直线与平面平行经典题目.doc
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直线与平面平行经典题目.doc
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9.2直线与平面平行
●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种,即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.
2.直线与平面平行的判定:
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质:
如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线与交线平行.
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n,则m∥α的一个充分条件是
A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ
答案:
D
2.设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若m∥α,n∥α,则m∥n④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:
①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点,α与β可以相交.
答案:
A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
解析:
设α∩β=l,a∥α,a∥β,
过直线a作与α、β都相交的平面γ,
记α∩γ=b,β∩γ=c,
则a∥b且a∥c,
∴b∥c.
又bα,α∩β=l,∴b∥l.∴a∥l.
答案:
C
4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行 B.相交C.垂直D.互为异面直线
解析:
对于任意的直线与平面,若在平面α内,则存在直线m⊥;若不在平面α内,
且⊥α,则平面α内任意一条直线都垂直于,若不在平面α内,且于α不垂直,则它的射影在平面α内为一条直线,在平面内必有直线垂直于它的射影,则与垂直,
综上所述,选C.
5.已知平面和直线,给出条件:
①;②;③;④;⑤.
(i)当满足条件③⑤时,有;(ii)当满足条件②⑤时,有.
(填所选条件的序号)
●典例剖析
【例1】如下图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB且AM=FN,求证:
MN∥平面BCE.
证法一:
过M作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足(如上图),连结PQ.
∵MP∥AB,NQ∥AB,∴MP∥NQ.
又NQ=BN=CM=MP,∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ,PQ平面BCE.而MN平面BCE,∴MN∥平面BCE.
证法二:
过M作MG∥BC,交AB于点G(如下图),连结NG.
∵MG∥BC,BC平面BCE,MG平面BCE,∴MG∥平面BCE.
又==,∴GN∥AF∥BE,同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G,∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:
①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行.
【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
(1)求证:
直线MN∥平面PBC;
(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.
(1)证明:
∵P—ABCD是正四棱锥,
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE.
∵AD∥BC,∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA,
∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内,∴MN∥平面PBC.
(2)解:
由
(1)知MN∥PE,∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO==.
由
(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8,∴BE=.
在△PEB中,∠PBE=60°,PB=13,BE=,
根据余弦定理,得PE=.
在Rt△POE中,PO=,PE=,
∴sin∠PEO==.
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.
【例3】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:
AC⊥BC1;(II)求证:
AC1//平面CDB1;
(III)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
解析:
(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,
E是BC1的中点,∴DE//AC1,
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1//平面CDB1;
(III)∵DE//AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,在△CED中,
ED=AC1=,CD=AB=,CE=CB1=2,
∴,
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
●闯关训练
夯实基础
1.(07福建理)已知m、n为两条不同的直线,为两个不同的平面,
则下列命题中正确的是
A.∥,n∥∥B.∥,,m∥n
C.m⊥,m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥
解析:
A中m、n少相交条件,不正确;B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行,不正确;C中n可以在内,不正确,选D
2.(06福建卷)对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是
A.若m⊥,m⊥n,则n∥B.若m∥,n∥,则m∥n
C.若m,n∥,则m∥nD.若m、n与所成的角相等,则n∥m
解:
对于平面和共面的直线、真命题是“若则”,选C.
3.(06湖南卷)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点
作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()
A.4条B.6条C.8条D.12条
解:
如图,过平行六面体任意两条棱的中点
作直线,其中与平面平行的直线共有12条,选D.
4.(06重庆卷)若是平面外一点,则下列命题正确的是
A.过只能作一条直线与平面相交B.过可作无数条直线与平面垂直
C.过只能作一条直线与平面平行D.过可作无数条直线与平面平行
解析:
过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,
且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。
故选D
5.如图,在三棱柱ABC—A′B′C′中,点E、F、H、K分
别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的
重心.从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有
2条棱与平面PEF平行,则P为(C)
A.K B.H C.GD.B′
6.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确结论的编号是__________.(写出所有正确结论的编号)
解析:
A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行;
AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直;
DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.
答案:
①②④
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,斜边AB∥α,AB=2,AC、BC分别和平面α
成45°和30°角,则AB到平面α的距离为__________.
解析:
分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′,垂足分别为A′、B′.
设AA′=BB′=x,则AC2=()2=2x2,
BC2=()2=4x2.又AC2+BC2=AB2,∴6x2=
(2)2,x=2.答案:
2
8、(07江西)右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,
截面为ABC.已知A1B1=B1C1=l,∠AlBlC1=90°,AAl=4,BBl=2,CCl=3。
(I)设点O是AB的中点,证明:
OC∥平面A1B1C1;
x
z
y
M
G
D
S
F
C
B
E
A
A
第39题图
第38题图
F
E
P
D
C
(II)求二面角B—AC—A1的大小;
(Ⅲ)求此几何体的体积;
解法一:
(1)证明:
作交于,连.
则.因为是的中点,
所以.
则是平行四边形,因此有.
平面且平面,
则面.
(2)如图,过作截面面,分别交,于,.
作于,连.
因为面,所以,则平面.
又因为,,.
所以,根据三垂线定理知,所以就是所求二面角的平面角.
因为,所以,故,
即:
所求二面角的大小为.
(3)因为,所以.
.
所求几何体体积为.
解法二:
(1)如图,以为原点建立空间直角坐标系,
则,,,因为是的中点,
所以,.
易知,是平面的一个法向量.
因为,平面,所以平面.
(2),,
设是平面的一个法向量,则
则,得:
取,.
显然,为平面的一个法向量.
则,结合图形可知所求二面角为锐角.
所以二面角的大小是.
(3)同解法一.
培养能力
9.如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,
∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,
点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.
(I)证明PA⊥平面ABCD;
(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC?
证明你的结论.
(Ⅰ)证明因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,
所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,
由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.
同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解作EG//PA交AD于G,
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,连结EH,
则EH⊥AC,∠EHG即为二面角的平面角.
又PE:
ED=2:
1,所以
从而
(Ⅲ)解法一以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为
所以
设点F是棱PC上的点,则
令得
解得即时,
亦即,F是PC的中点时,、、共面.
又BF平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,BF//平面AEC.
解法二当F是棱PC的中点时,BF//平面AEC,证明如下,
证法一取PE的中点M,连结FM,则FM//CE.①
由知E是MD的中点.
连结BM、BD,设BDAC=O,则O为BD的中点.
所以BM//OE.②
由①、②知,平面BFM//平面AEC.
又BF平面BFM,所以BF//平面AEC.
证法二
因为
所以、、共面.
又BF平面ABC,从而BF//平面AEC.
探究创新
10.如下图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
(1)求证:
EM∥平面A1B1C1D1;
(2)求二面角B—A1N—B1的正切值;
(3)设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2(V1<V2),
求V1∶V2的值.
(1)证明:
设A1B1的中点为F,连结EF、FC1.
∵E为A1B的中点,∴EFB1B.
又C1MB1B,∴EFMC1.
∴四边形EMC1F为平行四边形.
∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1,
FC1平面A1B1C1D1,∴EM∥平面A1B1C1D1.
(2)解:
作B1H⊥A1N于H,连结BH.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BH⊥A1N.
∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.
∵EM∥平面A1B1C1D1,EM平面A1BMN,平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N,
∴EM∥A1N.又∵EM∥FC1,∴A1N∥FC1.
又∵A1F∥NC1,∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F.
设AA1=a,则A1B1=2a,D1N=a.
在Rt△A1D1N中,
A1N==a,∴sin∠A1ND1==.
在Rt△A1B1H中,B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·=a.
在Rt△BB1H中,tan∠BHB1===.
(3)解:
延长A1N与B1C1交于P,则P∈平面A1BMN,且P∈平面BB1C1C.
又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM,
∴P∈BM,即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.
又∵平面MNC1∥平面BA1B1,
∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.∵S=·2a·a=a2,S=·a·a=a2,
棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a,V1=·2a·(a2++a2)=a3,
∴V2=2a·2a·a-a3=a3.∴=.
●思悟小结
1.直线与平面的位置关系有三种:
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,后者又统称为直线在平面外.
2.辅助线(面)是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线(面).
教学点睛
1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系,以及直线与平面平行的判定定理及性质定理;结合本课时题目,使学生掌握解证线面平行的基本方法.
2.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.
拓展题例
【例1】在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.
(1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:
EF∥平面ABC;
(2)求证:
A1C1⊥AB;
(3)求点B1到平面ABC1的距离.
(1)证明:
∵E、F分别为AB1、BC1的中点,
∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC,∴EF∥AC.∴EF∥平面ABC.
(2)证明:
∵AB=CC1,∴AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱,
∴四边形ABB1A1为正方形.连结A1B,则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.
又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面A1ABB1.∴A1C1⊥AB.
(3)解:
∵A1B1∥AB,∴A1B1∥平面ABC1.
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.
过A1作A1G⊥AC1于点G,
∵AB⊥平面ACC1A1,
∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1,故A1G即为所求的距离,即A1G=.
评述:
本题(3)也可用等体积变换法求解.
2、(07全国Ⅱ)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证:
EF∥平面SAD;(Ⅱ)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小;
解法一:
(1)作交于点,则为的中点.
连结,又,故为平行四边形.
,又平面平面.
所以平面.
(2)不妨设,
则为等腰直角三角形.
取中点,连结,则.
又平面,所以,而,
所以面.
取中点,连结,则.
连结,则.
故为二面角的平面角
.
所以二面角的大小为.
解法二:
(1)如图,建立空间直角坐标系.
设,则
,.取的中点,则.
平面平面,
所以平面.
(2)不妨设,则.
中点
又,,
所以向量和的夹角等于二面角的平面角.
.所以二面角的大小为
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