二次函数中的面积计算问题.doc
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二次函数中的面积计算问题.doc
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二次函数中的面积计算问题
[典型例题]
第10题
例.如图,二次函数图象与轴交于A,B两点(A在B的左边),与轴交于点C,顶点为M,为直角三角形,图象的对称轴为直线,点是抛物线上位于两点之间的一个动点,则的面积的最大值为(C)
A.B.C.D.
二次函数中面积问题常见类型:
一、选择填空中简单应用
二、不规则三角形面积运用S=
三、运用
四、运用相似三角形
五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形
例1.如图1,已知:
正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为,AE为,则关于的函数图象大致是
图1
(D)
(B)
例2.解答下列问题:
如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
x
C
O
y
A
B
D
1
1
图1
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图2
A
思路分析
此题是二次函数中常见的面积问题,方法不唯一,可以用割补法,但有些繁琐,如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后,思路直接,过程较为简单,计算量相对也少许多,
答案:
(1)由已知,可设抛物线的解析式为y1=a(x-1)2+4(a≠0).把A(3,0)代入解析式求得a=-1,
∴抛物线的解析式为y1=-(x-1)2+4,即y1=-x2+2x+3.
设直线AB的解析式为y2=kx+b,
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3).把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b,解得k=-1,b=3.
∴直线AB的解析式为y2=-x+3.
(2)∵C(1,4),∴当x=1时,y1=4,y2=2.
∴△CAB的铅垂高CD=4-2=2.
S△CAB=×3×2=3(平方单位).
(3)解:
存在.
x
C
O
y
A
B
D
1
1
图2
P
设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h.
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x
由S△PAB=S△CAB得:
×3×(-x2+3x)=×3.
整理得4x2-12x+9=0,解得x=.
把x=代入y1=-x2+2x+3,得y1=.
∴P点的坐标为(,).
例3.(贵州省遵义市)如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD(点A转到点C的位置),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过C、D、B三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为P,求△PAB的面积;
-3
B
A
x
y
O
2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1
3
4
5
(3)抛物线上是否存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
思路分析:
根据题目所给信息,函数关系式和△PAB的面积很容易求出。
第(3)问是二次函数中常见的动点问题,由于点M是抛物线上的一个不确定点,点M可以处于不同的位置,是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化,故而用分类讨论的思想解决问题。
答案:
(1)由题意知C(-2,0),D(0,4).
∵抛物线经过B(4,0),C(-2,0).∴可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)
-3
B
A
x
y
O
2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1
3
4
5
P
E
将D(0,4)代入上式,解得a=-.
∴该抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)
即y=-x2+x+4.
(2)∵y=-x2+x+4=-(x-1)2+.
∴抛物线的顶点P的坐标为(1,).
过点P作PE⊥轴于点E,如图.
则S△PAB=S四边形PEOB-S△AOB-S△PEA
=×(1+4)×-×4×2-×(-2)×1=6.
(3)假设存在这样的点M,其坐标为M(x,y).
则S△MBC=|y|×6=S△PAB=6
即|y|×6=6,∴y=±2.
当y=2时,-(x-1)2+=2,解得x=;
当y=-2时,-(x-1)2+=-2,解得x=.
∴存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积,其坐标为:
M1(,2),M2(,2),M3(,-2),M4(,-2).
例4.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
B
A
y
O
P
E
C
x
(3)探究:
若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)解方程x2-2x-8=0,得x1=-2,x2=4.
∴A(4,0),B(-2,0).∵抛物线与x轴交于A,B
两点,∴可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0)
又∵抛物线与y轴交于点C(0,4),∴a×2×(-4)=4,
∴a=-.
∴抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4),即y=-x2+x+4
B
A
y
O
P
E
C
x
G
(2)设点P的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图.
∵A(4,0),B(-2,0),∴AB=6,BP=m+2.
∵PE∥AC,∴△BPE∽△BAC.
∴=,∴=,∴EG=
∴S△CPE=S△CBP-S△BPE
=BP·CO-BP·EG
=(m+2)(4-)
=-(m-1)2+3
又∵-2≤m≤4,∴当m=1时,S△CPE有最大值3.
此时点P的坐标为(1,0)
(3)存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,点Q的坐标为:
Q1(1,1),Q2(1,),Q3(1,),Q4(1,),Q5(1,)
B
A
y
O
C
x
Q1
Q2
Q4
Q3
Q5
设点Q的坐标为(1,n).
∵B(-2,0),C(0,4),∴BC2=(-2)2+42=20.
①当QB=QC时,则QB2=QC2.
即(-2-1)2+y2=(-1)2+(4-y)2,∴y=1.
∴Q1(1,1)
②当BC=BQ时,则BQ2=BC2.
即(-2-1)2+y2=20,∴y=.
∴Q2(1,),Q3(1,).
③当QC=BC时,则QC2=BC2.
即12+(4-y)2=20,∴y=.
∴Q4(1,),Q5(1,).
例5.如图1,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).(图2、图3为解答备用图)
(1)k=_____________,点A的坐标为_____________,点B的坐标为_____________;
(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
y
x
B
A
O
C
图2
y
x
B
A
O
C
图1
y
x
B
A
O
C
图3
解:
(1)-3,(-1,0),(3,0);
y
x
B
A
O
C
图1
M
(2)连结OM,如图1.
∵y=x2-2x+k=(x-1)2-4
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,-4).
S四边形ABMC=S△AOC+S△COM+S△MOB
=×1×3+×3×1+×3×4
=9
y
x
B
A
O
C
图2
D
说明:
也可过点M作抛物线的对称轴,将四边形ABMC的面积转化为求
一个梯形与两个直角三角形面积的和.
(3)设D(m,m2-2m-3),连结OD,如图2.
则0<m<3,m2-2m-3<0.
S四边形ABDC=S△AOC+S△COD+S△DOB
=×1×3+×3×m+×3×[-(m2-2m-3)]=-m2+m+6
y
x
B
A
O
C
图3
Q1
E
=-(m-)2+.
当m=时,四边形ABDC的面积最大.
此时m2-2m-3=()2-2×-3=-.
∴存在点D(,-),使四边形ABDC的面积最大.
(4)有两种情况:
如图3,过点B作BQ1⊥BC,交抛物线于点Q1、交轴于点E,连接Q1C.
∵在Rt△COB中,OB=OC=3,∴∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,OB=OE=3.
y
x
B
A
O
C
图4
F
Q2
∴点E的坐标为(0,3).
∴直线BE的解析式为y=-x+3.
令-x+3=x2-2x-3,解得,
∴点Q1的坐标为(-2,5).
如图4,过点C作CF⊥CB,交抛物线于点Q2、交x轴于点F,
连接BQ2.
∵∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,∴OF=OC=3.
∴点F的坐标为(-3,0).
∴直线CF的解析式为y=-x-3.
令-x-3=x2-2x-3,解得,
∴点Q2的坐标为(1,-4).
综上所述,在抛物线y=x2-2x-3上,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个,分别是:
Q1(-2,5)和Q2(1,-4).
[精选练习]
1.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP与PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为()
A
B
C
N
O
M
P
x
y
(第2题图)
2.如图,已知A、B是反比例函数(k>0,x<0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C。
动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C。
过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N。
设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为
A.
B.
O
t
S
O
t
S
O
t
S
O
t
S
C.
D.
3.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是
(第3题)
A
B
C
D
4.如图,两条抛物线y1=-χ2+1、y2=χ2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
5.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
A
x
y
B
O
6.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使△PBC的面积最大?
,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若不存在,请说明理由.
O
B
A
C
y
x
7.如图,已知抛物线y=ax2+bx-4与直线y=x交于点A、B两点,A、B的横坐标分别为-1和4.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若平行于y轴的直线x=m(0<m<+1)与抛物线交于点M,与直线y=x交于点N,交x轴于点P,求线段MN的长(用含m的代数式表示).
A
B
M
P
O
N
x
y
x=m
y=x
(3)在
(2)的条件下,连接OM、BM,是否存在m的值,使得△BOM的面积S最大?
若存在,请求出m的值,若不存在,请说明理由.
8.已知二次函数y=x2+ax+a-2.
(1)求证:
不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点;
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式;
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为?
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
9.已知:
t1,t2是方程t2+2t-24=0,的两个实数根,且t1<t2,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(t1,0),B(0,t2).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
B
A
O
Q
P
x
y
(3)在
(2)的条件下,当□OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使□OPAQ为正方形?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
10.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
y
x
B
D
O
A
E
C
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?
若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.
11.如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=90°,AD=6厘米,DC=4厘米,BC的坡度i=3:
4.动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.
(1)求边BC的长;
(2)当t为何值时,PC与BQ相互平分;
(3)连结PQ,设△PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式,
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
求t为何值时,y有最大值?
最大值是多少?
12.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
O
C
A
B
x
y
M
(图①)
O
C
A
B
x
y
(图②)
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
13.如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:
当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?
直角梯形?
等腰梯形?
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?
并求出最小值及此时PQ的长.
D
C
M
y
O
A
B
Q
P
x
14.如图,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线y=-x+m与x轴交于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
y
x
B
A
O
E
(3)若点P是
(2)中求出的抛物线AE段上一动点(不与A、E重合),设四边形OAPE的面积为S,求S的最大值.
15.已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4.设顶点为
点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.
O
P
C
B
A
x
y
图1
图2
M
O
A
x
P
N
C
B
y
二次函数中的面积计算问题参考答案
1.D2.A3.4.8
5.解:
(1)如图1,过点B作BM⊥x轴于M.
由旋转性质知OB=OA=2.
∵∠AOB=120°,∴∠BOM=60°.
A
x
y
B
O
图1
M
∴OM=OB·cos60°=2×=1,BM=OB·sin60°=2×=.
∴点B的坐标为(1,).
(2)设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点,∴c=0.
∴解得
∴所求抛物线的解析式为y=x2+x.
(3)存在.
如图2,连接AB,交抛物线的对称轴于点C,连接OC.
∵OB的长为定值,∴要使△BOC的周长最小,必须BC+OC的长最小.
∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称,∴OC=AC.
∴BC+OC=BC+AC=AB.
由“两点之间,线段最短”的原理可知:
此时BC+OC最小,点C的位置即为所求.
A
x
y
B
O
图2
C
设直线AB的解析式为y=kx+m,将A(-2,0),B(1,)代入,得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+.
抛物线的对称轴为直线x==-1,即x=-1.
将x=-1代入直线AB的解析式,得y=×(-1)+=.
∴点C的坐标为(-1,).
(4)△PAB有最大面积.
A
x
y
B
O
图3
D
P
如图3,过点P作y轴的平行线交AB于点D.
∵S△PAB=S△PAD+S△PBD
=(yD-yP)(xB-xA)
=[(x+)-(x2+x)](1+2)
=-x2-x+
=-(x+)2+
∴当x=-时,△PAB的面积有最大值,最大值为.
此时yP=×(-)2+×(-)=-.
∴此时P点的坐标为(-,-).
6.解:
(1)将A(1,0),B(-3,0)代入y=-x2+bx+c得
解得
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)存在.
该抛物线的对称轴为x=-=-1
∵抛物线交x轴于A、B两点,∴A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称.
O
B
A
C
y
x
Q
图1
由轴对称的性质可知,直线BC与x=-1的交点即为所求的Q点,此时△QAC的周长最小,如图1.
将x=0代入y=-x2-2x+3,得y=3.
∴点C的坐标为(0,3).
设直线BC的解析式为y=kx+b1,
将B(-3,0),C(0,3)代入,得
解得
∴直线BC的解析式为y=x+3.
联立解得
∴点Q的坐标为(-1,2).
(3)存在.
设P点的坐标为(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),如图2.
∵S△PBC=S四边形PBOC-S△BOC=S四边形PBOC-×3×3=S四边形PBOC-
当S四边形PBOC有最大值时,S△PBC就最大.
∵S四边形PBOC=SRt△PBE+S直角梯形PEOC
O
B
A
C
y
x
Q
图2
E
P
=BE·PE+(PE+OC)·OE
=(x+3)(-x2-2x+3)+(-x2-2x+3+3)(-x)
=-(x+)2++
当x=-时,S四边形PBOC最大值为+.
∴S△PBC最大值=+-=.
当x=-时,-x2-2x+3=-(-)2-2×(-)+3=.
∴点P的坐标为(-,)
7.解:
(1)由题意知A(-1,-1),B(4,4),代入y=ax2+bx-4,得
A
C
B
M
P
O
N
x
y
x=m
y=x
解得.
∴所求抛物线的解析式为y=x2-2x-4. 3分
由x=m和y=x,得交点N(m,m)
同理可得M(m,m2-2m-4),P(m,0)
∴PN=|m|,MP=|m2-2m-4|.
∵0<m<+1
∴MN=MP+PN=m-m2+2m+4=-m2+3m+4.
(3)过B作BC⊥MN于C
则BC=4-m,OP=m.
∴S=S△MON+S△BMN=MN·OP+MN·BC=MN(OP+BC)
=2(-m2+3m+4)
=-2(m-)2+.
∵-2<0
∴当m=时,S有最大值.
8.解:
(1)∵△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0
∴不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.
(2)设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根
则x1+x2=-a
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- 二次 函数 中的 面积 计算 问题