圆讲学稿.doc
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圆讲学稿.doc
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华奥学校数学学科师生共用讲学稿
科目:
数学
年级:
九
主备人:
冯明勇
授课时间:
2014.11.5
课题:
§24.1.1圆
课型:
新授课
课时数:
1
学习
目标
1、了解圆的两种定义,理解弧、弦、半圆、直径等有关概念。
2、了解圆是圆周而非圆面,理解等圆、等弧的概念。
学习重点
了解圆的两种定义,理解弦、弧等相关概念
学习难点
圆的概念的理解
学习过程
备注
一、自主学习感受新知
预习课本P79---P80思考下列问题:
1、圆的两种定义:
(1)动态:
在一个平面内,线段OA绕着它_________
旋转一周,_________形成的图形叫做圆。
如图1,从画圆的过程可以看出:
①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于_________________;
②到定点的距离等于_______________的点都在同一个圆上。
(2)静态:
圆心为O、半径为r的圆可以看作是________________。
例如:
半径是3cm的圆可以看作____________________________.
2、圆中相关概念(如图1):
(1)_____________叫做圆心,__________叫做半径,以O为圆心的圆记做_____。
(2)连接圆上任意两点的线段叫做____;过圆心的弦叫做____;圆中最长的弦是_____;
(3)圆上任意两点之间的部分叫做______,弧AB记做______;圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做______;比半圆长的弧叫做_____,比半圆短的弧叫做____.
(4)能够重合的圆叫做_________;能够重合的弧叫做_____________。
二、自主交流探究新知
【探究一】为什么车轮要做成圆形的?
请你用圆的有关知识解释。
【探究二】1、运用圆的有关概念判断正误:
(1)弦是直径,弦是直径。
()
(2)过圆心的线段是直径.()
(3)半圆是最长的弧.()(4)等弧是长度相等的弧.()
2、请你用圆规画几个圆,体验后归纳:
确定一个圆有两个要素,一是______,二是______,_____确定圆的位置,_____确定圆的大小。
__________相等的圆叫等圆,___________相同的圆叫同心圆。
同圆或等圆中半径都_________,且都等于直径的___________.
【总结】
(1)决定圆的位置,决定圆的大小;
(2)是圆中经过圆心的特殊的弦,是最长的弦,并且等于半径的2倍,但弦不一定是直径,过圆上一点和圆心的直径有且只有一条;
(3)是特殊的弧,而弧不一定是半圆。
所以弧有三种:
、、、比半圆大的叫;比半圆小的叫
(4)“同圆”指的是同一个圆,“等圆”指的是两个圆的位置、大小关系。
判定两个圆是否是等圆,常用的方法是看其半径是否相等,半径相等的两个圆是等圆。
(5)“等弧”是两条弧,而长度相等的两条弧不一定是等弧。
三、自主应用巩固新知
【例1】1.下列说法正确的是
①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧,但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等
2.一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则该圆的直径是()
A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm
【例2】如图,已知OA,OB是⊙O的两条半径,C、D分别为OA、OB上的点,且AC=BD,求证:
AD=BC.
四、自主总结拓展新知
发现总结:
在解决圆中的有关证明和计算时,经常要用__________来提供线段相等的条件,所以圆中常见辅助线之一是________.
【例3】如图,已知CD是⊙O的直径,∠EOD=78°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数
随堂练习:
P811.2.3.
五、课堂测试
1.若AB是⊙O弦,且⊙O的半径为3,则弦AB的长为:
()
A.3<AB<6B.3≤AB≤6C.0<AB<6D.0<AB≤6
2.如图,AB是⊙O的直径,点
C、D在⊙O上,∠BOD=110°,AC∥OD,则∠AOC的度数:
()
A.70°B.60°C.50°D.40°
3.如图,在⊙O中,AB为弦,C、D是直线AB上的两点,
AC=BD,求证:
OC=OD.
会的题:
仔细;不会的题:
冷静;不求难题都做,先求中低档题不错。
华奥学校数学学科师生共用讲学稿
科目:
数学
年级:
九
主备人:
冯明勇
授课时间:
2014.11.7
课题:
§24.1.2垂直于弦的直径
(1)
课型:
新授课
课时数:
2
学习
目标
1.理解圆的轴对称性以及垂径定理及其推论。
2.能灵活应用垂径定理进行有关证明。
学习重点
“垂径定理”及其应用
学习难点
垂径定理及其推论中条件区分和应用。
学习过程
备注
一、自主学习感受新知(预习课本P81-52)
1.你能找出图1这个圆的圆心吗?
拿出手中的圆形纸片折一折,试一试。
思考并回答下列问题:
①在找圆心的过程中,把圆纸片折叠时,两个半圆可以_______。
②刚才的实验你说明什么?
由此你能得到什么结论?
圆是____________,_________________________是它的对称抽。
D
2.什么是垂径定理?
请默写一遍。
二、自主交流探究新知
请同学们共同合作用逻辑推理的方法证明一下垂径定理:
【探究一】已知:
(如上图)直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证:
AM=BM,AC=BC,AD=BD.
证明:
如图,连结OA、OB,则=
分析:
要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可.
在Rt△OAM和Rt△OBM中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴=
∴点和点关于CD对称
∵⊙O关于直径CD对称
∴当圆沿着直线CD对折时,点与点重合,
与重合,与重合.
∴AC=BC,AD=BD进一步,我们还可以得到结论:
.
知识总结:
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧.
符号语言:
∵
∴
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦所对的两条弧
符号语言:
∵∴
结论:
对于一个圆和一条直线来说,如果具备:
①__________、②___________、③___________、④___________、⑤__________,那么五个条件中满足任何其中两个条件都能推出其他三个结论。
三、自主应用巩固新知
【例1】如图5,AB是两个同心圆中大圆的弦,交小圆于C、D两点,
求证:
AC=BD。
四、自主总结拓展新知
【发现总结】1、垂径定理的推论中要注意哪个附加条件?
为什么?
2、在圆中,运用垂径定理证明线段相等,常作的辅助线是过_____作___________.
【例2】如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由.
五、课堂作业、测试作业:
P892.8.
1.如图1,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是().A.CE=DEB.BC=BDC.∠BAC=∠BADD.AC>AD
(图1)(图2)(图3)(图4)
2.如图2,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()
A.4B.6C.7D.8
3.如图3,已知⊙O的半径为5mm,弦AB=8mm,则圆心O到AB的距离是()
A.1mmB.2mmmC.3mmD.4mm
4.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;最长弦长为_______.5.如图4,OE⊥AB、OF⊥CD,如果OE=OF,那么_______(只需写一个正确的结论)6.如图,以O为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于点C,若AB=3,BC=1,则圆环的面积最接近的整数是()A.9B.10C.15D.13
会的题:
仔细;不会的题:
冷静;不求难题都做,先求中低档题不错。
华奥学校数学学科师生共用讲学稿
科目:
数学
年级:
九
主备人:
冯明勇
授课时间:
2014.11.8
课题:
§24.1.2垂直于弦的直径
(2)
课型:
新授课
课时数:
3
学习
目标
1.知道实际问题中拱高、跨度等概念与圆中半径、弦、弦心距、弓形
高等概念的对应关系;2.构造基本图形,用垂径定理进行实际问题中半径、弦、弦心距、弓
形高的计算。
学习重点
构建垂径定理基本图形的模型,解决在圆中线段计算。
学习难点
构建垂径定理基本图形的模型,解决在圆中线段计算。
学习过程
备注
一、自主学习感受新知
1、请你写出垂径定理及其推论_________________________________.
________________________________________________________________
2、如图1,在⊙O中,AB是⊙O的弦,OE为⊙O的弦心距(O到弦AB的距离),ED是⊙O的弓形高(AB的中点D到弦AB的距离)。
(1)若AB=8cm,OE=3cm,求半径OA及弓形高ED。
(2)若OA=5cm,OE=3cm,求弦AB及弓形高ED。
图1
二、自主交流探究新知
【探究一】在图1中,若弓形高ED=2cm,弦AB=8cm,求⊙O的半径OA及弦心距OE.写出解答过程。
【探究二】你还能将图中半径、弦、弦心距、弓形高几个量中哪些作已知条件,
也能计算出其余量?
你从中发现什么规律?
三、自主应用巩固新知
【例1】问题:
如图,你知道赵州桥吗?
它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥。
它:
的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗?
四、自主总结拓展新知
【发现总结】1、在圆中,线段的有关计算经常要运用垂径定理,过_____作___________作为辅助线,形成基本图形_____________(简要画出来),构造______三角形,利用________定理建立方程模型,将圆中________、________、________等相关量联系起来。
2、把垂径定理和勾股定理结合起来,容易得到圆的半径R,圆心到弦的距离d,弦长a之间的关系式R2=d2+()2这是一种重要的添加辅助线的方法.
【例2】如图,在圆柱形油槽内装有一些油。
截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,求柱形油槽直径MN的长
五、课堂作业、测试作业:
P909.10.12.
1、如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm。
则直尺的宽是______。
2、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢
珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则
这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.
3、如图,铁路MN和公赂PQ在点O处交汇,∠QON=30°,公路PQ上A处距离O点240米,如果火行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时,A处受到噪音影响的时间为()
A.12秒B.16秒C.20秒D.24秒.
第3题图
第1题图
第2题图
4、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,右图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
⑴请你补全这个输水管道的圆形截面;
⑵若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,
水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.
会的题:
仔细;不会的题:
冷静;不求难题都做,先求中低档题不错。
华奥学校数学学科师生共用讲学稿
科目:
数学
年级:
九
主备人:
冯明勇
授课时间:
2014.11.10
课题:
§24.1.3弧、弦、圆心角
课型:
新授课
课时数:
4
学习
目标
1、理解圆的旋转不变性。
掌握圆心角的概念,学会辨别圆心角。
2、掌握以及弧、弦、圆心角之间的相等关系并能运用这些关系解决有关证明、计算问题。
学习重点
圆心角、弦、弧之间的相等关系。
学习难点
运用圆心角、弦、弧之间的相等关系解决有关证明、计算问题。
学习过程
备注
一、自主学习感受新知预习课本P83-84
1、圆是轴对称图形,对称轴是___________,有_____条;圆是中心对称图形,对称中心是______.将一个圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与原来的圆______,圆具有______性。
2、如图1,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在_________的角叫做圆心角.
3、如图2,在⊙O中,∠AOB=∠A′OB′,将∠A′OB′绕着圆心O旋转到∠AOB,有哪些量能相等?
图1图2
上面观察得到的结论,你能用圆的相关知识来说明理由吗?
思考:
在等圆中,上述的结论还成立吗?
因此,我们可以得到下面的定理:
___________________________。
同样,还可以得到:
在__________中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角____,所对的弦也____.在__________中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角____,所对的弧也____.
由上面定理我们不难得到:
在同圆或等圆中,_______、_______、_______三组量中,只要有一组量相等,其余的两个量也相等。
也可归纳为:
等圆心角↔等弧↔等弦↔等弦心距
二、自主交流探究新知
【探究一】如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,
(1)如果AB=CD,那么_________,__________。
(2)如果AB=CD,那么_________,__________。
(3)如果∠AOB=∠COD,那么_________,__________。
(4)AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F.则OE____OF。
证明你的结论。
三、自主应用巩固新知
【例1】如图,在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60°
求证:
∠AOB=∠BOC=∠AOC。
四、自主总结拓展新知
1、在圆心角的性质定理中,为什么要说“同圆或等圆”?
能不能去掉?
2、证明圆中弧、弦、圆心角相等通常可以依据__________定理,通过证明本量中以外的量相等的来实现。
【例2】如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N在⊙O上.⌒
⌒
(1)求证:
AM=BN;⌒
⌒
⌒
(2)若C、D分别为OA、OB中点,则AM=MN=NB成立吗?
五、课堂作业、测试作业:
P893.4.P9013.
1、在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是()
A.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2CDD.不能确定
2、如图,AB是直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,则∠AOE的度数为______.
3、如图,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=_______.
第3题图
第4题图
第2题图
4、如图,AD=BC,比较AB与CD的长度,并证明你的结论。
5、如图所示,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作⊙A,
⊙A交AD、BC于E、F,延长BA交⊙A于点G,求证:
GE=EF
第5题图
会的题:
仔细;不会的题:
冷静;不求难题都做,先求中低档题不错。
华奥学校数学学科师生共用讲学稿
科目:
数学
年级:
九
主备人:
冯明勇
授课时间:
2014.11.11
课题:
§24.1.4圆周角
(1)
课型:
新授课
课时数:
5
学习
目标
1、使学生理解圆周角的概念,掌握圆周角定理及其推论,并运用它们进行论证和计算。
2、了解分类思想和完全归纳的思想。
学习重点
圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用。
学习难点
了解分类思想和化归思想
学习过程
备注
一、自主学习感受新知预习课本P85-86
1、圆周角定义:
叫圆周角.
2、判断下列各图形中的角是不是圆周角.
(A)2个, (B)3个, (C)4个,
3、圆周角的两个特征:
①角的顶点在;②角的两边都。
4、分别度量下图中AB所对的两个圆周角∠C,∠D的度数,比较一下,∠C_______∠D。
变动点C的位置,圆周角的度数有没有发生变化?
(1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?
(2)同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
(3)同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
从
(1)、
(2)、(3),我们可以总结归纳出:
圆周角定理:
同弧或等弧所对的圆周角_____,都等于___________的
的一半.
二、自主交流探究新知
【探究】如图所示,在⊙O任取一个圆周角∠BAC,将圆对折,使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C,这时折痕可能下图出现三种情况:
你能分别证明这三种情况中AB所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗?
(1)如图1,当圆周角∠BAC的一边AB刚好是折痕(⊙O的直径)时;
(2)如图2,当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的两侧时;
(3)如图3,当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。
问题1:
如图,在⊙O中,若圆周角∠BAC=∠DEF,
那么AC=DF吗?
为什么?
结论:
_________________________________________
三、自主应用巩固新知
【例1】
(1)如图,点A、B、C、D都在同一个圆上,四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中,相等的角有几对?
请分别指出来.
(2)若∠ACD=∠ACB=60°,判断△ABD的形状并证明你的结论。
四、自主总结拓展新知
1、在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.
2、数学思想方法:
在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想
【例2】如图1,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,点P是弧CAD上的一点,(不与C、D重合)
(1)求证:
∠CPD=∠COB.
(2)如图2,若点P在劣弧CD上(不与C、D重合),∠CPD与∠COB的数量关系是否发生变化?
写出结论,并画图证明。
图1图2
五、课堂作业、测试作业:
P895.P9014.
1、将量角器按如图1所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A、B的读数分别为86°、30°,则∠ACB的大小为()
A.15B.28C.29 D.34
2、如图,⊙O是△ABC的外接圆,连结OB、OC,若OB=BC,则∠BAC=()
A、60°B、45°C、30°D、20°
3、如图5,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A=500,则∠OCD的度数是()
A.40°B.45°C.50°D.60°
会的题仔细;不会的题:
冷静;不求难题做,先求中低档题不错。
华奥学校数学学科师生共用讲学稿
科目:
数学
年级:
九
主备人:
冯明勇
授课时间:
2014.11.12
课题:
§24.1.4圆周角
(2)
课型:
新授课
课时数:
6
学习
目标
1、认识圆内接四边形,理解并掌握圆内接四边形的性质。
2、灵活运用圆的性质解决相关问题。
学习重点
圆内接四边形及其性质
学习难点
运用圆的性质解决相关问题。
学习过程
备注
一、自主学习感受新知预习课本P87-88
1、如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任一点,你能确定∠ACB的度数吗?
为什么?
2、如图2,圆周角∠BCA=90º,弦AB经过圆心O吗?
为什么?
圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是_______,90°的圆周角所对的弦是________。
图1
3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上(如图3),这个多边形叫做__________________;这个圆叫做________________。
二、自主交流探究新知
【探究】:
思考1:
图3中,∠A与∠C有何关系?
为什么?
这样,我们利用圆周角定理,得到圆内接四边形的一个性质:
_____________
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