周矶中学圆的证明与计算第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算.doc
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圆的证明与计算
第1问证切线(连半径证垂直)第2问计算
1.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.
(1)求证:
直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
【答案】
(1)证明:
连接OB、OP
∵且∠D=∠D,∴△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。
∴BC∥OP。
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO。
∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA,OP=OP,∴△BOP≌△AOP(SAS)。
∴∠PBO=∠PAO。
又∵PA⊥AC,∴∠PBO=90°。
∴直线PB是⊙O的切线。
(2)由
(1)知∠BCO=∠POA。
设PB,则BD=,
又∵PA=PB,∴AD=。
又∵BC∥OP,∴。
∴。
∴。
∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。
【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。
【分析】
(1)连接OB、OP,由,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°。
(2)设PB,则BD=,根据切线长定理得到PA=PB,根据勾股定理得到AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到,则,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=2。
(1)求证:
BM是⊙O2的切线;
(2)求的长。
【答案】解
(1)证明:
连结O2B,
∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°。
∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2,∴∠O1O2B=60°。
∵AB=2,∴BN=,∴O2B=2。
∴===。
【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。
【分析】
(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出∠MBO2=90°从而得出结论:
BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2,则∠O1O2B=60°,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。
3.(2012浙江省义乌市,20,8分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:
AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【解析】
(1)根据相等的弧长对应的圆周角相等,得∠ABC=∠D=60°。
(2)直径对应的圆周角为直角,则由三角形内角和为180°,得出∠BAC的大小,继而得出∠BAE的大小为90°,即AE是⊙O的切线。
(3)由题意易知,△OBC是等边三角形,则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。
3.解:
(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠D=60°…………2分
(2)∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°……………………………………3分
∴∠BAC=30°
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°…………………4分
即BA⊥AE
∴AE是⊙O的切线…………………………………………………………5分
O
A
B
C
D
E
(3)如图,连结OC
∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=4,∠BOC=60°
∴∠AOC=120°…………………7分
∴劣弧AC的长为…………………………………………8分
【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系,及三角形的内角和为180°。
相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等.
4.(2012年浙江省宁波市,23,8)如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
【解析】1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.
连接OF.
∵sinA=,∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4,∴AO=2OE=8,
∴AE=4,∠AOE=60°,∴AB=12,
23题图
∴BC=AB=6AC=6,
∴CE=AC-AE=2.
∵OB=OF,∠ABC=60°,∴△OBF是正三角形.
∴∠FOB=60°,CF=6-4=2,∴∠EOF=60°.
∴S梯形OECF=(2+4)×2=6.
S扇形EOF=60π×42÷360=π`
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF6-π`
【答案】
(1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.
(2)6-π`
【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算,解题的关键是连接圆心和切点,利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线.
5.(2012山东省聊城,24,10分)如图,⊙O是△ABC外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是弧上一动点,过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.
(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?
说明理由.
(2)当DP是⊙O的切线时,求DP的长.
解析:
(1)根据PD//BC,可以天加辅助线由切线判定定理解题;
(2)根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r,再结合△ABE∽△ADP即可.
解:
(1)当P是BC中点时,DP是⊙O的切线.理由如下:
∵AB=AC,∴
又
∴PA是⊙O的直径.
又AB=AC,∴PA⊥BC.
∵DP//BC,∴PD⊥AP.
∴DP是⊙O的切线.
(2)连接OB,设PA交BC于点E.
由垂径定理得,BE=.
在Rt△ABE中,据勾股定理,.
设⊙O的半径为r,则OE=8-r.
在Rt△OBE中,.
解得r=.
∵DP//BC,∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1,∴△ABE≌△ADP.
,即,
∴DP=
点评:
本题是一道综合试题,以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等,解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识,达到灵活解决问题.
6.(2012山东德州中考,21,10,)如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直径BC=2,,垂足为D,连接BE交AD于F,过A作∥BE交BC于G.
(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)求线段AF的长.
A
B
C
E
D
F
G
O
21.【解析】
(1)由题意可知点A是弧BE的中点,由垂径定理即可得出:
OA⊥BE,又∵AG∥BE,∴OA⊥AG.所以AG和⊙O的半径垂直,直线AG与⊙O的位置关系相切.
(2)要求AF的长,先由已知得出△AOB为等边三角形;在求出AD、BD的长,在Rt△BDF中由三角函数求出DF的值,然后求出AF=ADDF.
解:
(1)AG与⊙O相切.………………………………(1分)
A
B
C
E
D
F
G
O
证明:
连接OA,∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴弧BA、AE、EC相等,
∴点A是弧BE的中点,
∴OA⊥BE.
又∵AG∥BE,
∴OA⊥AG.
∴AG与⊙O相切.………………………………(5分)
(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°.
又OA=OB,
∴△ABO为正三角形.……………………………(6分)
又AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=,AD=.………………………………(8分)
又∠EBC==30,
在Rt△FBD中,FD=BDtan∠EBC=BDtan30°=,
∴AF=ADDF=-=.………………………………(10分)
【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识,垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一,需要重点掌握次知识.
7.(2012山东省临沂市,23,9分)如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=600,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:
AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长。
【解析】
(1)证明AP是⊙O的切线,连接OA,只需证明半
径与直线的夹角是900,即∠PAO=900便可。
(2)CD是⊙O的直径,∴连接AD,∠ADC=900,又∠B
=600,AC=3,应用三角函数可求得PD=AD=AC∙tan300=.
解:
(1)证明:
连接OA,∵∠B=600,∠AOC=2∠B=1200,
∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,
又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=300,∴∠OAP=900,即OA⊥AP,
∴AP是⊙O的切线;
(2)CD是⊙O的直径,连接AD,∴∠CAD=900,
∴AD=AC∙tan300=.
∵∠ADC=∠B=600,∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD,
∴PD=AD=.
【点评】本题考查了切线的判定与性质:
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用.要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
8.(2012北京,20,5)已知:
如图,是的直径,是上一点,于点,过点作的切线,交的延长线于点,连结.
(1)求证:
与相切;
(2)连结并延长交于点,若,求的长.
【解析】圆与直线的位置关系;相似和三角函数
【答案】
(1)证明:
连结OC
∵OD⊥BC
所以∠EOC=∠EOB
在△EOC和△EOB中
∴△EOC≌△EOB (SAS)
∴∠OBE=∠OCE=90°
∴BE与⊙O相切
(2)解:
过点D作DH⊥AB
∵△ODH∽△OBD
∴OD:
OB=OH:
OD=DH:
BD
又∵sin∠ABC=
∴OD=6
∴OH=4,OH=5,DH=2
又∵△ADH∽△AFB
∴AH:
AB=DH:
PB
13:
18=2:
FB
∴FB=
【点评】
(1)利用全等三角形求出角度为90°,即得到相切的结论。
(2)利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。
9.(2012浙江省温州市,22,10分)如图,△ABC中,,D是边AB上一点,且是BC边上的一点,以EC为直径的经过点D。
(1)求证:
AB是的切线;
(2)若CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长。
【解析】欲证AB是的切线,只需证明OD⊥AB.欲求BD的长,只需利用特殊的三角函数值或勾股定理即可。
【答案】
(1)证明:
连结OD,
∵∠DOB=2∠DCB,
又∵∠A=2∠DCB,∴∠A=∠DOB.
∴∠A+∠B=90°,∴∠BDO=90°,
∴OD⊥AB,
∴AB是⊙O的切线.
(2)解法一:
过点O作OM⊥CD于点M,
∵OD=OE=BE=BO,∠BDO=90°,
∴∠B=30°,∴∠DOB=60°,
∴∠DCB=30°,∴OC=2OM=2,
∴OD=2,BO=4,∴BD=
解法二:
过点O作OM⊥CD于点M,连结DE,
∵OM⊥CD,∴CM=DM.
又∵OC=OE,∴DE=2OM=2,
∵Rt△BDO中,OE=BE,∴,
∴BO=4,∴OD=OE=2,∴BD=
【点评】本题涉及到圆的切线性质,勾股定理等知识考查.本题运用圆的切线性质是关键,圆的切线是圆的重点内容之一,也是中考考点内容之一,该题难度较小.
10.(2012湖北襄阳,25,10分)如图11,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求证:
直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
图11
A
C
B
D
E
F
O
P
【解析】
(1)要证PA是⊙O的切线,只要连接OB,再证∠PAO=∠PBO=90°即可.
(2)OD,OP分别是Rt△OAD,Rt△OPA的边,而这两个三角形相似且这两边不是对应边,所以可证得OA2=OD·OP,再将EF=2OA代入即可得出EF,OD,OP之间的等量关系.(3)利用tan∠F=,得出AD,OD之间的关系,据此设未知数后,根据AD=BD,OD=BC=3,AO=OC=OF=FD-OF,将AB,AC也表达成含未知数的代数式,再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解.
【答案】解:
(1)证明:
如下图,连接OB,
∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°.
∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.
又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO.
∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.
A
C
B
D
E
F
O
P
(2)EF2=4OD·OP.
证明:
∵∠PAO=∠PDA=90°,
∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴=,即OA2=OD·OP.
又∵EF=2OA,∴EF2=4OD·OP.
(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3.
设AD=x,∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x-3.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x-3)2=x2+32.
解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).
AD=4,OA=2x-3=5.
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.
而AC=2OA=10,BC=6,
∴cos∠ACB==.
∵OA2=OD·OP,
∴3(PE+5)=25.
∴PE=.
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,综合性很强,并富有探究性.要证某线是圆的切线,若已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可;若此线与圆的切点未知,可以过圆心作这条直线的垂线段(即为垂直),再证半径即可.另外,与圆有关的探究、计算问题,多与相似三角形和勾股定理有关,上来从这方面着手分析思考,有利于思路的快速打开.
11.(2012·湖北省恩施市,题号23分值12)如图11,AB是⊙O的弦,D是半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于F,且CE=CB。
(1)求证:
BC⊙O是的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径。
【解析】
(1)连接OB,证OB⊥BC,即证∠OBE+∠EBC=90°。
通过OA=OB,CE=CB,∠AED=∠BEC,可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED,结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°;
(2)连接OF,由CD垂直平分OA得AF=OF=OA,再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数;,∴
(3)作CG⊥BE于G,得∠A=∠ECG,CG是BE垂直平分线,由CD=15,BE=10,sinA=,可求EG、CE、CG、DE长度,通过△ADE∽△CGE可求AD,从而计算半径OA。
【答案】
(1)证明:
连接OB。
∵OA=OB,∴∠A=∠OBE。
∵CE=CB,∴∠CEB=∠EBC,∵∠AED=∠EBC,∴∠AED=∠EBC,又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°,∴BC⊙O是的切线;
(2)∵CD垂直平分OA,∴OF=AF,又OA=OF,∴OA=OF=AF,∴∠O=60°,∴∠ABF=30°;
(3)作CG⊥BE于G,则∠A=∠ECG。
∵CE=CB,BD=10,∴EG=BG=5,∵sinECG=sinA=,∴CE=13,CG=12.又CD=15,∴DE=2。
∵ADE∽△CGE,∴,即,∴AD=,∴OA=,即⊙O的半径是。
【点评】本题将多个知识点结合在一起,问题设计层层递进,梯度鲜明,是一道中档偏上的题,有一定区分度.我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形,以及在不能直接根据已知条件解决问题时,要学会运用转化的思想。
12、(2012甘肃兰州,26,10分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连结DE、OE。
第26题图
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)求证:
BC2=2CD·OE;
(3)若tanC=,DE=2,求AD的长.
解析:
(1)连接OD,BD,求出∠ADB=∠BDC=90°,推出DE=BE=CE,推出∠EDB=∠EBD,∠OBD=∠ODB,推出∠EDO=∠EBO=90°即可;
(2)由题意可得OE是△ABC的中位线,即AC=2OE,易证△ABC∽△BDC,可得BC2=CD·AC,把AC=2OE代入即可;
(3)由tanC=,可设BD=,CD=2x,在Rt△BCD中,由勾股定理得出,求出x,求出BD,再根据tan∠ABD=tanC求出,代入求出即可.
解:
(1)DE与⊙O相切.理由如下:
连接OD,BD
∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E是BC的中点,∴DE=BE=CE.
∴∠EBD=∠EDB.
∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB.
∴∠EDO=∠EBO=90°.(用三角形全等也可得到)
∴DE与⊙O相切.
(2)由题意可得OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE
∵∠ABC=∠BDC=90°,∴∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC
∴,即BC2=CD·AC(另:
用射影定理直接得到也可)
∴BC2=2CD·OE
(3)∵tanC=,可设BD=,CD=2x,
∵在Rt△BCD中,BC=2DE=4,BD2+CD2=BC2
∴()2+(2x)2=16,解得:
x=±(负值舍去)
∴BD==
∵∠ABD=∠C,∴tan∠ABD=tanC
∴
答:
AD的长是.
点评:
本题综合考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线性质,切线的判定等知识点,主要培养学生分析问题和解决问题的能力,注意:
①证切线的方法,②方程思想的运用.
13.(2012贵州遵义,24,分)如图,△OAC中,以O为圆心,OA为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足为O,连接AB交OC于点D,∠CAD=∠CDA.
(1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若OA=5,OD=1,求线段AC的长.
解析:
(1)根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD;然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°.所以线段AC是⊙O的切线;
(2)根据“等角对等边”可以推知AC=DC,所以由图形知OC=OD+CD;然后利用
(1)中切线的性质可以在在Rt△OAC中,根据勾股定理来求AC的长度.
答案:
解:
(1)线段AC是⊙O的切线;
理由如下:
∵∠CAD=∠CDA(已知),∠BDO=∠CDA(对顶角相等),
∴∠BDO=∠CAD(等量代换);
又∵OA=OB(⊙O的半径),
∴∠B=∠OAB(等边对等角);
∵OB⊥OC(已知),
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°,
∴线段AC是⊙O的切线;
(2)设AC=x.
∵∠CAD=∠CDA(已知),
∴DC=AC=x(等角对等边);
∵OA=5,OD=1,
∴OC=OD+DC=1+x;
∵由
(1)知,AC是⊙O的切线,
∴在Rt△OAC中,根据勾股定理得,
OC2=AC2+OA2,即
(1+x)2=x2+52,
解得x=12,即AC=12.
点评:
本题综合考查了勾股定理、切线的判定与性质.欲证某线是圆的切线,只需证明连接圆心与此线过圆上的点的线段(圆的半径)与该直线垂直即可.
14.(2012贵州省毕节市,26,14分)如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,D是的中点,过点D作EF⊥AC的延长线于E,交AB的延长线于E,交AB的延长线于F.
(1)求证:
EF是⊙O的切线.
(2)若∠F=,AE=4,求⊙O的半径和AC的长.
解析:
(1)连接OD,根据圆周角定理,可得∠BOD=∠A,
则OD∥AC,从而得出∠ODF=90°,即EF是⊙O的切线;
(2)先解直角△AEF,由sin∠F=,得出AF=3AE=12,
再在直角△ODF中,由sin∠F=,得出OF=3OD,设⊙O
的半径为R,由AF=12列出关于R的方程,解方程即可求出
⊙O的半径;连接BC,证明BC∥EF,根据平行线分线段成比例定理得出AC:
AE=AB:
AF,即可求出AC的长.
解答:
(1)证明:
连接OD,∵D是的中点,
∴∠BOD=∠A,∴OD∥AC,∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,∴∠E=90°,
∴∠ODF=90°,即EF是⊙O的切线;
(2)解:
在△AEF中,∵∠E=90°,sin∠F=,AE=4,
∴AF=.
设⊙O的半径为R,则OD=OA=OB=R,AB=2R.
在△ODF中,∵∠ODF=90°,sin∠F=,∴OF=3OD=3R.
∵OF+OA=AF,
∴3R+R=12,∴R=3.
连接BC,则∠ACB=90°.
∵∠E=90°,∴BC∥EF,
∴AC:
AE=AB:
AF,∴AC:
4=2R:
4R,∴AC=2.
故⊙O的半径为3,AC的长为2.
点评:
本题考查了切线的判定,圆周角定理,解直角三角形及平行线分线段成比例定理,难度中等,综合性较强.
15.(2012四川达州,22,7分)(7分)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点P.
(1)求证:
PC是⊙O的切线.
(2)若AF=1,OA=,求PC的长.
解析:
对于
(1),欲证PC是⊙O的切线,自然要联想到连接OC,证明∠FCO=90°即可,可证明△OAF≌△OCF;对于
(2),由
(1),可证△PAF∽△PCO,因而可得PC=PA,在直角三角形OPC中,由勾股定理可求出PC的长。
答案:
(1)证明:
连结OC
∵OE⊥AC
∴AE=CE
∴FA=FC
∴∠FAC=∠FCA
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA
即∠FAO=∠FCO………………………………………………………………….(2分)
∵FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径
∴FA⊥AB
∴∠FCO=∠FAO=90°
∴PC是⊙O的切线………………………………………………………………..
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- 关 键 词:
- 中学 证明 计算 切线 半径 垂直