中考数学压轴题100题精21-40题及答案.doc
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中考数学压轴题100题精选(21-30题)
【021】如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y=(0<k2<|k1|)于E、F两点.
(1)图1中,四边形PEOF的面积S1=▲(用含k1、k2的式子表示);
(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).
①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
②记,S2是否有最小值?
若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。
【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么
(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【023】如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.
(1)求证:
梯形是等腰梯形;
(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;
(3)在
(2)中:
①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?
并指出符合条件的平行四边形的个数;②当取最小值时,判断的形状,并说明理由.
A
D
C
B
P
M
Q
60°
【024】如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.
(1)求点的坐标(用表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,试证明:
为定值.
【025】如图12,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.
(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?
并说明理由;
(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?
最大值是多少?
(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图象.
B
x
y
M
C
D
O
A
图12
(1)
B
x
y
O
A
图12
(2)
B
x
y
O
A
图12(3)
【026】如图11,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH
(HF∥DE,∠HDE=90°)的底边DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE=4,∠DEF=∠CBA,AH∶AC=2∶3
(1)延长HF交AB于G,求△AHG的面积.
(2)操作:
固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动,直到点D与点B重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯
形为DEFH′(如图12).
探究1:
在运动中,四边形CDH′H能否为正方形?
若能,
请求出此时t的值;若不能,请说明理由.
探究2:
在运动过程中,△ABC与直角梯形DEFH′重叠
部分的面积为y,求y与t的函数关系.
【027】阅读材料:
如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;
图12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【028】如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
【029】已知二次函数。
(1)求证:
不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式。
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。
【030】如图,已知射线DE与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为秒.
(1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当与射线DE有公共点时,求的取值范围;
②当为等腰三角形时,求的值.
O
x
y
E
P
D
A
B
M
C
【031】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).
现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA
向终点A运动,设运动时间为t秒.
(1)填空:
菱形ABCD的边长是▲、面积是▲、高BE的长是▲;
(2)探究下列问题:
①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形,并求出k的值。
【032】如图,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:
△ABC的最大面积?
C
A
B
N
M
【033】已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:
试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.
第
(2)题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
(第24题)
【034】若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)若点为锐角的费马点,且,则的值为________;
(2)如图,在锐角外侧作等边′连结′.
求证:
′过的费马点,且′=.
A
C
B
第(25)题
【035】如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),
点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,
设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;
(2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在
(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;
(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相
等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.
【036】已知:
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
26题图
y
x
D
B
C
A
E
E
O
【037】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B,又有定点P(2,0).[来源:
Zxxk.Com]
(1)若,且tan∠POB=,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线上的抛物线中,已知线段AB=,且在它的对称轴左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到的图像,求点P到直线AB的距离。
【038】如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′,此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q.
(1)四边形的形状是,
当α=90°时,的值是.
(2)①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值;
②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积.
(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使BP=?
若存在,请直接写出点P的坐标;基不存在,请说明理由.
【039】如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上.
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?
若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
(第24题)
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
【040】△与△是两个直角边都等于厘米的等腰直角三角形,M、N分别是直角边AC、BC的中点。
△位置固定,△按如图叠放,使斜边在直线MN上,顶点与点M重合。
等腰直角△以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移,直到点与点N重合。
设秒时,△与△重叠部分面积为平方厘米。
(1)当△与△重叠部分面积为平方厘米时,求△移动的时间;
(2)求与的函数关系式;
(3)求△与△重叠部分面积的最大值。
[来源:
Zxxk.Com]
【021】解:
(1);…………………………………3分
(2)①EF∥AB.……………………………………4分
证明:
如图,由题意可得A(–4,0),B(0,3),,.
∴PA=3,PE=,PB=4,PF=.
∴,
∴.…………………………6分
又∵∠APB=∠EPF.
∴△APB∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF.
∴EF∥AB.……………………………7分
②S2没有最小值,理由如下:
过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q.
由上知M(0,),N(,0),Q(,).………………8分
而S△EFQ=S△PEF,∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN
==
=.…………………………10分
当时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12.……………11分
∴0<S2<24,s2没有最小值.……………………………12分
说明:
1.证明AB∥EF时,还可利用以下三种方法.方法一:
分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式,利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF;方法二:
利用=来证明AB∥EF;方法三:
连接AF、BE,利用S△AEF=S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等,再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF.
2.求S2的值时,还可进行如下变形:
S2=S△PEF-S△OEF=S△PEF-(S四边形PEOF-S△PEF)=2S△PEF-S四边形PEOF,再利用第
(1)题中的结论.
【022】解:
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.……2分
∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:
△ACB是等腰直角三角形,又AB=4,
∴C(m,-2)代入得a=.∴解析式为:
y=(x-m)2-2.………………………5分
(亦可求C点,设顶点式)
(2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点.……………………………………7分
(3)由
(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形.
∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分
∴m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍).
当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍);
当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍)
综上所述:
存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.……………………………12分
A
D
C
B
P
M
Q
60°
【023】
(1)证明:
∵是等边三角形
∴
∵是中点∴∵
∴
∴∴∴梯形是等腰梯形.
(2)解:
在等边中,
∴
∴∴∴ 5分
∵∴ 6分
∴∴ 7分
(3)解:
①当时,则有
则四边形和四边形均为平行四边形∴
当时,则有,
则四边形和四边形均为平行四边形∴
∴当或时,以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有4个.
为直角三角形∵∴当取最小值时,
∴是的中点,而∴∴
【024】
(1)由可知,,又△ABC为等腰直角三角形,
∴,,所以点A的坐标是().
(2)∵∴,则点的坐标是().
又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:
,得:
解得∴抛物线的解析式为………7分
(3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,.
∵∴∽∴即,得∵∴∽∴即,得又∵
∴
即为定值8.
【025】解:
(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(0
则:
MC=∣-x+4∣=-x+4,MD=∣x∣=x;
∴C四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8
∴当点M在AB上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8;
(2)根据题意得:
S四边形OCMD=MC·MD=(-x+4)·x=-x2+4x=-(x-2)2+4
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0 (3)如图10 (2),当时,; 如图10(3),当时,; ∴S与的函数的图象如下图所示: 0 2· 4· · 2 · 4 S 的函数关系式并画出该函数的图象. 【026】解: (1)∵AH∶AC=2∶3,AC=6∴AH=AC=×6=4 又∵HF∥DE,∴HG∥CB,∴△AHG∽△ACB…………………………1分 ∴=,即=,∴HG=…………………………………2分 ∴S△AHG=AH·HG=×4×=……………………………………3分 (2)①能为正方形…………………………………………………………………4分 ∵HH′∥CD,HC∥H′D,∴四边形CDH′H为平行四边形 又∠C=90°,∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分 又CH=AC-AH=6-4=2 ∴当CD=CH=2时,四边形CDH′H为正方形 此时可得t=2秒时,四边形CDH′H为正方形…………………………6分 ②(Ⅰ)∵∠DEF=∠ABC,∴EF∥AB ∴当t=4秒时,直角梯形的腰EF与BA重合. 当0≤t≤4时,重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分 过F作FM⊥DE于M,=tan∠DEF=tan∠ABC=== ∴ME=FM=×2=,HF=DM=DE-ME=4-= ∴直角梯形DEFH′的面积为(4+)×2=∴y= (Ⅱ)∵当4<t≤5时,重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=S矩形CDH′H=2t∴y=-2t (Ⅲ)当5<t≤8时,如图,设H′D交AB于P.BD=8-t又=tan∠ABC= ∴PD=DB=(8-t)∴重叠部分的面积y=S, △PDB=PD·DB=·(8-t)(8-t)=(8-t)2=t2-6t+24 ∴重叠部分面积y与t的函数关系式: y=(0≤t≤4) -2t(4<t≤5) t2-6t+24(5<t≤8) 【027】解: (1)设抛物线的解析式为: 把A(3,0)代入解析式求得 所以,设直线AB的解析式为: 由求得B点的坐标为把,代入中 解得: 所以 6分 (2)因为C点坐标为(1,4),所以当x=1时,y1=4,y2=2所以CD=4-2=2 8分 (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h, 则,由S△PAB=S△CAB 得: ,化简得: 解得, 将代入中,解得P点坐标为 【028】解: (1)(5′)∵抛物线与轴交于点(0,3), ∴设抛物线解析式为 (1′) 根据题意,得,解得 ∴抛物线的解析式为 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)(2′) 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积= = ==9 (5′) (3)(2′)相似 如图,BD=;∴BE= DE=∴, 即: 所以是直角三角形 ∴,且, ∴∽(2′) 【029】解 (1)因为△= 所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。 …………(2分) (2)设x1、x2是的两个根,则,,因两交点的距离是,所以。 …………(4分) 即: 变形为: ……………………………………(5分) 所以: ,整理得: 解方程得: ,又因为: a<0,所以: a=-1 所以: 此二次函数的解析式为…………………………(6分) (3)设点P的坐标为,因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于,所以: AB=,所以: S△PAB= 所以: 即: ,则 当时,,即 解此方程得: =-2或3,当时,,即 解此方程得: =0或1 综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3)。 …(12分) 【030】解: (1),. (2分) (2)①当的圆心由点向左运动,使点到点并随继续向左运动时, 有,即. 当点在点左侧时,过点作射线,垂足为,则由, 得,则.解得. 由,即,解得. 当与射线有公共点时,的取值范围为. (5分) ②当时,过作轴,垂足为,有 .,即. O x y E P C D B Q A M F 解得. (7分) 当时,有, .解得. (9分) 当时,有 . ,即. 解得(不合题意,舍去). (11分) 当是等腰三角形时,,或,或,或. (12分) 2010年中考数学压轴题100题精选(31-40题)答案 【031】解: (1)5,24,…………………………………3分 (2)①由题意,得AP=t,AQ=10-2t.……………………………………1分 如图1,过点Q作QG⊥AD,垂足为G,由QG∥BE得△AQG∽△ABE,∴, ∴QG=,…………………………1分 ∴(≤t≤5). ∵(≤t≤5). ∴当t=时,S最大值为6.…………………1分 ②要使△APQ沿它的一
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