中考数学真题分类汇编套专题十八二次函数的图象和性质.doc
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28.(2010广东中山)如图
(1),
(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得ΔFMN,过ΔFMN三边的中点作ΔPQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明ΔFMN∽ΔQWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,ΔPQW为直角三角形?
当x在何范围时,ΔPQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?
求此时MN的值.
.
【答案】解:
(1)由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点,
∴PW是ΔFMN的中位线,即PW∥MN
∴ΔFMN∽ΔQWP
(2)由题意可得DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x,
由勾股定理分别得=,
=+
=+
①当=+时,+=++
解得
②当=+时,+=++
此方程无实数根
③=+时,=+++
解得(不合题意,舍去),
综上,当或时,ΔPQW为直角三角形;
当0≤x<或<x<4时,ΔPQW不为直角三角形
(3)①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,只有当x=4时,MN的值最小,等于2;
②当4<x≤6时,=+=+
=
当x=5时,取得最小值2,
∴当x=5时,线段MN最短,MN=.
29.(2010湖南常德)如图9,已知抛物线与轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点,与轴交于C点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设E是线段AB上的动点,作EF//AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;
(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.
x
y
O
B
C
A
图9
【答案】解:
(1)由二次函数与轴交于、两点可得:
解得:
故所求二次函数的解析式为.
(2)∵S△CEF=2S△BEF,∴
∵EF//AC,∴,
∴△BEF~△BAC,
∴得
故E点的坐标为(,0).
(3)解法一:
由抛物线与轴的交点为,则点的坐标为(0,-2).若设直线的解析式为,则有 解得:
故直线的解析式为.
若设点的坐标为,又点是过点所作轴的平行线与直线的交点,则点的坐标为(.则有:
=
=
即当时,线段取大值,此时点的坐标为(-2,-3)
解法二:
延长交轴于点,则.要使线段最长,则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为(,则有:
=
=
=
=
==-
即时,△的面积取大值,此时线段最长,则点坐标
为(-2,-3)
30.(2010湖南郴州)如图
(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C.
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图
(2)),与的面积大小关系如何?
当时,上述关系还成立吗,为什么?
(3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由.
第26题
图
(1)
图
(2)
【答案】
(1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4)
(2)当b=0时,直线为,由解得,
所以B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2)
,
所以(利用同底等高说明面积相等亦可)
当时,仍有成立.理由如下
由,解得,
所以B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b),
作轴,轴,垂足分别为F、G,则,
而和是同底的两个三角形,
所以.
(3)存在这样的b.
因为
所以
所以,即E为BC的中点
所以当OE=CE时,为直角三角形
因为
所以,而
所以,解得,
所以当b=4或-2时,ΔOBC为直角三角形.
31.(2010湖南怀化)图9是二次函数的图象,其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的
坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,
得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:
当直线与此
图象有两个公共点时,的取值范围.
图9
【答案】解;
(1)因为M(1,-4)是二次函数的顶点坐标,
所以
令解之得.
∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)
(2)在二次函数的图象上存在点P,使
设则,又,
图1
∴
∵二次函数的最小值为-4,∴.
当时,.
故P点坐标为(-2,5)或(4,5)……………7分
(3)如图1,当直线经过A点时,可得……………8分
当直线经过B点时,可得
由图可知符合题意的的取值范围为
32.(2010湖北鄂州)如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(0,2),一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动,P点的运动速度为每秒1个单位长度,射线BM与x轴交与点C.
(1)求点C的坐标.
(2)求过点A、B、C三点的抛物线的解析式.
(3)若P点开始运动时,Q点也同时从C出发,以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动,t秒后,以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形.(点P到点C时停止运动,点Q也同时停止运动)求t的值.
(4)在
(2)(3)的条件下,当CQ=CP时,求直线OP与抛物线的交点坐标.
【答案】
(1)点C的坐标是(4,0);
(2)设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),将点A、B、C三点的坐标代入得:
解得,∴抛物线的解析式是:
y=x2+x+2.
(3)设P、Q的运动时间为t秒,则BP=t,CQ=t.以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形,可分三种情况讨论.
①若CQ=PC,如图所示,则PC=CQ=BP=t.∴有2t=BC=,∴t=.
②若PQ=QC,如图所示,过点Q作DQ⊥BC交CB于点D,则有CD=PD.由△ABC∽△QDC,可得出PD=CD=,∴,解得t=.
③若PQ=PC,如图所示,过点P作PE⊥AC交AC于点E,则EC=QE=PC,∴t=(-t),解得t=.
(4)当CQ=PC时,由(3)知t=,∴点P的坐标是(2,1),∴直线OP的解析式是:
y=x,因而有x=x2+x+2,即x2-2x-4=0,解得x=1±,∴直线OP与抛物线的交点坐标为(1+,)和(1-,).
33.(2010湖北省咸宁)已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为(,0),(,0)().
(1)证明;
(2)若该函数图象的对称轴为直线,试求二次函数的最小值.
【答案】
(1)证明:
依题意,,是一元二次方程的两根.
根据一元二次方程根与系数的关系,得,.
∴,.∴.
(2)解:
依题意,,∴.
由
(1)得.
∴.
∴二次函数的最小值为.
34.(2010湖北恩施自治州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】解:
(1)将B、C两点的坐标代入得
解得:
所以二次函数的表达式为:
(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x,),
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.
连结PP则PE⊥CO于E,
∴OE=EC=
∴=.
∴=
解得=,=(不合题意,舍去)
∴P点的坐标为(,)…………………………8分
(3)过点P作轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,
设P(x,),
易得,直线BC的解析式为
则Q点的坐标为(x,x-3).
=
当时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为,四边形ABPC的
面积.
35.(2010北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求B点的坐标;
(2)点P在线段OA上,从O点出发向A点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交与点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧做等等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动).
① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;
-1
y
x
O
(第24题)
1
2
3
4
-2
-4
-3
3
-1
-2
-3
-4
4
1
2
② 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点做x轴的垂线,与直线AB交与点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点、N点也随之运动).若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
【答案】解:
(1)∵抛物线经过原点,
∴m2—3m+2=0.
解的m1=1,m2=2.
由题意知m≠1.
∴m=2,
∴抛物线的解析式为
∵点B(2,n)在抛物线,
n=4.
∴B点的坐标为(2,4)
(2)①设直线OB的解析式为y=k1x
求得直线OB的解析式y=2x
∵A点是抛物线与x轴的一个交点,
可求得A点的坐标为(10,0),
设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,2a).
根据题意做等腰直角三角形PCD,如图1.
可求得点C的坐标为(3a,2a),
有C点在抛物线上,
得2a=-x(3a)2+x3a.
即a2—a=0
解得a1=,a2=0(舍去)
∴OP=
②依题意作等腰直角三角形QMN.
设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A(10,0),点B(2,4),求得直线AB的解析式为y=-x+5
当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:
第一种情况:
CD与NQ在同一条直线上,如图2所示,
可证△DPQ为等腰直角三角形.此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位.
∴PQ=DP=4t
∴t+4t+2t=10
∴t=
第二种情况:
PC与MN在同一条直线上,如图3所示.可证△PQM为等腰直角三角形.
此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位,
∴OQ=10-2t
∵F点在直线AB上
∴FQ=t
∵MQ=2t
∴PQ=MQ=CQ=2t
∴t+2t+2t=10
∴t=2.
第三种情况:
点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示,此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位.
∴t+2t=10
∴t=
综上,符合题意的值分别为,2,.
36.(2010云南红河哈尼族彝族自治州)二次函数的图像如图8所示,请将此图像向右平移1个单位,再向下平移2个单位.
(1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式.
(2)求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标,指出当x满足什么条件时,函数值大于0?
【答案】解:
画图如图所示:
依题意得:
=
=
∴平移后图像的解析式为:
(2)当y=0时,=0
∴平移后的图像与x轴交与两点,坐标分别为(,0)和(,0)
由图可知,当x<或x>时,二次函数的函数值大于0.
37.(2010云南楚雄)已知:
如图,抛物线与轴相交于两点A(1,0),B(3,0).与轴相较于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若点D()是抛物线上一点,请求出的值,并求处此时△ABD的面积.
【答案】解:
(1)由题意可知解得
所以抛物线的函数关系式为.
(2)把D()代人函数解析式中,得.
所以.
38.(2010湖北随州)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
【答案】
(1)a=-1,b=2,c=0
(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.
(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.
39.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,一4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
【答案】
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有
解得
∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4
(2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m,n).
则AD=m+4,MD=﹣n,n=m2+m-4.
∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO
=(m+4)(﹣n)+(﹣n+4)(﹣m)-×4×4
=﹣2n-2m-8
=﹣2(m2+m-4)-2m-8
=﹣m2-4m(-4 ∴S最大值=4 (3)满足题意的Q点的坐标有四个,分别是: (-4,4),(4,-4), (-2+,2-),(-2-,2+) 40.(2010四川乐山)如图(13.1),抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2. (1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图(13.2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大? 最大面积为多少? 【答案】解: (1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2).∴x=2 又∵tan∠OAC==2,∴OA=1,即A(1,0). 又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上.∴0=12+b×1+2,b=-3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2 (2)存在 过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示, ∴x=-.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°, ∴tan∠PAE=tan∠CPD∴,即,解得PE=或PE=, ∴点P的坐标为(,)或(,)。 (备注: 可以用勾股定理或相似解答) (3)如图,易得直线BC的解析式为: y=-x+2, ∵点M是直线l′和线段BC的交点,∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2) ∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t ∴S△BCM=S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t) =MN▪(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2), ∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1 ∴当t=1时,S△BCN的最大值为1。 41.(2010江苏徐州)如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴 交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.全品中考网 (1)点A的坐标为_______,点C的坐标为_______; (2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个? 【答案】 42.(2010云南昆明)在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B(3,)三点. (1)求此抛物线的解析式; (2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在 (1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l,且l与x轴的夹角为30°,若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意: 本题中的结果可保留根号) 【答案】解: (1)设抛物线的解析式为: 由题意得: 解得: ∴抛物线的解析式为: (2)存在 l′ 抛物线的顶点坐标是,作抛物线和⊙M(如图), 设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C 连接MC,过C作CD⊥x轴于D ∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC ∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,∴B(-2,0) 在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30° ∴DM=1,CD==∴C(1,) 设切线l的解析式为: ,点B、C在l上,可得: 解得: ∴切线BC的解析式为: ∵点P为抛物线与切线的交点 由解得: ∴点P的坐标为: , ∵抛物线的对称轴是直线 此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 于是作切线l关于直线的对称直线l′(如图) 得到B、C关于直线的对称点B1、C1 l′满足题中要求,由对称性,得到P1、P2关于直线的对称点: ,即为所求的点. ∴这样的点P共有4个: ,,, 43.(2010陕西西安)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(—1,0),B(3,0),C(0,—1)三点。 (1)求该抛物线的表达式; (2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标。 【答案】解: (1)设该抛物线的表达式为。 根据题意,得、 解之,得 ∴所求抛物线的表达式为 (2)①当AB为边时,只要PQ//AB,且PQ=AB=4即可, 又知点Q在y轴上,∴点P的横坐标为4或-4,这时,将 合条件的点P有两个,分别记为P1,P2。 而当x=4时, 此时 ②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可, 又知点Q在y轴上,且线段AB中点的横坐标为1, ∴点P的横坐标为2,这时,符合条件的点P只有一个,记为P3, 而当x=2时,y=-1,此时P3(2,-1) 综上,满足条件的点 44.(2010四川内江)如图,抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点. (1)请求抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A,B两点的坐标; (2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值; (3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线? 若存在,请求出;如果不存在,请说明理由.. x M A B C y O 【答案】解: (1)∵y=mx2―2mx―3m=m(x2―2x―3)=m(x-1)2―4m, ∴抛物线顶点M的坐标为(1,―4m) 2分 ∵抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点, ∴当y=0时,mx2―2mx―3m=0, ∵m>0, ∴x2―2x―3=0, 解得x1=-1,x,2=3, ∴A,B两点的坐标为(-1,0)、(3,0). 4分 (2)当x=0时,y=―3m, ∴点C的坐标为(0,-3m), ∴S△ABC=×|3-(-1)|×|-3m|=6|m|=6m, 5分 过点M作MD⊥x轴于D,则OD=1,BD=OB-OD=2,MD=|-4m|=4m. x M A B C y O D N ∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC =BD·DM+(OC+DM)·OD-OB·OC =×2×4m+(3m+4m)×1-×3×3m=3m, 7分 ∴S△BCM: S△ABC=1∶2. 8分 (3)存在使△BCM为直角三角形的抛物线. 过点C作CN⊥DM于点N,则△CMN为Rt△,CN=OD=1,DN=OC=3m, ∴MN=DM-DN=m, ∴CM2=CN2+MN2=1+m2, 在Rt△OBC中,BC2=OB2+OC2=9+9m2, 在Rt△BDM中,BM2=BD2+DM2=4+16m2. ①如果△BCM是Rt△,且∠BMC=90°时,CM2+BM2=BC2, 即1+m2+4+16m2=9+9m2, 解得 m=±, ∵m>0,∴m=. ∴存在抛物线y=x2-x-使得△BCM是Rt△; 10分 ②①如果△BCM是Rt△,且∠BCM=90°时,BC2+CM2=BM2. 即9+9m2+1+m2=4+16m2, 解得 m=±1, ∵m>0,∴m=1. ∴存在抛物线y=x2-2x-3使得△BCM是Rt△; ③如果△BCM是Rt△,且∠CBM=90°时,BC2+BM2=CM2. 即9+9m2+4+16m2=1+m2, 整理得 m2=-,此方程无解, ∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在. (或∵9+9m2>1+m2,4+16m2>1+m2,∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.) 综上的所述,存在抛物线y=x2
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