名师整理最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案.docx
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名师整理最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案
中考数学人教版专题复习:
角平分线定理
考点考纲要求分值考向预测
本类问题主要考查填空、选
1. 理解并掌握角平线定义、角
择题,内容以角平分线定理
角平分
3~5
平分线定理及逆定理;
为主,难度不大,各省市题
定理
分
2. 应用定理解决问题。
量也不多,但要注意在综合
性问题中应用这一知识点。
考点精讲
1. 角平分线的定义:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条
射线叫做这个角的角平分线。
2. 三角形的角平分线定义:
三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段,
叫三角形的角平分线。
【重要提示】
① 三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。
角的平分线是射线。
1
② 三角形的 三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。
3. 角平分线定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(利用全等三角形进行证
明 ASA)
4. 角平分线定理的逆定理:
在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的
点在这个角的角平分线上。
【方法指导】
1. 三角形的三条内角平分线交于一点,并且到三条边的距离相等。
有时候做三角形面积
问题时经常使用。
2. 当题目中有角的平分线时,可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平
分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
3. 有角平分线考虑向角两边作垂线。
4. 三角形中有时候从内角平分线作垂线,有时候作外角平分线,注意区分。
【随堂练习】
如图,在△ ABC 中,∠C=90° ,AB=10,AD
ABC 的一条角平分线。
若 CD=3,则
△ ABD 的面积为。
2
答案:
解:
作 DE⊥AB 于 E。
∵ AD 平分∠ BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴ DE=CD=3。
∴ △ ABD 的面积为 1 ×3×10=15 。
故答案是 15。
2
思路分析:
要求 △ ABD 的面积,现有 AB=7 可作为三角形的底,只需求出该底上的高
即可,需作 DE⊥AB 于 E。
根据角平分线的性质求得 DE 的长,即可求解。
典例精析
例题 1如图,AD
ABC 中∠ BAC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,
ABC=7,DE=2,
AB=4,则 AC 长是()
A. 3B. 4C. 6D. 5
思路分析:
过点 D 作 DF⊥AC 于 F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
DE=DF,再根据 S△ ABC=S△ ABD
ACD 列出方程求解即可。
3
答案:
解:
如图,过点 D 作 DF⊥AC 于 F,
∵ AD
ABC 中∠ BAC 的角平分线,DE⊥AB,∴ DE=DF,
由图可知,
ABC
ABD
ACD,∴
1 1
2 2
技巧点拨:
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的
关键。
∠
例题 2如图,三角形 ABC 中, A 的平分线交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC,DF⊥AB,
垂足分别为 E、F,下面四个结论:
①∠ AFE=∠ AEF;②AD 垂直平分 EF;③
S
S
∆BFD =
∆CED
BF
CE
;④EF 一定平行 BC。
其中正确的是()
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
∠
思路分析:
由三角形 ABC 中, A 的平分线交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC,DF⊥AB,
4
根据角平分线的性质,可得 DE=DF,∠ ADE=∠ ADF,又由角平分线的性质,可得 AF=AE,
继而证得①∠ AFE=∠ AEF;又由线段垂直平分线的判定,可得②AD 垂直平分 EF;然后利
用三角形的面积公式求解即可得③ S
S
∆BFD =
∆CED
BF
CE
。
答案:
解:
① ∵ 三角形 ABC 中,∠ A 的平分线交 BC 于点 D,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴ ∠ ADE=∠ ADF,DF=DE,∴ AF=AE,∴ ∠ AFE=∠ AEF,故正确;
② ∵ DF=DE,AF=AE,
∴ 点 D 在 EF 的垂直平分线上,点 A 在 EF 的垂直平分线上,∴ AD 垂直平分 EF,故正确;
11SBF
22SCE
∆CED
④ ∵ ∠ EFD 不一定等于∠ BDF,∴ EF 不一定平行 BC。
故错误。
故选 A。
技巧点拨:
此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。
此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用。
例题 3 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC= BC=1,AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,
DE⊥AB 于点 E
DBE 的周长为()
A. 2B. 1+2C.2D. 无法计算
5
证
思路分析:
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,再利用 “HL” 明
Rt△ ACD 和 Rt△ AED 全等,根据全等三角形对应边相等可得 AC=AE,然后求出△ DBE 的
周长=AB,再利用勾股定理列式求出 AB,即可得解。
答案:
解:
∵ AD 平分∠ BAC,∠ C=90°,DE⊥AB,∴ CD=DE,
在 Rt△ ACD 和 Rt△ AED 中,AD=AD,CD=DE,∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AED(HL),∴ AC=AE,
△ DBE 的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB,
∵ ∠ C=90°,AC=BC=1,∴ AB=
12 12 = 2 ,∴ △ DBE 的周长= 2 。
故选 C。
技巧点拨:
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定
与性质,勾股定理的应用,熟记性质并求出△ DBE 的周长=AB 是解题的关键。
提分宝典
相似三角形中的角平分线定理 [
定理内容:
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比
例。
如:
在△ ABC 中,AM 平分∠ BAC,则 BM:
CM=AB:
AC。
6
定理证明:
(1)面积法证明:
过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,MF⊥AC 于点 F,过点 A 作 AD⊥BC
于 D,
∵ AM 平分∠ BAC,ME⊥AB,MF⊥AC,∴ ME=MF
11
ABM
ABM
1 1
2 2
∵ AD⊥BC,∴ S
△ ABM
1 1
ABM
1 1
2 2
(2)相似法证明:
过点 C 作 CN∥ AB 交 AM 的延长线于 N
ABM∽ △ NCM,
∴ AB:
NC=BM:
CM;
7
又可证明∠ CAN=∠ ANC,∴ AC=CN,∴ AB:
AC=MB:
MC。
同学们掌握这个定理可以快速解决线段比的问题。
角平分线定理练习题
1. 已知,Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,若 BC=32,且 BD:
CD=9:
7,则 D 到 AB 的距离为()
A. 18B. 16C. 14D. 12
2.
ABC 中,∠ BAC= 90°,AB=3,AC=4 ,AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,则 BD 的长
8
为()
151220
A.B.C.D.
757
21
5
3. 如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,∠ B=30°,以 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB、
AC 于点 M 和 N,再分别以 M、N 为圆心,大于 1 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,连
2
接 AP 并延长交 BC 于点 D,则下列说法中正确的个数有()
① AD 是∠ BAC 的平分线; ② ∠ ADC=60°; ③点 D 在 AB 的中垂线上; ④S△ DAC:
ABC=1:
3。
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
4. 如图,AD
ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG
ADG
AED 的
面积分别为 50 和 39,则△ EDF 的面积为()
A. 11B. 5.5C. 7D. 3.5
9
5. 如图,△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线 CE 与内角∠ ABC 平分线 BE 交于点 E,若
∠ BAC=70°,则∠ CAE=。
.
6. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,对角线 AC、 BD 相交于点 O,AE 平分∠ BAC
交 BD 于点 E,则 BE 的长为。
7. 如图,Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AD 平分∠ CAB,DE⊥AB 于 E,若 AC=6 ,BC=8,CD=3。
(1)求 DE 的长;
(2
ADB 的面积。
10
11
试题答案
1. C解析:
∵ BC=32,BD:
DC=9:
7∴ CD=14;
∵ ∠ C=90°,AD 平分∠ BAC,∴ D 到边 AB 的距离 CD=14。
故选 C。
2. A 解析:
∵ ∠ BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴ BC= AB2 + AC 2 = 32 + 42 =5,∴ BC 边上的高=3×4÷5= 12 ,
5
∵ AD 平分∠ BAC,∴ 点 D 到 AB、AC 上的距离相等,设为 h,
11
2 2 ×4h= 2 ×5×
12 12
11211215
27 =
3. D解析:
① 根据作图的过程可知,AD 是∠ BAC 的平分线。
故①正确;
② 如图,∵
ABC 中,∠ C=90°,∠ B=30°,∴ ∠ CAB=60°。
又 ∵ AD 是 ∠ BAC 的 平分线, ∴ ∠ 1=∠ 2= 1 ∠ CAB=30° , ∴ ∠ 3=90°-∠ 2=60° , 即
2
∠ ADC=60°。
故②正确;
③ ∵ ∠ 1=∠ B=30°,∴ AD=BD,∴ 点 D 在 AB 的中垂线上。
故③正确;
④如图,在直角△ ACD 中,∠ 2=30°,∴ CD= 1
12
1
224
1133
22 AC• 2 AD=
13
DAC
综上所述,正确的结论是:
①②③④,共有 4 个。
故选 D。
4. B解析:
作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN⊥AC 于点 N,∵ DE=DG,∴ DM=DG,
∵ AD
ABC 的角平分线,DF⊥AB,∴ DF=DN,
在 Rt△ DEF 和 Rt△ DMN 中,DN=DF,D M=DE,∴ Rt△ DEF≌ Rt△ DMN(HL),
MDG
2
2 ×11=5.5。
故选 B。
5. 55°解析:
过点 E 作 EF⊥BD 于点 F,作 EG⊥AC 于点 G,作 EH⊥BA 于点 H,
13
∵ △ ABC 的外角∠ ACD 的平分线 CE 与内角∠ ABC 平分线 BE 交于点 E,
∴ EH=EF,EG=EF,∴ EH=EG,∴ AE 是∠ CAH 的平分线,
∵ ∠ BAC=70°,∴ ∠ CAH=110°,∴ ∠ CAE= 1 ∠ CAH=55°。
故答案为 55°。
2
6. 2 2 -2解析:
过点 E 作 EM⊥AB 于 M,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AO⊥BD,AO=OB=OC=OD,
则由勾股定理得:
2AO2=22,AO=OB= 2 ,
∵ EM⊥AB,BO⊥AO ,AE 平分∠ CAB,∴ EM=EO,由勾股定理得:
AM=AO= 2 ,
∵ 正方形 ABCD,∴ ∠ MBE=45°=∠ MEB,∴ BM=ME=OE,
在 Rt△BME 中,由勾股定理得:
2ME2=BE2,即 2(2- 2 )2=BE2,BE=2 2 -2,
故答案为 2 2 -2。
7. 解:
(1)∵ AD 平分∠ CAB,DE⊥AB,∠ C=90°,∴ CD=DE,
14
∵ CD=3,∴ DE=3;
(2)在 Rt△ ABC 中,由勾股定理得:
AB= AC 2 + BC 2 = 62 + 82 =10 ,
∴ △ ADB 的面积为 S
△ ADB=
1 1
2 2
15
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