王明慈版概率论与数理统计习题五Word文档下载推荐.docx
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xni
n
4.从总体中抽取容量为n的样本X1,…,X
,设为任意常数,为任意正数,作变换
ck
Yk(X
−c),i1,2,⋯,.
iin
证明:
(1)XY
x
c;
(2)S
k
X
Sy;
其中X及S
分别是1,…,
的样本均值及样本
方差;
及
Y
2分别是
Sy
Y1,…,Yn
的样本均值及样本方差。
1
证明
(1)
∑n
由(
−)得
Yi
XXi
ni
YikXic
Xic
1(Y)1n1Y
∴X
∑ic
∑Yi⋅ncc
ni1
kk⋅ni1nk
21∑n(
−)21∑n⎡−
−⎤
⎣⎦
SyYiY
kXi
ckXkc
(2)
1∑n
2⋅1∑n
(−)2
2⋅2
ni1
kXi
kXk
Xi
XkSx
∴Sx2
5.从总体中抽取两组样本,其容量分别为n1及n2,设两组的样本均值分别为X1及X2,
样本方差分别为
2及2,把这两组样本合并为一组容量为
S1S2
n1n2
的联合样本。
(1).联合样本的样本均值n1X1n2X2;
−1
2
−12
−2
S
(2).联合样本的样本方差
2n1S1n2S2
n1n2X1X2
S1n1X1,
n1n2−1
S2n2X2
n1n2n1n2−1
umum
(1)
Sum1Sum2
X
n1X1n2X2
∑
∑(X1
−)2(
XX2i
−)2
21i1
ii
S−1
(2)n1n2
nn
∑(−−
)2∑(
−−)2
X1X1
X1XX2iX2X2X
1i1
n1n2−1
又∑(
1−11−)
i1X
XXX
∑⎡2
2
2⎤
⎣
1−1
X1−X
X1−XX1i−X1⎦
(−
)2
−0
∑1111
XnXX
n1
−12
S1
2
n1X1−
同理∑(
2−22−)
XXXX
n2
S2n2
X2−
而n1X1−X
n2
X2−X
2−2
2
2−2
2
n1X1
X1XXn2X2
X2XX
22−2
2
n1X1
n1X1Xn1Xn2X2
n2X2Xn2X
又n1X1n2X2
n1n2
211122
2121122
∴−
n1XnXnX
⋅
nXnX
−nXnXnX
111222
nXn1n2
nnn1n2nX
化简得
n1n2
X1−X2
2
∴2n1S1n2S2
n1n2−1
n1n2n1n2−1
(
6设随机变量X,Y,Z相互独立,都服从标准正态分布N.0,1),求随机变量函数
22
2的分布函数与概率密度;
并验证§
定理1当
=3时成立,即U~
UXYZk
23
解:
X,Y,Z相互独立且都服从N(0,1),则U~
23显然
⎧1−1−u
⎪
220
P2
⎪22
⎛3⎞Ueu
fUu
⎨⎜⎟
⎪⎝⎠
⎪⎩o,
u≤0
不然,直接求U的分布函数
222
PU≤u
PX
YZ≤u
∫∫∫
f,y,z
dydz
xdx
xyz≤u
fxfyfzdxdydz
当≤0,
u
≤0
P
U
3
−y
当0,
≤
⎛1⎞x2z
uPUu
∫∫∫
⎜⎟edxdydz
xyz≤u⎝⎠
利用三重积分的性质(略)也可得到结论。
7.设随机变量
服从自由度为的
kt
分布,证明:
随机变量
YX
2服从自由度为(1,k)
的分布。
F
t
证明:
X~k,则可将X记为XU,其
V
中~N(0,1),V~2
U
k
2U
则2U1,
VV
kk
其中2~
21,V~
2
k
由F分布的定义知Y2
=
(1,k).
~F
8.设随机变量X服从自由度为k1,
k2的F分布,证明:
随机变量Y服从自由度为
k1,
k2的F分布;
从而证明等式():
F1k1,
k2
−
Fk2,k1
X~Fk1,
k2,则X可写成k,其中
∼2
1,
∼2,
VUk
k2
Vk
1k2其中
∼2,
∼2
,由F分布定义知
YXU
k1
Uk
Y∼Fk2,
k1
PXF1k1,
k21
⎠
−−
⎛11⎞
⎜⎟1−
P⎜
⎝XF1−
k2⎟
∴⎜⎟1−(1−)
XF1−
k2⎟
⎝⎠
⎛⎞
∴⎜⎟,又
P⎜Y
⎟
PYFk2,
k1
⎝F1−
k1,k2⎠
∴1
Fk2,
1−1,2
−
即
F1k1,
k2=
9.设总体X服从正态分布N
52
(1)从总体中抽取容量为64的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1
X
的概率X−
1;
(2)抽取样本容量n多大时,才能使概率X−
1达到
(1)
∵X∼N0,1
∴PX−
1P−1X−1
⎜−1
P⎜5
−1⎟
X55⎟
⎜⎟
⎜646464⎟
⎝⎠
⎛8⎞−⎛−8⎞2⎛8⎞−1
⎜5⎟⎜
5⎟⎜5⎟
PX−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2−1
⎜−−⎟
P⎜nXn⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝n⎠
2⎜n⎟−1
⎝⎠
∴⎜n⎟
⎝5⎠
∴n
n
n96
10.从正态总体N
中抽取容量为10的样本
X1,
X2…,
,
X10
∑X
10
(1)已知0,求2
1i
≥4的概率。
(2)未知,求∑(
−2的概率。
i1XX
⎛10
⎞⎛1101⎞
⎜∑2≥4
⎟⎜2∑
≥2⋅4⎟
P⎝1Xi
⎠P⎝
1Xi
⎠
又∑X∼
210
(P133,定理3)
i
∴原式=
P
210≥16
⎞⎛1101⎞
⎜∑(
−)2
⎟⎜2∑(
2⎟
110
X⎠P⎝
iX
⎠
又2∑(
−)2∼
29
(定理4P133)
iX
∴原式=P
291−
29
1−
11.设总体
X∼N
50,62,总体
Y∼N
46,42,从总体X中抽取容量为10的样本,
从总体Y中抽取容量为8的样本,求下列概率:
S2
⎛2⎞
P0X−Y8
x
P⎜⎟
⎝Sy⎠
(1)P0X−Y8P0−50−46X−Y−50−468−50−46
⎜0−50−46
X−Y−50−46
8−50−46⎟
⎟
6242
⎜⎟
⎝108108108⎠
有136定理6知,
X−50−46
∼N0,1
108
⎜X−Y−−⎟
−450464
P⎜
⎟
⎜
⎝
2⎛4
⎟
108⎠
−1
⎜⎟
⎜Sx
62
42⎟
P⎜Sx
⎟P⎜
⎟
262
⎝Sy⎜y⎟
⎝42⎠
Sx
又由P139,6∼
42
F10−1,8−1
∴原式F9,7
1−F9,71−
12.设总体
∼,
2,抽取样本
…,
,样本均值为,样本方差为
2。
若
XN
X1XnXS
再抽取一个样本
,证明:
n
统计量
=nXn1−X∼
tn
−1
与相互独立。
XXn1
nS
2,∼
⎛2
,
∼⎛,
12⎞
Xn1
N
XN⎜
⎟Xn1
n⎠
XN⎜o
n⎟
n⎠
⋅
X1−X⋅1
n⋅n
nX1−X
n11
n1
SnS
Xn1−XXn1−X
11
⋅⋅
=Xn1−X⋅nn
1S
212
n⋅
Sn−S
n
−1
−−12
∴分子Xn1X∼
1N
0,1,
nS2
∼
2
n−1133Th4
n⋅
∴nXn1−X∼
13.设总体
8,22,抽取样本
X2,…,
X10
,求下列概率:
P⎣⎦
⎡maxX1,X2,…,X1010⎤
(2)P⎡minX1,X2,…,X10≤5⎤
(1)
⎡maxX1,X2,…,X1010⎤=1-P⎡maxX1,X2,…,X1010⎤
⎣⎦⎣⎦
1−PX110,X210,…,X1010
1−PX110PX210…PX1010
)
1−⎡
(X1−810−8⎤
⎢⎣P
22⎥⎦
1−⎡110
⎣⎤⎦
1−10
(2)P⎡minX1,X2,…,X10≤5⎤1−P⎡minX1,X2,…,X105⎤
1−PX15,X25,…,X105
1−
P⎡⎣1−
PX1
5⎤10
⎦
1−⎡−
(X1−85−8⎤
⎢P22⎥
1−⎡1−−10
1−10
14.设总体X服从泊松分布P,抽取样本X1,…,X
(1)样本均值X的期望与方差;
(2)样本均值X的概率分布。
,求:
∑n
1∑n
解:
(1)
ni1
X1n1
DX2∑DXi2⋅n
ni1nn
(2)由泊松分布的可加性有:
YX1X2…Xn
P
∼⋯
�������
个
=
Pn
⎞
∴Y,则⎛
XPX
y⎟PYy
(n)y
−n
e
y0,1,2,⋯
n⎝n⎠y!
15.设总体X服从指数分布e,抽取样本X1,…,X
(1)样本均值X的期望与方差;
(2)样本方差
2的数学期望。
1
DX2
nn
2⎡1
⎢
S⎣n−1
(Xi
2⎤
⎥
−)
X⎦
⎡1(n
⎤
)
22
⎣n−1
∑Xi
nX⎦
n−1
⎡n
⎣1
2−
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