四边形综合复习讲义.doc
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第四章四边形综合
知识点:
一、平行四边形
1、平行四边形
(1)平行四边形定义:
(2)平行四边形的性质:
①
②③
④对称性
(3)平行四边形的判定:
①
②③
④
2、菱形
(1)菱形定义:
(2)菱形的性质:
①
②③
④对称性
菱形的面积=
(3)菱形的判定:
①
②③
3、矩形
(1)矩形定义:
(2)矩形的性质:
①
②③
④对称性
(3)矩形的判定:
①
②③
4、正方形
(1)正方形定义:
(2)正方形的性质:
①
②③
④对称性
(3)正方形的判定:
①
②③
④
二、梯形
梯形的分类:
(1)等腰梯形定义:
(2)等腰梯形性质:
①
②③
④对称性
(3)等腰梯形的判定:
①
②③
例题解析:
例1、.下列说法:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。
②一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。
其中正确的是()
(A)①②.(B)①②③.(C)②③④(D)①②③④。
例2、已知:
如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
例3、如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线,所围成的四边形EFGH显然是平行四边形.
(1)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时,相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种?
请将你的结论填入下表:
四边形ABCD
菱形
矩形
等腰梯形
平行四边形EFGH
(2)反之,当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时,相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件?
例4、如图所示,ABCD中,AE,AF是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE交AF于G.
(1)求ABCD的面积;
(2)求△ECD的面积;(3)求证:
△AEG为等边三角形.
例5、矩形ABCD中,AB=2,AD=.
(1)在边CD上找一点E,使EB平分∠AEC,并加以说明;
(2)若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.
①求证:
点B平分线段AF;
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到,若能,加以证明,并求出旋转度数;若不能,请说明理由.
A
B
C
P
D
E
例6、如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式
例7、如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.
(1)求证:
CD∥AB;
(2)求证:
△BDE≌△ACE;(3)若O为AB中点,求证:
OF=BE.
A
B
C
D
F
G
E
M
图1
例8、如图1,操作:
把正方形CGEF的对角线CE放在正方形
ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M。
(1)探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明。
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②、③
中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。
①DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;
②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2),其他条件不变;③在②的条件下且CF=2AD。
F
M
E
C
G
A
D
B
图33
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变。
探究:
线段MD、
MF的关系,并加以证明。
课后练习:
一、选择题
1、下列命题中,正确的是()
A一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形;
B一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
C对角线互相平分且相等的四边形一定是正方形;
D两条对角线相等的四边形是矩形.
2、如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形,那么原来的四边形一定是()
A平行四边形;B梯形;C对角线相等的四边形;D对角线垂直的四边形.
3、若等腰梯形的对角线互相垂直,且中位线长是10,则它的面积为()
A、50B、100C、150D、200
4、下列图形中,面积最大的是()
A、边长为正方形B、边长为2,高为1的平行四边形
C、对角线长分别为4和1的菱形D、中位线长为2,高为2的梯形。
5、七边形的对角线的条数是()
A10B12C14D16
6、下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()
A平行四边形B等边三角形C矩形D等腰梯形
7、如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AC=3cm,BD=4cm.作DE∥AC,交BC的延长线于E,则下列结论:
(1)四边形ACED是平行四边形.
(2)∠BDE=∠BOC=900;
(2)BC+AD=BE=5cm;(4)梯形ABCD的高DH==2.4cm,面积为6cm2;
(5)S梯形ABCD=SΔBDE.。
其中正确的有()
A5个B4个C3个D2个
8、如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31m,则长方形花坛ABCD的周长是()
A.36mB.48mC.96cmD.60m
9、把长为8cm的矩形按虚线对折,按图中的虚线剪出一个直角梯形,找开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是()
3cm
3cm
A.cm B.cm C.22cm D.18cm
10、在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为,△AOB的面积为S1,△COD的面积为S2,则的值为()
A.B.C.D.
二、填空题
1、一个多边形内角和为,则它的边数为______,共有对角线______条,外角和为______。
2、一个多边形除去一个内角外,其余内角的和为25700,则这个多边形的边数是____.
3、如图,是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动的菱形衣架,若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm,则∠1=_____
4.如图,矩形ABCD中,O是两对角线交点,AE⊥BD垂足为E。
若OE:
OD=1:
2,AE=cm,则DE=cm.
E
B
C
D
A
F
1
A
B
C
D
E
F
5、如图,正方形ABCD的边长为1,EF分别在BC、CD上,∠EAF=45º,若ΔCEF的面积为,则ΔEAF的面积为
A
B
D
C
6、如图,正方形ABCD,以AB为边分别在正方形内、外作等边△ABE、△ABF,则∠CFB=_______,若AB=4,则=_________.
7、如图,梯形中,,,且,分别以为边向梯形外作正方形,其面积分别为,则之间的关系是.
A
D
C
E
F
G
B
1
B33
A
C2
B2
C3
D3
B1
D2
C1
8、如图,菱形的边长为1,;作于点,以为一边,做第二个菱形,使;作于点,以为一边做第三个菱形,使;依此类推,这样做的第个菱形的边的长是.
9、如图,矩形中,cm,cm,点为边上的任意一点,四边形也是矩形,且,则.
B
A
E
C
D
F
G
10、如图,点A在线段BG上,四边形ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为7平方厘米和11平方厘米。
则△CDE的面积等于平方厘米
三、解答题
1、如图,已知:
在四边形ABFC中,=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
(2)当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
2、如图,矩形中,是与的交点,过点的直线与的延长线分别交于.
(1)求证:
;
F
D
O
C
B
E
A
(2)当与满足什么关系时,以为顶点的四边形是菱形?
证明你的结论.
3、梯形ABCD中,AB∥CD,E是AD的中点,证明
①如果AB+CD=BC,则有∠DEC=90°和CE是∠DCB的平分线
②如果∠BEC=90°,则有AB+CD=BC
③若△DEC的面积是12,求梯形ADCB的面积
A
B
C
D
O
F
E
4、如图,平行四边形中,,,.对角线相交于点,将直线绕点顺时针旋转,分别交于点.
(1)证明:
当旋转角为时,四边形是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段与总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数.
5、如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.
(1)求四边形ABCD四个内角的度数;
(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系,并说明理由;
(3)现有图甲中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个菱形吗?
若能,请你画出示意图.
A
B
C
D
6、如图,在与中,,相交于点,过点作交的延长线于点,过点作交的延长线于点相交于点.
(1)图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线)
(2)证明四边形是菱形;
(3)若使四边形是正方形,还需在的边长之间再添加一个什么条件?
请你写出这个条件.(不必证明)
D
G
C
B
E
H
F
A
7、如图,在等腰梯形中,,,,.动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动,动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动.两点同时出发,当点到达点时,点随之停止运动.
A
C
Q
D
P
B
(1)梯形的面积等于;
(2)当时,点离开点的时间等于秒;
(3)当三点构成直角三角形时,点离开点多少时间?
8、如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
⑴求证:
CE=CF;
⑵在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.
BC
AGDF
E
BC
AD
E
图2
图1
9、四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D同时出发,沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A移动。
①运动中的四边形PQEF是正方形吗?
请说明理由;
②PE在运动中是否总过某一点?
请说明理由是;
③边形PQEF的顶点位于何处时,其面积有最大值和最小值?
最大值和最小值各是多少?
10、在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q.
(1)当点P在线段ED上时(如图1),求证:
BE=PD+PQ;
(2)若BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(
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