解析几何中角平分线问题的解法Word文件下载.doc
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图1
2.∠CAD=∠BAD;
3.;
当然,包含变形的形式,如:
等。
4.(对称性)点C关于AD
的对称点在AB上(或其延长线上);
点B关于AD的对称点在AC上(或其延长线上)。
在具体问题中,必须根据实际情况使用不同的性质。
【例1】设M是椭圆上一点,F1,F2为左、右焦点,I是△MF1F2的内心,直线MI交轴于N点,则等于
(A)(B)(C)(D)
如果只关心答案,根据选择题的特点可考虑特殊情况:
取M与椭圆短轴顶点重合,就能迅速得出选B.
注意到本题是求一个比值,联想到性质3是十分自然的,但要充分注意三角形MF2N中也能利用性质3,况且求想到三角形MF2N也很正常。
如果目光只集中在△MF1F2上,则难以取得进展。
详细解题过程如下:
M
N
I
F1
F2
图2
解法1:
如图2,∵I是△MF1F2的内心,∴MN是∠F1MF2的平分线,
∴,
连结F2I,同样有F2I是∠MF2N的平分线,于是有
=,
根据比例的性质,由,
得=,
所以=,选B.
还可更灵活一些,对性质1进行深层的应用。
为例使图形更加清楚,我们取出△MF1F2,如图3,作IA⊥F1F2于A,MB⊥F1F2于B,连结F2I,F2I,由点I到三角形三边的距离相等,用面积法得出相应的关系。
解法2:
作IA⊥F1F2于A,MB⊥F1F2于B,连结IF1,IF2,
因I是△MF1F2的内心,所以I到△MF1F2各边的距离都相等,且都等于IA,设,由
,得
︱F1F2︱×
︱MB︱=︱F1F2︱×
m+︱MF1︱×
m+︱MF2︱×
m
即,所以,
图3
因△IAN∽△MNB,所以=.
解法2是建立在椭圆的定义上,否则面积法就无用武之地。
【例2】已知P为双曲线上一动点,F1,F2是双曲线的焦点,自F2作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为Q,则Q点的轨迹是
P
Q
图4
(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)圆
解:
如图5,延长F2Q与PF1交于点A,因F2Q⊥PQ,且PQ是∠F1PF2平分线,所以︱PA︱=︱PF2︱,︱QA︱=︱QF2︱(这里实际上应用了角平分线的对称性),
根据双曲线的定义,︱PF1︱-︱PF2︱=,于是有︱PF1︱-︱PA︱=,即︱AF2︱=,
连结OQ,在△AF1F2中,由︱QA︱=︱QF2︱,︱F1O︱=︱OF2︱,得OQ∥AF1,且︱OQ︱=︱AF2︱=×
因此Q点的轨迹是以O为圆心,为半径的圆。
图5
这种解法利用了性质4以及双曲线的定义,它的主要思想是通过对称把长度进行转换(本题中的︱PA︱=︱PF2︱),这种方法应用比较普遍。
图6
注:
在椭圆中有类似的结论:
设P是椭圆上的一个动点,自F2作△PF1F2外角平分线的垂线(如图6),垂足为Q,则Q点的轨迹是圆。
【例3】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(-4,-7),C(-2,-2),求角A的平分线的长。
如图7,设AD为角A的平分线,
A(2,1)
B(-4,-7)
C(-2,-2)
图7
︱AB︱=,
︱AC︱=,
由角平分线的性质得
,
即点D分所成的比为2,设D(),则
所以角A的平分线的长为︱AD︱=.
如果不按上述方法,计算量将比较大。
【例4】如图8,给出定点A()()和直线,B是直线上的动点,∠BOA的平分线交AB于C,求C点的轨迹。
设B(-1,),则直线
图8
OB的方程为,设
点C(),由OC平分∠BOA
可知,C到OA和OB的距离相等,
C到OA的距离为,C到
OB的距离为,于是有
=…………①
又点C在直线AB上,所以…………②
①,②中消去得
,
当时,
当由②得,此时点C为(0,0),满足,
因此C点的轨迹方程为.
这是利用性质1,还可用性质2,性质2最直接的形式就是“到角公式”或“夹角公式”。
我们用用到角公式给出简解。
,,
由得
,再利用C在直线AB上,得,
消去得.
类似的例子很多,这里就不再展开了,掌握这类题目解法的关键是多进行转化,对各种方法多进行比较,然后选择最简单的解法。
总之,思路一定要开阔。
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