浙江省温州瑞安市中考数学模拟试卷月份解析版.doc
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2019年浙江省温州瑞安市中考数学模拟试卷(4月份)
9.已知二次函数y=4x2+4x﹣1,当自变量x取两个不同的值x1,x2时,函数值相等,则当x取时的函数值为( )
A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.1
10.如图,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上,顶点B在反比例函数(k为常数,k>0,x>0)的图象上,将矩形OABC绕点B逆时针方向旋转90°得到矩形BC'O'A',点O的对应点O'恰好落在此反比例函数图象上.延长A'O',交x轴于点D,若四边形C'ADO'的面积为2,则k的值为( )
A. B. C. D.
二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分)
15.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,D为AC上的一点,AD=3CD,AE⊥AB交BD的延长线于E,记△EAD,△DBC的面积分别为S1,S2,则S1:
S2= .
16.如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点D,若∠A=25°,则∠C= °.
三.解答题(共8小题,满分80分)
19.(10分)已知:
如图1,在菱形ABCD中,E是BC的中点.过点C作CG∥EA交AD于G.
(1)求证:
AE=CG;
(2)取CD的中点F,连接AF交CG于H,如图2所示.求证:
AH=CH;
(3)在
(2)的条件下中,若∠B=60°,直接写出△AHG与△ADF的周长比.
21.(10分)有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长12cm.如图①,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合;将直尺沿AB方向平移(如图②),设平移的长度为xcm(0≤x≤10),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2.
(1)当x=0时(如图①),S= ;
(2)当0<x≤4时(如图②),求S关于x的函数关系式;
(3)当4<x<6时,求S关于x的函数关系式;
(4)直接写出S的最大值.
22.(10分)如图,在⊙O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接AC,BC,点E在AB上,且AE=CE.
(1)求证:
∠ABC=∠ACE;
(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P,证明PB=PE;
(3)在第
(2)问的基础上,设⊙O半径为2,若点N为OC中点,点Q在⊙O上,求线段PQ的最大值.
23.(12分)张老师计划到超市购买甲种文具100个,他到超市后发现还有乙种文具可供选择,其中甲种文具每个5元,乙种文具每个3元.如果调整文具购买品种,每减少购买1个甲种文具,需增加购买2个乙种文具.设购买x个甲种文具时,需购买y个乙种文具.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若张老师购买这两种文具共用去540元,则甲、乙两种文具各购买了多少个?
(3)若张老师购买这两种文具共不超过120个,则有多少种购买方案,哪种购买方案总费用最少?
24.(14分)如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:
AC∥DE;
(2)连接AD、CD、OC.填空
①当∠OAC的度数为 时,四边形AOCD为菱形;
②当OA=AE=2时,四边形ACDE的面积为 .
2019年浙江省温州瑞安市中考数学模拟试卷(4月份)
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
【解答】解:
根据题意可得:
﹣,
故选:
A.
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:
0.000035=3.5×10﹣5,
故选:
C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念求解.
【解答】解:
根据中心对称图形的概念,观察可知,
第一个既是轴对称图形,也是中心对称图形;
第二个是轴对称图形,不是中心对称图形;
第三个不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
第四个是轴对称图形,也是中心对称图形.
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合.
4.【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方和合并同类项解答即可.
【解答】解:
A、a6÷a3=a3,错误;
B、(a3)2=a6,错误;
C、2a与3a3不能合并,错误;
D、3ab﹣2ba=ab,正确;
故选:
D.
【点评】此题考查同底数幂的除法,关键是根据同底数幂的除法、幂的乘方和合并同类项法则判断.
5.【分析】本题可利用多边形的内角和为(n﹣2)•180°解决问题.
【解答】解:
根据题意,得
(n﹣2)•180°=540°,
解得:
n=5.
故选:
B.
【点评】考查了多边形内角与外角,本题需仔细分析题意,利用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题.
6.【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响,即中位数.
【解答】解:
统计每位选手得分时,会去掉一个最高分和一个最低分,这样做不会对数据的中间的数产生影响,即中位数.
故选:
B.
【点评】本题考查了统计量的选择,属于基础题,相对比较简单,解题的关键在于理解这些统计量的意义.
7.【分析】根据互补得出∠AOC的度数,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:
∵∠BOC=40°,
∴∠AOC=180°﹣40°=140°,
∴∠D==110°,
故选:
A.
【点评】此题考查圆周角定理,关键是根据互补得出∠AOC的度数.
8.【分析】根据sin60°=解答.
【解答】解:
∵sin60°=,
∴∠A=60°,
故选:
C.
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
9.【分析】先求出抛物线的对称轴,根据抛物线的对称性得到x2﹣(﹣)=﹣﹣x1,所以=﹣,然后计算当x=﹣时的函数值即可.
【解答】解:
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣,
而自变量x取两个不同的值x1,x2时,函数值相等,
∴x2﹣(﹣)=﹣﹣x1,
∴x1+x2=﹣1,
∴x==﹣,
当x=﹣时,y=4×(﹣)2+4×(﹣)﹣1=﹣2.
故选:
B.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:
二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.
10.【分析】设B(t,),利用旋转的性质得BC′=BC=t,BA′=BA=,则AC′=﹣t,从而可表示出O′点的坐标为(t+,﹣t),利用反比例函数图象上点的坐标特征得到(t+)(﹣t)=k,再利用四边形C'ADO'的面积为2得到(﹣t)=2,然后解关于k、t的方程组即可.
【解答】解:
设B(t,),则OA=t,BA=,
∵矩形OABC绕点B逆时针方向旋转90°得到矩形BC'O'A',
∴BC′=BC=t,BA′=BA=,
∴AC′=﹣t,
∴O′点的坐标为(t+,﹣t),
∵点O的对应点O'恰好落在此反比例函数图象上.
∴(t+)(﹣t)=k,
变形得()2﹣t2=k①,
∵四边形C'ADO'的面积为2,
∴(﹣t)=2,即()2=k+2②,
②﹣①得t2=2,
把t2=2代入②得=k+2,
整理得k2﹣2k﹣4=0,解得k1=1﹣(舍去),k2=1+
即k的值为1+.
故选:
A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:
反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了矩形的性质和旋转的性质.
二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分)
11.【分析】首先提取公因式ab,进而将已知代入求出即可.
【解答】解:
∵ab=2,a﹣b=﹣1,
∴a2b﹣ab2=ab(a﹣b)=2×(﹣1)=﹣2.
故答案为:
﹣2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.
12.【分析】根据弧长公式l=,再代入l,r的值计算即可.
【解答】解:
∵l=,l=πcm,r=5cm,
∴π=,
解得n=48°.
故答案为:
48
【点评】本题考查了弧长的计算,熟记弧长公式是解此题的关键.
13.【分析】设红球有x个,根据摸出一个球是蓝球的概率是,得出红球的个数,再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率.
【解答】解:
∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,三种球除颜色外其他完全相同,其中有5个黄球,4个蓝球,
随机摸出一个蓝球的概率是,
设红球有x个,
∴=,
解得:
x=3
∴随机摸出一个红球的概率是:
=.
故答案为:
.
【点评】此题主要考查了概率公式的应用,用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求的情况数是解决本题的关键.
14.【分析】根据“原计划所用天数﹣实际所用天数=4”可得方程.
【解答】解:
设原计划每天种植x棵树,则实际每天植树(x+20)棵,
根据题意可列方程:
﹣=4,
故答案为:
﹣=4.
【点评】此题考查了分式方程的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键.
15.【分析】如图,作DF∥BC交AB于F,作DH⊥AB于H.想办法证明DE:
DB=3:
5,推出S△ADB=•S1,根据=,即可解决问题.
【解答】解:
如图,作DF∥BC交AB于F,作DH⊥AB于H.
∵CA=CB,∠C=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵DF∥BC,
∴∠DFA=∠CBA=45°,
∴∠DAF=∠DFA,
∴DA=DF,
∴DH⊥AF,
∴AH=HF,
∵DF∥BC,
∴==3,
∴=,
∵DH⊥AB,AE⊥AB,
∴DH∥AE,
∴==,
∴S△ADB=•S1,
∵=,
∴=,
∴S1:
S2=9:
5,
故答案为9:
5.
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质和判定,平行线的性质,等高模型等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题.
16.【分析】连接OD,由CD为圆O的切线,利用切线的性质得到OD垂直于CD,根据OA=OD,利用等边对等角得到∠A=∠ODA,求出∠ODA的度数,再由∠COD为△AOD外角,求出∠COD度数,即可确定出∠C的度数.
【解答】解:
连接OD,
∵CD与圆O相切,
∴OD⊥DC,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA=25°,
∵∠COD为△AOD的外角,
∴∠COD=50°,
∴∠C=90°﹣50°=40°.
故答案为:
40.
【点评】此题考查了切线的性质,等腰三角形的性质,以及外角性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
三.解答题(共8小题,满分80分)
17.【分析】
(1)根据实数的混合计算解答即可;
(2)根据整式的混合计算解答即可.
【解答】解:
(1)原式==﹣1.
(2)原式=1﹣a2+a2﹣2a
=1﹣2a
【点评】此题考查整式的混合计算,关键是根据平方差公式解答.
18.【分析】
(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数m的值,用360°乘以D组人数占总人数的比例即可得;
(2)总人数乘以C组的百分比求得其人数,再由各组人数之和等于总人数求得E组的人数即可补全图形;
(3)用样本估计总体的思想解决问题;
【解答】解:
(1)m=4÷8%=50(人),扇形统计图中D组对应的圆心角是360°×=72°,
故答案为:
50,72;
(2)C组人数为50×30%=15人,E组人数为50﹣(10+15+16+4)=5(人),
补全图形如下:
(3)估算此次考试数学成绩优秀的学生人数为2000×=800(人).
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
19.【分析】
(1)由四边形ABCD是菱形,可得CB∥DA,又由CG∥EA,即可证得四边形AECG是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,即可证得AE=CG;
(2)由四边形AECG是平行四边形,取CD的中点F,E是BC的中点,易证得△ADF≌△CDG,然后由AAS证得△AGH≌△CFH,则可得AH=CH;
(3)首先连接AC,易得△ACD是等边三角形,则可得AF⊥CD,CG⊥AD,则可证得△AGH∽△AFD,然后由相似三角形周长的比等于相似比,求得△AHG与△ADF的周长比.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CB∥DA,
∵CG∥EA,
∴四边形AECG是平行四边形,
∴AE=CG;
(2)证明:
由
(1)可知,四边形AECG是平行四边形,
∴AG=CE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CB=CD,
∵EC=BC,
∴AG=GD=CD,
∵FC=DF=DC,
∴AG=GD=CF=DF,
在△ADF和△CDG中,
,
∴△ADF≌△CDG(SAS),
∴∠DAF=∠DCG,
在△AGH和△CFH中,
,
∴△AGH≌△CFH(AAS),
∴AH=CH;
(3)解:
连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠D=∠B=60°,
∵AD=CD,
∴△ACD是等边三角形,
∵CG与AF都是△ACD的中线,
∴AF⊥CD,CG⊥AG,
∴∠AGH=∠AFD=90°,
∵∠DAF=∠HAG,
∴△AHG∽△ADF,
∵在Rt△ADF中,sin60°==,
又∵AG=AD,
∴AG:
AF=:
3,
∴△AHG与△ADF的周长比为:
3.
【点评】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
20.【分析】
(1)过平行四边形的对角线的交点任意画一条直线即可,这样的直线可以画无数条,这些直线都经过平行四边形的对称中心.
(2)过平行四边形对边的中点画直线即可,如图2所示:
把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个非平行四边形的中心对称图形如图3所示.
【解答】解:
(1)过平行四边形的对角线的交点任意画一条直线即可,如图1所示,
(2)过平行四边形对边的中点画直线即可,如图2所示,
把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个非平行四边形的中心对称图形如图3所示,
【点评】本题考查平行四边形的性质、作图﹣应用与设计、图形的拼剪等知识,解题的关键是理解平行四边形是中心对称图形,学会画中心对称图形,属于中考常考题型.
21.【分析】
(1)当x=0时,重合部分是等腰直角三角形AEF,因此面积为×2×2=2.
(2)当0<x≤4时,F在AC上运动(包括与C重合).重合部分是直角梯形DEFG,易知:
三角形ADG和AEF均为等腰直角三角形,因此DG=x,EF=x+2,可根据梯形的面积公式求出此时S,x的函数关系式.
(3)当4<x<6时,F在BC上运动(与B、C不重合),当G在AC上,F在BC上运动时,即当4<x<6时,重合部分是五边形CGDEF,可用三个等腰直角三角形ABC,ADG,BEF的面积差来求得.
(4)根据(3)可得出关于S,x的函数关系式,根据函数的性质和各自的自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的x的值.
【解答】解:
(1)由题意可知:
当x=0时,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AE=EF=2,
则阴影部分的面积为:
S=×2×2=2;
故答案为:
2;
(2)在Rt△ADG中,∠A=45°,
∴DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,
∴S梯形DEFG=(x+x+2)×2=2x+2.
∴S=2x+2;
(3)①当4<x<6时(图1),
GD=AD=x,EF=EB=12﹣(x+2)=10﹣x,
则S△ADG=AD•DG=x2,S△BEF=(10﹣x)2,
而S△ABC=×12×6=36,S△BEF=(10﹣x)2,
∴S=36﹣x2﹣(10﹣x)2=﹣x2+10x﹣14,
S=﹣x2+10x﹣14=﹣(x﹣5)2+11,
∴当x=5,(4<x<6)时,S最大值=11.
(4)S最大值=11.
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质,矩形的性质、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识.同时还有三角形的面积及不规则图形的面积计算,解题的关键是根据题意正确画出图形,表示出线段之间的关系.
22.【分析】
(1)因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,所以,所以∠CAE=∠ABC,因为AE=CE,所以∠CAE=∠ACE,所以∠ABC=∠ACE;
(2)连接OB,设∠CAE=∠ACE=∠ABC=x,通过计算可得∠PEB=∠PBE=2x,所以PB=PE;
(3)连接OP,证明△OBC和△PBE为等边三角形,因为⊙O半径为2,可得BN=3,NE=1,即PB=BE=4,在Rt△PBO中求得PO的长,即可得出PQ的最大值.
【解答】解:
(1)证明:
∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,
∴,
∴∠CAE=∠ABC,
∵AE=CE,
∴∠CAE=∠ACE,
∴∠ABC=∠ACE;
(2)如图,连接OB,
∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P,
∴∠OBP=90°,
设∠CAE=∠ACE=∠ABC=x,
则∠PEB=2x,
∵OB=OC,AB⊥CD,
∴∠OBC=∠OCB=90°﹣x,
∴∠BOC=180°﹣2(90°﹣x)=2x,
∴∠OBE=90°﹣2x,
∴∠PBE=90°﹣(90°﹣2x)=2x,
∴∠PEB=∠PBE,
∴PB=PE;
(3)如图,连接OP,
∵点N为OC中点,AB⊥CD,
∴AB是CD的垂直平分线,
∴BC=OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,
∵⊙O半径为2,
∴CN=,
∵∠CAE=∠ACE=∠BOC=30°,
∴∠CEN=60°,∠PBE=2∠CAB=60°,
∴△PBE为等边三角形,BN=3,NE=1,
∴PB=BE=BN+NE=3+1=4,
∴PO=,
∴PQ的最大值为PO+=.
【点评】本题考查圆的切线的性质,等边三角形的判定和性质,圆周角定理,勾股定理.解题的关键是掌握圆的切线的性质.
23.【分析】
(1)由“每减少购买1个甲种文具,需增加购买2个乙种文具”,即可找出y关于x的函数关系式;
(2)根据总价=单价×购买数量结合张老师购买这两种文具共用去540元,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
(3)由张老师购买这两种文具共不超过120个,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,进而可得出有21种购买方案,设购买这两种文具的总费用为w元,根据总价=单价×购买数量,即可得出w关于x的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题.
【解答】解:
(1)根据题意得:
y=2(100﹣x)=﹣2x+200.
(2)根据题意得:
5x+3y=540,
即5x+3(﹣2x+200)=540,
解得:
x=60,
∴y=﹣2x+200=80.
答:
甲种文具购买了60个,乙种文具购买了80个.
(3)根据题意得:
x+y≤120,
即x﹣2x+200≤120,
解得:
x≥80.
又∵x≤100,
∴共有100﹣80+1=21种方案.
设购买这两种文具的总费用为w元,
根据题意得:
w=5x+3y=5x+3(﹣2x+200)=﹣x+600,
∵﹣1<0,
∴w随x值的增大而减小,
∴当x=100时,w取最小值,最小值为500元,
∴当购买甲种文具100个时,总费用最少,最少费用为500元.
【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的最值、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:
(1)根据数量间的关系,找出函数关系式;
(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(3)利用一次函数的性质解决最值问题.
24.【分析】
(1)由垂径定理,切线的性质可得FO⊥AC,OD⊥DE,可得AC∥DE;
(2)①连接CD,AD,OC,由题意可证△ADO是等边三角形,由等边三角形的性质可得DF=OF,AF=FC,且AC⊥OD,可证四边形AOCD为菱形;
②由题意可证△AFO∽△ODE,可得,即OD=2OF,DE=2AF=AC,可证四边形ACDE是平行四边形,由勾股定理可求DE的长,即可求四边形ACDE的面积.
【解答】证明:
(1)∵F为弦AC的中点,
∴AF=CF,且OF过圆心O
∴FO⊥AC,
∵DE是⊙O切线
∴OD⊥DE
∴DE∥AC
(2)①当∠OAC=30°时,四边形AOCD是菱形,
理由如下:
如图,连接CD,AD,OC,
∵∠OAC=30°,OF⊥AC
∴∠AOF=60°
∵AO=DO,∠AOF=60°
∴△ADO是等边三角形
又∵AF⊥DO
∴DF=FO,且AF=CF,
∴四边形AOCD是平行四边形
又∵AO=CO
∴四边形AOCD是菱形
②如图,连接CD,
∵AC∥DE
∴△AFO∽△ODE
∴
∴OD=2OF,DE=2AF
∵AC=2AF
∴DE=AC,且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∵OA=AE=OD=2
∴OF=DF=1,OE=4
∵在Rt△ODE中,DE==2
∴S四边形ACDE=DE×DF=2×1=2
故答案为:
2
【点评】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,菱形的判定,等边三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.
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