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旋转与圆复习讲义
第三单元旋转
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
2、性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征(3分)
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)
第四单元圆
一、圆的相关概念
1、圆的定义
在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”
二、弦、弧等与圆有关的定义
(1)弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)
(2)直径
经过圆心的弦叫做直径。
(如途中的CD)
直径等于半径的2倍。
(3)半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(4)弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“
”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
三、垂径定理及其推论
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为:
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。
推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论
1、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3:
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:
d 点P在⊙O内; d=r 点P在⊙O上; d>r 点P在⊙O外。 八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件) 圆内接四边形对角互补。 九、反证法 先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交: 直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切: 直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: 直线l与⊙O相交 d 直线l与⊙O相切 d=r; 直线l与⊙O相离 d>r; 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么 两圆外离 d>R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r 两圆内切 d=R-r(R>r) 两圆内含 d 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。 一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。 十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式 n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 2、扇形面积公式 其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径。 2、弦切角定理 弦切角: 圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角。 弦切角定理: 弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即: ∠BAC=∠ADC 3、切割线定理 PA为⊙O切线,PBC为⊙O割线, 则 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.下面图形 中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 2.下列图形中,是中心对称图形的有() A.4个B.3个C.2个D.1个 3.在平面直角坐标系 中,已知点 ,若将 绕原点 逆时针旋转 得到 , 则点 在平面直角坐标系中的位置是在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 4.已知 ,则点 ( )关于原点的对称点 在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.已知点 、点 关于原点对称,则 的值为( ) A.1 B.3 C.-1 D.-3 6.如图24—A—4,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠B=60°,则∠A等于() A.80°B.50°C.40°D.30° 7.如图24—A—5,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为() A.5B.7C.8D.10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是() A. B. C. D. 9.如图24—A—6,两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是() A.16πB.36πC.52πD.81π 10.已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC的内切圆的半径为() A. B. C.2D.3 11.如图24—A—7,两个半径都是4cm的圆外切于点C,一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这8段路径上不断爬行,直到行走2006πcm后才停下来,则蚂蚁停的那一个点为() A.D点B.E点C.F点D.G点 二、填空题(每小题3分,共30分) 12.如图24—A—8,在⊙O中,弦AB等于⊙O的半径,OC⊥AB交⊙O于点C,则∠AOC=。 13.如图24—A—9,AB、AC与⊙O相切于点B、C,∠A=50゜,P为⊙O上异于B、C的一个动点,则∠BPC的度数为。 14.已知⊙O的半径为2,点P为⊙O外一点,OP长为3,那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为。 15.一个圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积是。 16.扇形的弧长为20πcm,面积为240πcm2,则扇形的半径为cm。 17.如图24—A—10,半径为2的圆形纸片,沿半径OA、OB裁成1: 3两部分,用得到的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的底面半径分别为。 18.在Rt△ABC中,∠C=90゜,AC=5,BC=12,以C为圆心,R为半径作圆与斜边AB相切,则R的值为。 19.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为。 20.已知扇形的周长为20cm,面积为16cm2,那么扇形的半径为。 21.如图24—A—11,AB为半圆直径,O为圆心,C为半圆上一点,E是弧AC的 中点,OE交弦AC于点D。 若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为cm。 三、作图题(7分) 22.如图24—A—12,扇形OAB的圆心角为120°,半径为6cm. ⑴请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹). ⑵若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝),求圆锥的底面积. 四.解答题(23小题8分、24小题10分,25小题12分,共30分) 23.(8分)如图所示,网格中有一个四边形和两个三角形. (1)请你画出三个图形关于点 的中心对称图形; (2)将 (1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请你写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合? ⌒ 24.如图24—A—14,已知⊙O的半径为8cm,点A为半径OB的延长线上一点,射线AC切⊙O于点C,BC的长为 ,求线段AB的长。 25.已知: △ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。 (1)如图24—A—15,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况): ①;②;③。 (2)如图24—A—16,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证: EF是⊙O的切线。 一、选择题 1.C2.D3.C4.D5.D6.D7.D8.B9.B10.A11.A 二、填空题 12.30゜13.65゜或115゜14.1或515.15π16.24 17. 18. 19.820.2或821.3 三、作图题 22. (1)提示: 作∠AOB的角平分线,延长成为直线即可; (2)∵扇形的弧长为 ,∴底面的半径为 ,∴圆锥的底面积为 。 23.解: (1)如图所示. (2)2条对称轴,这个整体图形至少旋转 . 24.解: 设∠AOC= ,∵BC的长为 ,∴ ,解得 。 ∵AC为⊙O的切线,∴△AOC为直角三角形,∴OA=2OC=16cm,∴AB=OA-OB=8cm。 25. (1)①BA⊥EF;②∠CAE=∠B;③∠BAF=90°。 (2)连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD, 则AD为⊙O的直径,∴∠D+∠DAC=90°。 ∵∠D与∠B同对弧AC,∴∠D=∠B, 又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE, ∴∠DAC+∠EAC=90°, ∴EF是⊙O的切线。
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