一元二次方程与动点及答案.doc
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一元二次方程与动点及答案.doc
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1、如图,在△ABC中,∠B=90°,BC=12cm,AB=6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
P
C
A
B
Q
←
↑
2.△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空:
BQ=,PB=(用含t的代数式表示);
(2)当t为何值时,PQ的长度等于5cm?
(3)是否存在t的值,使得△PBQ的面积等于4cm2?
若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8.点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.设P、Q分别从A、B同时出发,运动时间为t,当其中一点先到达终点时,另一点也停止运动.解答下列问题:
(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)是否存在这样的时刻t,使线段PQ恰好平分△ABC的面积?
若存在,求出运动时间t;若不存在,请说明理由.
4.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒,使△PBQ的面积等于8cm2?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒,使△PCQ的面积等于12.6cm2?
5.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以3厘米每秒的速度向点B移动,一直到达点B为止.点Q以2厘米每秒的速度向点D移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10厘米?
6.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2cm/s的速度向点B移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?
Q
P
B
D
A
C
7.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线l上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题:
(1)当t=3秒时,求S的值;
(2)当t=5秒时,求S的值;
(3)当5秒≤t≤8秒时,求S与t的函数关系式.
8.2012•重庆模拟)如图,已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm,QR=12cm,AB与QR在同一条直线l上.开始时点Q与点B重合,让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动,直至点R与点A重合为止,设运动时间为t(s),t>0.
(1)点P与点D重合时,令PR与BC交于M点,求PM的长度;
(2)设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2,直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)在运动的过程中,令线段PR与线段AD的交点为N(若无交点则不考虑),则是否存在t的值,使△NQR为等腰三角形?
若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.
9.(2012•市南区模拟)如图,已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm,QR=8cm,AB与QR在同一直线l上,开始时点Q与点A重合,让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动,同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动,直至点Q与点B重合时,都停止运动,设运动的时间为t(s),四边形PMBN的面积为S(cm2).
(1)当t=1s时,求S的值;
(2)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围(不考虑端点);
(3)是否存在某一时刻t,使得四边形PMBN的面积?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)是否存在某一时刻t,使得四边形PMBN为平行四边形?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
10.如图1,在长为44,宽为12的矩形PQRS中,将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置,其中边AB、DE在PQ上,边EF在QR上,边BC、DG在同一直线上,且Rt△ABC两直角边BC=6,AB=8,正方形DEFG的边长为4.从初始时刻开始,三角形纸片ABC,沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移;同时正方形纸片DEFG,沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移,当边GF落在SR上时,纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移,直至G点与S点重合时,两张纸片同时停止移动.设平移时间为x秒.
(1)请填空:
当x=2时,CD= 2 ,DQ= 4 ,此时CD+DQ = CQ(请填“<”、“=”、“>”);
(2)如图2,当纸片DEFG沿QR方向平移时,连接CD、DQ和CQ,求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围(这里规定线段的面积为零);
(3)如图3,当纸片DEFG沿RS方向平移时,是否存在这样的时刻x,使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出对应x的值;若不存在,请说明理由.
11.(2013•长春)如图①,在▱ABCD中,AB=13,BC=50,BC边上的高为12.点P从点B出发,沿B﹣A﹣D﹣A运动,沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度,沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度.点Q从点B出发沿BC方向运动,速度为每秒5个单位长度.P、Q两点同时出发,当点Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(秒).连结PQ.
(1)当点P沿A﹣D﹣A运动时,求AP的长(用含t的代数式表示).
(2)连结AQ,在点P沿B﹣A﹣D运动过程中,当点P与点B、点A不重合时,记△APQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式.
(3)过点Q作QR∥AB,交AD于点R,连结BR,如图②.在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中,当线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.
(4)设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,直接写出C′D′∥BC时t的值.
12.(2006•青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是△EFG斜边上的中点.
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在△EFG平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).
(1)当x为何值时,OP∥AC;
(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:
24?
若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.(参考数据:
1142=12996,1152=13225,1162=13456或4.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)
1.解:
设x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2,由题意可得:
2x(6-x)÷2=8
解得x1=2,x2=4.
经检验均是原方程的解.
答:
2或4秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.
2.解:
(1)由题意,得
BQ=2t,PB=5-t.
故答案为:
2t,5-t.
(2)在Rt△PBQ中,由勾股定理,得
4t2+(5-t)2=25,
解得:
t1=0,t2=2.
(3)由题意,得
2t(5−t)
2
=4,
解得:
t1=1,t2=4(不符合题意,舍去),
∴当t=1时,△PBQ的面积等于4cm2.
3.解:
(1)设经过x秒,△PBQ的面积等于8cm2则:
BP=6-x,BQ=2x,
所以S△PBQ=
1
2
×(6-x)×2x=8,即x2-6x+8=0,
可得:
x=2或4(舍去),
即经过2秒,△PBQ的面积等于8cm2.
(2)设经过y秒,线段PQ恰好平分△ABC的面积,△PBQ的面积等于12cm2,S△PBQ=
1
2
×(6-y)×2y=12,
即y2-6y+12=0,
因为△=b2-4ac=36-4×12=-12<0,所以△PBQ的面积不会等于12cm2,则线段PQ不能平分△ABC的面积.
4.相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用.菁优网版权所有
几何动点问题.
(1)设x秒时.由三角形的面积公式列出关于x的方程,(6﹣x)•2x=8,通过解方程求得x1=2,x2=4;
(2)过Q作QD⊥CB,垂足为D,构建相似三角形△CQD∽△CAB,由该相似三角形的对应边成比例得到,即QD=;
然后由三角形的面积公式列出关于x的方程(14﹣x)•=12.6,解之得x1=7,x2=11.由实际情况出发,来对方程的解进行取舍.
解:
(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ面积为8cm2,
由题意得(6﹣x)•2x=8,解之,得x1=2,x2=4,
经过2秒时,点P到距离B点4cm处,点Q到距离B点4cm处;
或经4秒,点P到距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处,△PBQ的面积为8cm2,
综上所述,经过2秒或4秒,△PBQ的面积为8cm2;
(2)当P在AB上时,经x秒,△PCQ的面积为:
×PB×CQ=×(6﹣x)(8﹣2x)=12.6,
解得:
x1=(不合题意舍去),x2=,
经x秒,点P移动到BC上,且有CP=(14﹣x)cm,点Q移动到CA上,且使CQ=(2x﹣8)cm,
过Q作QD⊥CB,垂足为D,由△CQD∽△CAB得,
即QD=,
由题意得(14﹣x)•=12.6,解之得x1=7,x2=11.
经7秒,点P在BC上距离C点7cm处,点Q在CA上距离C点6cm处,使△PCQ的面积等于12.6cm2.
经11秒,点P在BC上距离C点3cm处,点Q在CA上距离C点14cm处,14>10,点Q已超出CA的范围,此解不存在.
综上所述,经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm2.
5.解:
设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,
作PH⊥CD,垂足为H,
则PH=AD=6,PQ=10,HQ=CD-AP-CQ=16-5t,
∵PH2+HQ2=PQ2
可得:
(16-5t)2+62=102,
解得t1=4.8,t2=1.6.
答:
P,Q两点从出发经过1.6或4.8秒时,点P,Q间的距离是10cm.
6.答案略
分析:
7.
(1)当t=3时,CQ=3,过P作PE⊥QR于E,易求得PE的长和△QPE的面积,设PQ交CD于G,由于CG∥PE,可证得△CQG∽△EQP,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值.
(2)当t=5时,Q、B重合,线段PR与CD相交,设PR与CD相交于G,可仿照
(1)的方法求得△RCG的面积,从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积.
(3)当5≤t≤8时,AB与PQ相交,RP与CD相交,仿照
(1)的方法,可求得正方形外部的两个小三角形的面积,进而可参照
(2)的方法求得阴影部分的面积表达式,由此可得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可得到S的最大值.
解答:
解:
(1)作PE⊥QR,E为垂足.
∵PQ=PR,
∴QE=RE=QR=4,
在Rt△PEQ中
∴PE==3;(1分)
当t=3时,QC=3,设PQ与DC交于点G.
∵PE∥DC,
∴△QCG∽△QEP.(2分)
∴,
∵S△QEP=×4×3=6,
∴S=×6=(cm2).(3分)
(2)当t=5时,CR=3.
设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP,可求出CG=,
所以,S△RCG=×3×=(cm2),(5分)
S=12﹣=(cm2).(6分)
(3)当5≤t≤8时,QB=t﹣5,RC=8﹣t,设PQ交AB于点H,
由△QBH∽△QEP,EQ=4,∴BQ:
EQ=(t﹣5):
4,
∴S△BQH:
S△PEQ=(t﹣5)2:
42,又S△PEQ=6,
∴S△QBH=(t﹣5)2(7分)
由△RCG∽△REP,同理得S△RCG=(8﹣t)2(8分)
∴S=12﹣(t﹣5)2﹣(8﹣t)2.即S=﹣(9分)
当t=﹣=时,S最大,S的最大值==(cm2).(10分)
考8.点:
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分析:
(1)由正方形的性质可以得出DC∥AB,就有∠CDR=∠ARD,在Rt△PQR中,由PQ=6cm,QR=12cm有tan∠ARD=,就可以得出MC,再根据勾股定理就可以求出PM的值;
(2)分情况求出当当0<t≤6时,当6<t≤12时,12<t≤18时,根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S的解析式;
(3)根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算,先运用勾股定理将三角形的三边表示出来,由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了.
解答:
解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=BC,CD∥AB,∠C=90°,
∴∠CDR=∠ARD,
∵PQ=6cm,QR=12cm,
∴tan∠ARD=,
∴tan∠CDR==,
∵CD=6,
∴CM=3,
在Rt△CPM中,由勾股定理,得
PM==3.
(2)如图1,当0<t≤6时,
∵QB=t,QR=12,
∴BR=12﹣t,
∴BM=6﹣0.5t,
∴S=,
∴S=﹣t2+6t,
如图2,当6<t≤12时,
∵AR=12﹣t+6=18﹣t,BR=12﹣t,
∴SA=9﹣0.5t,MB=6﹣0.5t
∴S=,
=3t+45,
如图3,12<t≤18时,
AR=6﹣(t﹣12)=18﹣t,AS=9﹣0.5t,
∴S=,
=t2﹣9t+81;
(3)当6<t≤12时,由图象得:
QN2=AQ2+AN2=(t﹣6)2+(9﹣0.5t)2=t2﹣21t+117,
NR2=AN2+AR2=(9﹣0.5t)2+(18﹣t)2=t2﹣45t+405
RQ2=144
①如图4,当QR2=NR2时,
t2﹣45t+405=144,
解得:
t1=18+t>12(舍去),t2=18﹣;
②如图5,当QN2=QR2时,
t2﹣21t+117=144,
解得:
t1=﹣1.2(舍去),t2=18(舍去),
③如图6,当QN2=RN2时,
t2﹣21t+117=t2﹣45t+405,
解得:
t=12,
12<t≤18与6<t≤12时一致,而t=18时△NQR不存在,
∴t=12或t=18﹣.
9.
(1)当t=1时,AQ=MQ=1,AB=PQ=4,
∴MP=QB=4﹣1=3.
∵QR=8,
∴BR=8﹣3=5.
∵在Rt△PQR中,PQ=4,QR=8,
∴tan∠PRQ==.
∴,
∴,
∴BN=2.5.
S四边形PMBN==(0≤t≤4);
(2)由题意,得
AQ=MQ=t,PM=BQ=4﹣t,BR=8﹣(4﹣t)=4+t,
∴BN=2+t,
∴S四边形PMBN=,
=t2﹣4t+12(0≤t≤4);
(3)由题意,得
t2﹣4t+12=×4×8,
解得:
t1=8+4(舍去),t2=8﹣4,
∴t的值为8﹣4;
(4)∵四边形PMBN是平行四边形,
∴PM=BN.
∵PM=4﹣t,BN=2+t,
∴4﹣t=2+t,
∴t=
∴t=时,四边形PMBN为平行四边形.
10.
分析:
(1)当x=2时,延长ED交BC于H,延长GD交PQ于点K,就有EQ=DK=2x,BK=HD=x,BQ=4+x,就可以求出CH=6﹣2x,再根据勾股定理就可以求出CD、DQ及CQ的值;
(2)由图形观察可以得出S△CDQ=S△CBQ﹣S△CHD﹣S梯形HBQD,只要根据条件分别表示出=S△CBQ、S△CHD、S梯形HBQD的面积即可;
(3)根据数学分类讨论思想,从不同的时间进行计算.如图6,当CD=AC时,作CH⊥GD的延长线于点H,解直角三角形CHD;如图7,当AD=AC时,作DH⊥PQ于点H,解直角三角形ADH;如图8,当AD=CD时,作DK⊥BC于BC延长线于点K,作DH⊥PQ于点H,解直角三角形DCK和直角三角形DHA;如图9,当CD=AC时,作DK⊥BC于BC延长线于点K,解直角三角形DKC;如图10,当AD=AC时,作DH⊥PQ于点,解直角三角形DHA.结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度,根据勾股定理建立方程求出x的值即可.
解答:
解:
(1)延长ED交BC于H,延长GD交PQ于点K,
∴EQ=DK=2x,BK=HD=x,BQ=4+x,
∵x=2,BC=6,DE=4,
∴EQ=DK=HB=4,BK=HD=2,BQ=6,
∴CH=2.
在Rt△CHD、Rt△DKQ、Rt△CBQ中,由勾股定理得:
CD=2,DQ=4,CQ=6.
∴CD+DQ=6,
∴CD+DQ=CQ.
故答案为:
2,4,=;
(2)当0≤x≤2时,如图2,
∵EQ=DK=2x,BK=HD=x,BQ=4+x,CH=6﹣2x,
∴S△CDQ=,
=﹣x2﹣4x+12
当2<x≤3时,如图5,作CH⊥DG于H,DK⊥BC于K,
∴EQ=BK=2x,CK=HD=6﹣2x,BQ=4+x,CH=x,
∴S△CDQ=CK•KD+KB•BQ﹣﹣﹣,
=(6﹣2x)x+2x(4+x)﹣﹣﹣,
=x2+4x﹣12;
当3<x≤4时,如图3,作DH⊥BC的延长线于H,
∴EQ=HB=2x,HD=x,BQ=4+x,CH=2x﹣6,
∴S△CDQ=HB•QB﹣﹣﹣,
=2x(4+x)﹣﹣﹣,
=8x+2x2﹣x2+3x﹣4x﹣12﹣3x,
=x2+4x﹣12.
∴S=,
(3)∵纸片DEFG沿RS方向平移,
∴4≤x≤24.
如图6,当CD=AC时,作CH⊥GD的延长线于点H,
∴GR=2x﹣4,BQ=x+4,
∴DH=12﹣6﹣4=2,CH=(x+4)﹣(2x﹣4)=8﹣x,
∵AB=8,BC=6,
∴AC==10
在Rt△CHD中,由勾股定理,得
(8﹣x)2+22=100,
解得:
x1=8+4,x2=8﹣4<4(舍去);
如图7,当AD=AC时,作DH⊥PQ于点H,
∴GR=2x﹣4,BQ=x+4,
∴DH=12﹣4=8,AH=(x+4+8)﹣(2x﹣4)=16﹣x,
在Rt△ADH中,由勾股定理,得
(16﹣x)2+82=100,
解得:
x1=22,x2=10;
如图8,当AD=CD时,作DK⊥BC于BC延长线于点K,作DH⊥PQ于点H,
∴GR=2x﹣4,BQ=x+4,
∴DK=2x﹣4﹣(x+4)=x﹣8,KC=12﹣4﹣6=2,
AH=x+4+8﹣(2x﹣4)=16﹣x,DH=12﹣4=8.
∴(x﹣8)2+4=(16﹣x)2+64,
∴x=15;
综上所述:
纸片DEFG沿RS方向平移,当x的值为:
22,10,15,8+4时,
以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形.
11.
分析:
(1)分情况讨论,当点P沿A﹣D运动时,当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值;
(2)分类讨论,当0<t<1时,当1<t<时,根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式;
(3)分情况讨论,当0<t<1时,当1<t<时,当<t<时,利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可;
(4)分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时,如图⑥,根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形,根据其性质建立方程求出其解,当P在D﹣A之间如图⑦,根据菱形的性质建立方程求出其解即可.
解答:
解:
(1)当点P沿A﹣D运动时,AP=8(t﹣1)=8t﹣8.
当点P沿D﹣A运动时,AP=50×2﹣8(t﹣1)=108﹣8t.(2分)
(2)当点P与点A重合时,BP=AB,t=1.
当点P与点D重合时,AP=AD,8t﹣8=50,t=.
当0<t<1时,如图①.
过点Q作QE⊥AB于点E.
S△ABQ==,
∴QE===.
∴S=﹣30t2+30t.
当1<t≤时,如图②.
S==,
∴S=48t﹣48;
(3)当点P与点R重合时,
AP=BQ,8t﹣8=5t,t=.
当0<t≤1时,如图③.
∵S△BPM=S△BQM,
∴PM=QM.
∵AB∥QR,
∴∠PBM=∠QRM,∠BPM=∠MQR,
在△BPM和△RQM中
,
∴△BPM≌△RQM.
∴BP=RQ,
∵RQ=AB,
∴BP=AB
∴13t=13,
解得:
t=1
当1<t≤时,如图④.
∵BR平分阴影部分面积,
∴P与点R重合.
∴t=.
当<t≤时,如图⑤.
∵S△ABR=S△QBR,
∴S△ABR<S四边形BQPR.
∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分.
综上所述,当t=1或时,线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分.
(4)如图⑥,当P在A﹣D之间或D﹣A之间时,C′D′在BC上方且C′D′∥BC时,
∴∠C′OQ=∠OQC.
∵△C′OQ≌△COQ,
∴∠C′OQ=∠COQ,
∴∠CQO=∠COQ,
∴QC=OC,
∴50﹣5t=50﹣8(t﹣1)+13,或50﹣5t=8(t﹣1)﹣50+13,
解得:
t=7或t=.
当P在A﹣D之间或D﹣A之间,C′D′在BC下方且C′D′∥BC时,如图⑦.
同理由菱形的性质可以得出:
OD=PD,
∴50﹣5t+13=8(t﹣1)﹣50,
解得:
t=.
∴当t=7,t=,t=时,点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,且C′D′∥BC.
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- 一元 二次方程 答案