角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用.doc
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角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用.doc
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1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。
分a、b两种情形:
图甲
a、如图甲:
一直线与角的一边平行
b、如图乙:
一直线与角的平分线平行
4
3
2
O
D
E
C
B
A
1
图乙
2.等腰三角形与角平分线往往出现平行线
a、如图甲:
等腰三角形的一腰与角的一边平行
b、如图乙:
等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行
3.等腰三角形与平行线往往出现角平分线
a、如图甲:
与一腰平行
b、如图乙:
与底边平行
角平分线、平行线、等腰三角形关系密切,在题设中若见其一,应思其二,想其三;或作其二,寻找发现其三,这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙,突破解题的一个难点,使一类题目变难为易成为可能,使学生对题目一看就会成为可能。
这种思维方法称为“知识板块”思维。
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例:
3
2
1
I
E
D
A
B
C
例1、如图1:
已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I,过点I作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E。
求证:
DE=BD+CE。
证明:
1
3
A
B
C
D
E
I
图
(2)
2
例2、如图2:
已知I是△ABC的内心,DI//AB交BC于点D,EI//AC交BC于E。
求证:
△DIE的周长等于BC。
证明:
同理:
EI=CE。
∴△DIE的周长=DI+IE+ED=BC
4
3
2
1
F
E
D
M
C
B
A
例3、如图3:
已知在△ABC中,ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D,DE//BC,交AB于点E,交AC于点F,求证:
EF=BE—CF。
证明:
同理:
CF=FD
∴EF=ED–FD=BE–CF
例1、例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形,并且同时出现两个,而这个发现是突破此类问题难点的关键。
例4、平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,的平分线交AD于点E,的平分线交AD于点F,BE、CF交于点G,FG=1。
求:
的度数。
解:
同理可证:
DF=CD=AB=3AF=1
∴EF=AD-(AF+DE)=4-2=2
∴∴
评注:
①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形,即△ABE和△DCF。
②利用平行四边形的对边相等,分别得到AF=DE=1。
③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到RT△BGC,RT△BGF。
④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。
⑤用三角形内角和定理得。
E
O
D
A
B
C
例5、在矩形ABCD中,AC与BD交于点O;DE平分ADC,交BC于点E,BDE=150,求COE的度数。
解:
∴
等边△OCD
∴
∵∴
评注:
①矩形的对角线相等且相互平分,即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。
③等腰三角形的一个底角=。
④此题关键是。
⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE”。
例6、在△ABC中,,AD⊥BC于点D,点E在BC的延长线上,且,AD=3,DE=4。
求:
CD:
CE的值。
解:
评注:
①关键由发现AC平分。
②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF。
③由勾股定理求出AE=5,从而求出CD:
CE的值。
3
C
B
A
E
D
1
2
例7、如图:
BD是角平分线DE//BC,交AB于点E。
求DE之长。
解:
。
。
设AE=AD=x;则DE=x
∴∴
∴
∴
评注:
①发现△AED仍为等腰直角三角形。
②由角平分线、平行线发现等腰△BED。
③设未知数,列方程求出DE之长。
(方程思想)
例8、如图:
已知Rt△ABC中,以AB为直径的⊙O交斜边BC于点D,OE//BC交AC于点E。
求证:
DE是⊙O的切线。
证明:
∴ED是圆O的切线。
评注:
①只能利用定义证明直线与圆相切。
②由等腰三角形和平行线,发现角平分线得∠1=∠2。
③利用全等三角形证等角,利用垂直证垂直。
C
P
B
A
O
1
2
3
4
例9、AB是⊙O的直径,BC是⊙O外一点。
PB⊥AB,AC//OP交⊙O于C点。
求证:
PC是⊙O的切线。
证明:
连结,则
。
【切线的判定方法:
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
】
评注:
①由等腰△AOC的构造出现,进而可发现∠3=∠4。
②利用直角∠B证明了∠PCO为直角。
③具体判定直线与圆相切的两个判别方法:
⑴作垂足,垂足在圆上。
⑵连半径,证明半径的外端就是垂足。
6
D
C
B
A
O
1
2
3
4
5
例10、已知:
AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线。
切点为点B,DC是⊙O的切线。
求证:
OC//AD。
证明:
连结OD,则
评注:
欲证相切,找垂直。
利用直角证直角。
C
D
B
A
O
31
1
2
例11、如图:
已知在梯形ABCD中,点O在AB上,半圆⊙O与AD、CD、BC相切,且AD=5,BC=3。
求AB的长。
解:
(方法一)连结OC、OD
则有
同理:
OA=AD=5
∴AB=OA+OB=5+3=8
(方法二)延长DA至E,延长CB至F,使AE=AD、BF=BC;连结EF,则EF//CD,且EF与⊙O相切。
则
(圆外切四边形的对边之和相等)。
例12、已知P为⊙O外一点,通过作⊙O的两条割线,分别交⊙O于A、B和C、D点,且AB是⊙O的直径。
已知PA=OA=4,AC=CD。
⑴求CD长。
⑵求cosB的值。
D
C
P
A
B
O
1
2
3
4
5
解:
连结BC、OC、AD。
设PC=y,CD=x.
∵PO=8,OB=4∴
∴y(y+x)=4×12
AB是圆O的直径.
∴BC=
∵∠BDA=90O
∴cosB=
评注:
①平行线截得成比例线段。
②割线定理可变成为成比例线段。
③代数法解几何题(方程思想)。
④引申说明:
BC是圆周角的平分线,因此一定会出现等腰三角形ACD;BC是∠ABD的平分线,而AB又是⊙O的直径。
因此,连结OC得等腰三角形BOC,进而观察联想到OC//BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。
同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。
例13、如图:
AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,直线DE切⊙O于点C,AB的延长线交ED于点E,CG⊥AB于点G,AD⊥CD于点D,AD交⊙O于点F.
H
F
D
C
E
A
B
O
G
1
2
3
求证:
AG·BG=AD·DF.
证明:
(方法一)连结OC,则
⑴
延长CG交⊙O于点H..
⑵
CD2=DF·AD⑶
由⑴⑵⑶得:
AG·GB=AD·DF.
(方法二)连结CB,则
评注:
①由平行线、等腰三角形得到角平分线。
②由角平分线性质得:
CD=CG.
③垂直平分弦定理;相交弦定理;切割线定理;综合得结论。
④运用射影定理结合切割线定理,关键还是得先证:
∠1=∠2;再证:
CG=CD.
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- 平分线 平行线 等腰三角形 知识 板块 应用