,因为它们的和还是相等的。
由此可知,两个加数之间如何变换来保持和相等这种等价的规律。
接下来我们再来看一组题目,这组题目是减法。
这道题是一个减法题。
也可以用等价变换的方法解决。
我们观察一下两个算式之间的关系可以发现:
在差不变的条件下,被减数减少了1,从15到14,那减数也减少1,从7到6,他们的差是相等的。
用这种等价变换的方式,按照规律往下填,我们就能又快又多地填出更多的算式。
如果以14~6为标准,用减少的方式填,我们可以填出:
如果用增加的方式来填写的话,我们可以填写:
总之,用等价变换的方法,不仅可以帮助我们分类和进行验算,还可以帮助我们进行推理,同时在帮助我们进行数的运算和按规律进行填写的时候,也起到快捷方便的作用。
5.统计概率
在统计与概率这部分有一种数学方法——统计概率。
例1王丽有5分硬币一枚,2分硬币四枚,1分硬币8枚。
她要拿出8分钱去买铅笔,应怎样拿?
这个问题我们应该有序地去思考,才能把所有的答案找到。
只拿一种货币的有几种情况?
先考虑拿1分硬币的,一分一分拿,8个1分,这是一种情况。
如果只拿2分硬币呢,可以拿4个2分,这又是一种情况。
如果都拿5分的呢,那不可能拿8分钱,所以拿一种货币的情况我们考虑完了。
再考虑拿2种货币凑8分钱的情况。
在拿四个2分的基础上,我们拿1个2分换成2个1分,也就是3个2分和2个1分,这又构成了一种情况。
继续换,2个2分,4个1分,又是一种情况。
再继续拿2分换2个1分,1个2分和6个1分又构成了一种情况。
这样,用2分和1分两种货币凑出8分钱一共就有3种情况。
两个货币构成8分钱的还有5分和1分,可以有1个5分3个1分,因此,由两种货币构成8分钱的共有四种情况。
由三种货币构成8分钱的情况。
可以1个5分,1个2分,1个1分。
这样我们就把所有的情况都找到了。
通过分析我们得到用8分钱买铅笔有7种拿法。
拿法有以下几种:
①1111111
②2222
③22211
④221111
⑤2111111
⑥5111
⑦521
刚才的分析告诉我们如果用有序的分析方法,可以找到答案的所有可能性。
这种所有可能性就是我们进行统计和概率分析的基础。
例2冯吴同学买了5只鸟,准备放在五只笼子里,可能怎样放?
方法有如下几种:
(1)用1只鸟笼,5只乌全放一个笼子里。
(2)用2只鸟笼,4只鸟放在一个笼子里,另1只鸟放在另外一个笼子里:
(3)一个放2只,一个放3只,有2种情况。
(4)3只鸟笼都用上:
1个放1只,1个放1只,另1个放3只:
(5)1个放1只,1个放2只,另一个也放2只。
(6)用4只鸟笼:
三个鸟笼分别放一只,第四只鸟笼放2只。
(7)5只鸟笼都用上:
那当然一个鸟笼放1只鸟。
这样从前到后一共有7种方法。
6.优化决策
数学领域中的最后一个领域,也就是实践应用中应该掌握的数学方法是优化决策。
数学在生活中有着极为广泛的应用,在具体解决问题的时候,往往有多种解答方案,人们总是根据做某件事情要达到的目的和目标来选择合适的方案。
比如说如何效益最大,什么时候消耗最小,怎样设计更省,怎么安排最优等,这些都是优化决策所要解决的问题。
例1小丽周六上午有几件事情要做,所需时间如下:
①用洗衣机洗衣服20分钟
②用微波炉热早餐4分钟
③吃早餐10分钟
④刷牙2分钟
⑤洗脸1分钟
⑥叠被2分钟
⑦做早操10分钟
请你为她设计一个最佳利用时间方案。
如果按照顺序把这些事情都做完。
我们可以用加法算出准确的时间:
把这7个数加起来得49分钟。
但是,题目要求我们为她设计一个最佳的时间方案,即在少于49分钟的时间里完成这7件事情——这就是我们要考虑的优化问题。
找到那些可以同时做的事情是节省时间的关键。
用洗衣机洗衣服是可以同时做的;
用微波炉热早餐也可以同时做;
而吃早餐一定要在热早餐之后,这是要有顺序的;
刷牙、洗脸、叠被、做早操,这几件事情和用洗衣机洗衣服可以同时做。
所以,我们可以把她要做的7件事分成三组:
第一组就是:
洗衣服
第二组就是:
热早餐和吃早饭
第三组就是:
刷牙、洗脸、叠被、做早操
这三组事情可以同时进行。
我们再来分析一下,在第三组刷牙、洗脸、叠被、做早操这几件事情当中,我们应该怎么安排。
其中一种是:
先刷牙再叠被各用2分钟,一共4分钟。
然后吃早餐再做早操,回来洗脸。
之所以这样安排,是因为微波炉热早餐要用4分钟,而刷牙叠被也是4分钟。
在这4分钟里同时把三件事做完,正好早餐也热完了。
接着吃早餐,吃完早餐、做完早操回来可能出汗了,最后再去
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