全等三角形培优.docx
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2017年初中数学试卷
一、综合题(共32题;共413分)
1、如图1,正方形ABCD与正方形AEFG的边AB,AE(AB<AE)在一条直线上,正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为α.在旋转过程中,两个正方形只有点A重合,其它顶点均不重合,连接BE,DG.
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时,求证:
BE=DG;
(2)如图3,如果α=45°,AB=2,AE=3.
①求BE的长;②求点A到BE的距离;
(3)当点C落在直线BE上时,连接FC,直接写出∠FCD的度数.
2、(2015•恩施州)矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转,当旋转到如图所示的位置时,边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4.
(1)求AD的长;
(2)求阴影部分的面积和直线AM的解析式;
(3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;
(4)在抛物线上是否存在点P,使S△PAM=?
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
3、(2016•安徽)如图1,A,B分别在射线OA,ON上,且∠MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.
(1)求证:
△PCE≌△EDQ;
(2)延长PC,QD交于点R.
①如图1,若∠MON=150°,求证:
△ABR为等边三角形;
②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和的值.
4、(2016•成都)如图①,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连结BD.
(1)求证:
BD=AC;
(2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE.
①如图②,当点F落在AC上时,(F不与C重合),若BC=4,tanC=3,求AE的长;
②如图③,当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时,设射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.
5、(2016•重庆)在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是BC上一点,连接AD,过点A作AG⊥AD,在AG上取点F,连接DF.延长DA至E,使AE=AF,连接EG,DG,且GE=DF.
(1)若AB=2,求BC的长;
(2)如图1,当点G在AC上时,求证:
BD=CG;
(3)如图2,当点G在AC的垂直平分线上时,直接写出的值.
6、(2016•达州)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为:
________.
②BC,CD,CF之间的数量关系为:
________;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.
7、(2016•舟山)我们定义:
有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解:
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;
(2)问题探究;
如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展;
如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.
8、(2016•贵港)如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.
(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证:
△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的长.
(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:
线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?
并说明理由.
9、(2016•义乌)对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0).
(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.
(2)如图,点M是直线l上的一点,点A关于点M的对称点的点B,点B关于直线l的对称轴为点C.
①若A、B、C三点不在同一条直线上,判断△ABC是否是直角三角形?
请说明理由.
②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值.
10、(2016•衢州)如图1,在直角坐标系xoy中,直线l:
y=kx+b交x轴,y轴于点E,F,点B的坐标是(2,2),过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A、C,点D是线段CO上的动点,以BD为对称轴,作与△BCD或轴对称的△BC′D.
(1)当∠CBD=15°时,求点C′的坐标.
(2)当图1中的直线l经过点A,且k=﹣时(如图2),求点D由C到O的运动过程中,线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积.
(3)当图1中的直线l经过点D,C′时(如图3),以DE为对称轴,作于△DOE或轴对称的△DO′E,连结O′C,O′O,问是否存在点D,使得△DO′E与△CO′O相似?
若存在,求出k、b的值;若不存在,请说明理由.
11、(2016•葫芦岛)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)请直接写出线段AF,AE的数量关系________;
(2)将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图②,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
(3)在图②的基础上,将△CED绕点C继续逆时针旋转,请判断
(2)问中的结论是否发生变化?
若不变,结合图③写出证明过程;若变化,请说明理由.
12、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如图1,若A,B两点的坐标分别是A(0,4),B(﹣2,0),求C点的坐标;
(2)如图2,作∠ABC的角平分线BD,交AC于点D,过C点作CE⊥BD于点E,求证:
CE=BD;
(3)如图3,点P是射线BA上A点右边一动点,以CP为斜边作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点,当点P运动时,点Q是否恒在射线BD上?
若在,请证明;若不在,请说明理由.
13、如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过________后,点P与点Q第一次在△ABC的________边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
14、如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(提示:
正方形的四条边都相等,四个角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF,BD所在直线的位置关系为________,线段CF,BD的数量关系为________;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足________条件时,CF⊥BC(点C,F不重合),不用说明理由.
15、如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
16、已知:
等腰△ABC中,AB=AC,点D是直线AC上一动点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,∠CAE的角平分线所在的直线交BE于F,连结CF.
(1)如图1,当点D在线段AC上时,求证:
∠ABE=∠ACF;
(2)如图2,当∠ABC=60°且点D在线段AC上时,求证:
AF+EF=FB.(提示:
将线段FB拆分成两部分)
(3)①如图3,当∠ABC=45°其点D在线段AC上时,线段AF、EF、FB仍有
(2)中的结论吗?
若有,加以证明;若没有,则有怎样的数量关系,直接写出答案即可.
②如图4,当∠ABC=45°且点D在CA的延长线时,请你按题意将图形补充完成.并直接写出线段AF、EF、FB的数量关系.
17、(2016•金华)在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(﹣6,0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.
(1)如图2,若α=60°,OE=OA,求直线EF的函数表达式.
(2)若α为锐角,tanα=,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.
(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为:
1?
若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由
18、在图中,正方形AOBD的边AO,BO在坐标轴上,若它的面积为16,点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当M到达B点时,运动停止.连接AM,过M作AM⊥MF,且满足AM=MF,连接AF交BD于E点,过F作FN⊥x轴于N,连接ME.设点M运动时间为t(s).
(1)直接写出点D和M的坐标(可用含t式子表示);
(2)当△MNF面积为时,求t的值;
(3)△AME能否为等腰三角形?
若不能请说明理由;若能,求出t的值.
19、如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:
∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?
并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
20、已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F.
(1)如图1,当点P为AB的中点时,连接AF,BE.求证:
四边形AEBF是平行四边形;
(2)如图2,当点P不是AB的中点,取AB的中点Q,连接EQ,FQ.试判断△QEF的形状,并加以证明.
21、图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和OD′E′叠放在一起(C与O重合).
(1)操作:
固定△ABC,将△ODE绕点C顺时针旋转30°,后得到△ODE,连接AD、BE、CE的延长线交AB于F(图2):
探究:
在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?
试证明你的结论.
(2)在
(1)的条件下将△ODE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR,当点P与点F重合时停止运动(图3).探究:
设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.
(3)将图1中△ODE固定,把△ABC沿着OE方向平移,使顶点C落在OE的中点G处,设为△ABG,然后奖△ABG绕点G顺时针旋转,边BG交边DE于点M,边AG交边DO于点N,设∠BGE=α(30°<α<90°)(图4).探究:
在图4中,线段ON•EM的值是否随α的变化而变化?
如果没有变化,请你求出ON•EM的值,如果有变化,请你说明.
22、如图
(1),在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,P是AD的中点,N是BC延长线上一点,连结PN,过点P作PN的垂线,交AB于点E,交CD的延长线于点F,连结EN,FN,设CN=x,AE=y.
(1)求证:
PE=PF;
(2)当0<x<时,求y关于x的函数表达式;
(3)若将“矩形ABCD”变为“菱形ABCD”,如图
(2),AB=BC=4,∠B=60°,当0<x<3时,其它条件不变,求此时y关于x的函数表达式.
23、分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.
(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的关系(只写结论,不需证明);
(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,
(1)中结论还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
24、如图1,等边△ABC边长为6,AD是△ABC的中线,P为线段AD(不包括端点A、D)上一动点,以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE,连结BE.
(1)点P在运动过程中,线段BE与AP始终相等吗?
说说你的理由;
(2)若延长BE至F,使得CF=CE=5,如图2,问:
①求出此时AP的长;
②当点P在线段AD的延长线上时,判断EF的长是否为定值,若是请直接写出EF的长;若不是请简单说明理由.
25、如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出说明理由;如果不成立,请说明理由.
26、如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°连OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?
若成立,请证明:
若不成立,说明理由.
27、如图:
在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:
AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
28、如图1,C是线段BE上一点,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE,连结AE、BD.
(1)求证:
BD=AE;
(2)如图2,若M、N分别是线段AE、BD上的点,且AM=BN,请判断△CMN的形状,并说明理由.
29、已知A(0,2),B(4,0).
(1)如图1,连接AB,若D(0,﹣6),DE⊥AB于点E,B、C关于y轴对称,M是线段DE上的一点,且DM=AB,连接AM,试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,在
(1)的条件下,若N是线段DM上的一个动点,P是MA延长线上的一点,且DN=AP,连接PN交y轴于点Q,过点N作NH⊥y轴于点H,当N点在线段DM上运动时,△MQH的面积是否为定值?
若是,请求出这个值;若不是,请说明理由.
30、如图,在△ABC中,∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,AF=10cm,AC=14cm,动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为t.
(1)求证:
在运动过程中,不管t取何值,都有S△AED=2S△DGC.
(2)当t取何值时,△DFE与△DMG全等.
31、如图,在平面直角坐标系中,A,B,C为坐标轴上的三点,且OA=OB=OC=4,过点A的直线AD交BC于点D,交y轴于点G,△ABD的面积为8.过点C作CE⊥AD,交AB交于F,垂足为E.
(1)求D点的坐标;
(2)求证:
OF=OG;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得△CFP为等腰直角三角形?
若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
32、在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点,现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图).
(1)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的角度;
(2)试证明旋转过程中,△MNO的边MN上的高为定值;
(3)折△MBN的周长为p,在旋转过程中,p值是否发生变化?
若发生变化,说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求出p的值.
二、填空题(共8题;共8分)
33、(2015•贺州)如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=,有以下的结论:
①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是 ________(填入正确结论的序号).
34、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E在DC上,AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则S△ADE+S△CEF的值是________ .
35、(2016•宜宾)如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不含B、C两点),将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的有________(写出所有正确结论的序号)
①△CMP∽△BPA;
②四边形AMCB的面积最大值为10;
③当P为BC中点时,AE为线段NP的中垂线;
④线段AM的最小值为2;
⑤当△ABP≌△ADN时,BP=4﹣4.
36、如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是________.
37、已知:
如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点B,D,E在同一直线上,AF⊥BE于点F,那么线段BE,CE,AF三者之间的数量关系是________.
38、如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点G作GD⊥AC于D,下列四个结论:
①EF=BE+CF;
②∠BGC=90°+∠A;
③点G到△ABC各边的距离相等;
④设GD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确的结论是________.
39、如图,直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如图放置,顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上,则△ABC的面积为________.
40、如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=30°,点D是BC上一点,连接AD,过点A作AG⊥AD,点F在线段AG上,延长DA至点E,使AE=AF,连接EG,CG,DF,若EG=DF,点G在AC的垂直平分线上,则的值为________
三、解答题(共10题;共50分)
41、如图,在正方形ABCD中,AB=2,点P是边BC上的任意一点,E是BC延长线上一点,连结AP,作PFAP交DCE的平分线CF上一点F,连结AF交边CD于点G.
(1)求证:
AP=PF;
(2)设点P到点B的距离为x,线段DG的长为y,试求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当点P是线段BC延长线上一动点,那么
(2)式中y与x的函数关系式保持不变吗?
如改变,试直接写出函数关系式.
42、(2014•本溪)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不动,△ADE绕点A旋转,连接BE、CD,F为BE的中点,连接AF.
(1)如图①,当∠BAE=90°时,求证:
CD=2AF;
(2)当∠BAE≠90°时,
(1)的结论
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