人教版八年级上册1331等腰三角形的判定和性质同步练习学习文档文档格式.docx
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,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 .
12.已知:
如图,△ABC中,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过O点的直线分别交AB、AC于点D、E,且DE∥BC.若AB=6cm,AC=8cm,则△ADE的周长为 .
13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=11,则线段MN的长为 .
14.如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论:
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;
②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;
④BD=CE.其中正确的是 .
15.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°
方向的C处,他先沿正东方向走了200m到达B地,再沿北偏东30°
方向走,恰能到达目的地C(如图),那么,由此可知,B、C两地相距 m.
三.解答题(共5小题)
16.如图,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E.
(1)求证:
DE=CE.
(2)若∠CDE=35°
,求∠A的度数.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,EF垂直平分CD,交AC于点E,交BC于点F,连结DE,求证:
DE∥AB.
18.我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系.比如,由等腰三角形的性质“等边对等角”很易得到它的判定“等角对等边”.小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后,得到如下三个猜想:
(1)如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合,则这个三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合,则这个三角形是等腰三角形;
(3)如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合,则这个三角形是等腰三角形.
我们运用线段垂直平分线的性质,很易证明猜想
(1)的正确性.现请你帮助小明判断他的猜想
(2)、(3)是否成立?
若成立,请结合图形,写出已知、求证和证明过程;
若不成立,请举反例说明.
19.如图,已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.
①AB=AD;
②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系?
并对你的猜想加以证明.
20.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°
,∠ACB=35°
,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.
△BCD为等腰三角形;
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:
BD+AD=AB+BE;
(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究
(2)中的结论是否仍然成立?
直接写出正确的结论.
参考答案与试题解析
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=72°
,根据角平分线求出∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°
,根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC,根据等腰三角形的判定推出即可.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=36°
,
∴∠ABC=∠ACB=
(180°
﹣∠A)=72°
∵BD,CE是角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=36°
,∠ACE=∠ECB=36°
∴∠A=∠ABD=∠ACE,∠DBC=∠ECB,
∴∠BDC=180°
﹣∠ACB﹣∠DBC=180°
﹣72°
﹣36°
=72°
同理∠BEC=72°
∴∠BDC=∠ACB,∠BEC=∠EBC,
∴∠EOB=180°
﹣∠BEC﹣∠EBD=180°
同理∠DOC=72°
∴∠BEO=∠BOE,∠CDO=∠COD,
即等腰三角形有△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△ABC,△EBO,△DCO,共8个,
故选:
A.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定,角平分线定义,三角形内角和定理的应用,关键是能求出各个角的度数.
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE=DE,则可求得答案.
∵ED∥BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD,
∴∠EDB=∠ABD,
∴DE=BE,
∴AE+ED+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6,
即△AED的周长为6,
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质,证得DE=BE是解题的关键,注意角平分线、平行线的性质有应用.
【分析】延长BD与AC交于点E,由题意可推出BE=AE,依据等角的余角相等,即可得等腰三角形BCE,可推出BC=CE,AE=BE=2BD,根据AC=5,BC=3,即可推出BD的长度.
延长BD与AC交于点E,
∵∠A=∠ABD,
∴BE=AE,
∵BD⊥CD,
∴BE⊥CD,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD,
∴∠EBC=∠BEC,
∴△BEC为等腰三角形,
∴BC=CE,
∵BE⊥CD,
∴2BD=BE,
∵AC=5,BC=3,
∴CE=3,
∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2,
∴BE=2,
∴BD=1.
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质,比较简单,关键在于正确地作出辅助线,构建等腰三角形,通过等量代换,即可推出结论.
【分析】过P作PF⊥OM,PE⊥ON,根据角平分线的性质得到OE=OF,∠1=∠2,根据平行线的性质得到∠1=∠3,根据直角三角形的性质即可得到结论.
过P作PF⊥OM,PE⊥ON,
∵OP平分∠MON,
∴OE=OF,∠1=∠2,
∵PQ∥OM,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3=
∠MON=15°
∴OQ=PQ,∠4=30°
∴PQ=2PE=4
∴OQ=PQ=4.
D.
【点评】本题考查了角平分线的性质,平行线的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,BD=CD,∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴(4)错误;
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴,
∴
(1)∠DEF=∠DFE;
(3)AD平分∠EDF.
C.
【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形;
等腰三角形的两个底角相等;
(简写成“等边对等角”)
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成“三线合一”).
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABD=∠EDB,得到EB=ED,根据三角形的周长公式计算即可.
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠EDB,
∴EB=ED,
∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7,
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质,掌握等角对等边是解题的关键.
【分析】根据∠A=36°
,AB=AC,BD平分∠ABC,可得△ABD与△BCD都是等腰三角形,据此判断各选项是否正确即可.
∵∠A=36°
,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=72°
∴∠C=2∠A,故(A)正确;
∴∠ABD=36°
∴∠BDC=36°
+36°
∴∠BDC=∠C,
∴BD=BC,故(B)正确;
∵∠A=∠ABD=36°
∴△ABD是等腰三角形,故(C)正确;
∵BD>CD,
∴AD>CD,
∴D不是AC的中点,故(D)错误.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理,解题时注意:
反之,有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【分析】已知条件,根据三角形内角和等于180,角的平分线的性质求得各个角的度数,然后利用等腰三角形的判定进行判断即可.
∴∠ABD=∠DBC=36°
∵DE∥AB,
∴∠EDB=∠ABD=36°
∴∠EDC=72°
=36°
∴∠DEC=180°
∴∠A=∠ABD,∠DBE=∠BDE,∠DEC=∠C,∠BDC=∠C,∠ABC=∠C,
∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形,共5个,
【点评】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质,由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键.
【分析】①以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,△BCD就是等腰三角形;
②以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,△ACE就是等腰三角形;
③以C为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点F,△BCF就是等腰三角形;
④以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点K,△BCK就是等腰三角形;
⑤作AB的垂直平分线交AC于G,则△AGB是等腰三角形;
⑥作BC的垂直平分线交AB于I,则△BCI和△ACI是等腰三角形.
如图:
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用,主要考查学生的理解能力和动手操作能力.
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB,则ED=BE,同理可得DF=FC,则EF=BE+CF,可得答案.
∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴ED=BE,
同理DF=FC,
∴ED+DF=BE+FC,
即EF=BE+FC,
B.
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定,利用平行线的性质及角平分线的定义得到ED=BE和DF=FC是解题的关键
,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 3 .
【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数,然后根据等腰三角形的判定:
等角对等边解答,做题时要注意,从最明显的找起,由易到难,不重不漏.
∴△ABC是等腰三角形,
∠ABC=∠ACB=
BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC=36°
∴在△ABD中,∠A=∠ABD=36°
,AD=BD,△ABD是等腰三角形,
在△ABC中,∠C=∠ABC=72°
,AB=AC,△ABC是等腰三角形,
在△BDC中,∠C=∠BDC=72°
,BD=BC,△BDC是等腰三角形,
所以共有3个等腰三角形.
故答案为:
3
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定,角的平分线的性质;
求得各个角的度数是正确解答本题的关键.
如图,△ABC中,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过O点的直线分别交AB、AC于点D、E,且DE∥BC.若AB=6cm,AC=8cm,则△ADE的周长为 14cm .
【分析】两直线平行,内错角相等,以及根据角平分线性质,可得△OBD、△EOC均为等腰三角形,由此把△AEF的周长转化为AC+AB.
∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC,
又∵BO是∠ABC的角平分线,
∴∠DBO=∠OBC,
∴∠DBO=∠DOB,
∴BD=OD,
同理:
OE=EC,
∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm.
故答案是:
14cm.
【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质,正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键.
13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=11,则线段MN的长为 11 .
【分析】根据平行线的性质得出∠MEB=∠EBC,∠NEC=∠ECB,根据角平分线定义得出∠MBE=∠EBC,∠NCE=∠ECB,求出∠MEB=∠MBE,∠NEC=∠NCE,推出ME=BM,EN=CN即可.
∵MN∥BC,
∴∠MEB=∠EBC,∠NEC=∠ECB,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,
∴∠MBE=∠EBC,∠NCE=∠ECB,
∴∠MEB=∠MBE,∠NEC=∠NCE,
∴ME=BM,EN=CN,
∵BM+CN=11,
∴EM+EN=11,
即MN=11,
11.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点,能求出ME=BM和EN=CN是解此题的关键.
④BD=CE.其中正确的是 ①②③ .
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质,借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB,即△BDF是等腰三角形,同理△CEF都是等腰三角形;
②利用等腰三角形的性质即可证明
③由①可得△ADE的周长为AB+AC;
④无法判断故错误;
①∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠ABF=∠CBF,
又∵DE∥BC,
∴∠CBF=∠DFB,
∴DB=DF即△BDF是等腰三角形,
同理∠ECF=∠EFC,
∴EF=EC,
∴△BDF,△CEF都是等腰三角形;
故正确.
②∵∴BDF,△CEF都是等腰三角形,
∴DF=DB,EF=EC,
∴DE=BD+EC,故正确.
③∵①△BDF,△CEF都是等腰三角形
∴BD=DF,EF=EC,
△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC;
故正确,
④无法判断BD=CE,故错误,
故答案为①②③.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质,以及三角形内角和定理解答,涉及面较广,需同学们仔细解答.
方向走,恰能到达目的地C(如图),那么,由此可知,B、C两地相距 200 m.
【分析】先求出∠BAC,再根据三角形的内角和定理求出∠C,从而得到∠BAC=∠C,然后根据等角对等边可得BC=AB.
∵B在A的正东方,C在A地的北偏东60°
方向,
∴∠BAC=90°
﹣60°
=30°
∵C在B地的北偏东30°
∴∠ABC=90°
+30°
=120°
∴∠C=180°
﹣∠BAC﹣∠ABC=180°
﹣30°
﹣120°
∴∠BAC=∠C,
∴BC=AB=200m.
200.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,方向角的定义,根据角的度数求出∠BAC=∠C是解题的关键,也是本题的难点.
【分析】
(1)根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD,由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD,进而可得出∠EDC=∠ECD,再利用等角对等边即可证出DE=CE;
(2)由
(1)可得出∠ECD=∠EDC=35°
,进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°
,再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数.
【解答】
(1)证明:
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠BCD=∠ECD.
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,
∴∠EDC=∠ECD,
∴DE=CE.
(2)解:
∵∠ECD=∠EDC=35°
∴∠ACB=2∠ECD=70°
.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠A=180°
﹣70°
=40°
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线,解题的关键是:
(1)根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD;
(2)利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°
【分析】根据垂直平分线的性质可知∠EDC=∠C,再由等腰三角形的性质即可得出∠EDC=∠B.从而可知DF∥AB.
【解答】证明:
∴∠B=∠C.
∵EF垂直平分CD,
∴ED=EC.
∴∠EDC=∠C.
∴∠EDC=∠B.
∴DE∥AB.
【点评】本题考查等腰三角形以及垂直平分线的性质,解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质,本题属于基础题型.
(2)首先根据命题写出已知,求证,然后根据题意,推出△CAD≌△BAC,即可推出AB=AC,(3)首先根据命题写出已知,求证,画出图形,然后,作出辅助线作DE⊥AC,DF⊥AB,根据条件推出Rt△CED≌Rt△BFC,即可推出∠B=∠C,根据△ABC内,等角对等边,即可推出AB=AC.
(2)、(3)都正确.
(2)已知:
在△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,
求证:
AB=AC(1分)
证明:
∵AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠ADB=∠ADC=90°
,∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△CAD≌△BAC(ASA)(4分)
∴AB=AC,
(3)已知:
在△ABC中,CD=BD,AD平分∠BAC,
AB=AC(5分)
作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分
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