二次根式提高培优(1).doc
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二次根式提高培优(1).doc
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二次根式
(1)
【例1】下列各式1),
其中是二次根式的是_________(填序号).
举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是()
A、B、C、D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子有意义,则x的取值范围是.[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
举一反三:
1、使代数式有意义的x的取值范围是()
A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠4
2、使代数式有意义的x的取值范围是
3、如果代数式有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n)的位置在( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【例3】若y=++2009,则x+y=
1、若,则x-y的值为()
A.-1B.1C.2D.3
2、若x、y都是实数,且y=,求xy的值
3、当a取什么值时,代数式取值最小,并求出这个最小值。
已知a是整数部分,b是的小数部分,求的值。
若的整数部分是a,小数部分是b,则。
若的整数部分为x,小数部分为y,求的值.
【例4】若则.
举一反三:
1、若,则的值为。
2、已知为实数,且,则的值为()
A.3 B.–3 C.1 D.–1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+=0,则第三边长为______.
【例5】化简:
的结果为()
A、4—2aB、0C、2a—4D、4
举一反三:
1、在实数范围内分解因式:
=;
2、化简:
=
3、已知直角三角形的两直角边分别为和,则斜边长为
【例6】已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、
举一反三:
1、根式的值是()
A.-3B.3或-3C.3 D.9
2、已知a<0,那么│-2a│可化简为()
A.-aB.aC.-3aD.3a
3、若,则等于()
A.B.C.D.
4、若a-3<0,则化简的结果是()
(A)-1(B)1(C)2a-7(D)7-2a
5、化简得()
(A) 2 (B) (C)-2 (D)
6、当a<l且a≠0时,化简=.
7、已知,化简求值:
【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-b│+的结果等于()
A.-2bB.2bC.-2aD.2a
举一反三:
实数在数轴上的位置如图所示:
化简:
.
【例8】化简的结果是2x-5,则x的取值范围是( )
(A)x为任意实数(B)≤x≤4(C)x≥1(D)x≤1
举一反三:
若代数式的值是常数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.或
【例9】如果,那么a的取值范围是()
A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1
举一反三:
1、如果成立,那么实数a的取值范围是()
2、若,则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【例10】化简二次根式的结果是
(A)(B)(C)(D)
1、把二次根式化简,正确的结果是()
A. B. C. D.
2、把根号外的因式移到根号内:
当>0时,=;=。
【例11】在根式1),最简二次根式是()
A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)
举一反三:
1、中的最简二次根式是。
2、下列根式中,不是最简二次根式的是()
A. B. C. D.
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?
为什么?
(1)
(2)(3)(4)(5)(6)
5、把下列各式化为最简二次根式:
(1)
(2)(3)
【例12】下列根式中能与是合并的是()
A.B.C.2D.
举一反三:
1、下列各组根式中,是可以合并的根式是()
A、B、C、D、
2、在二次根式:
①;②;③;④中,能与合并的二次根式是。
3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,则a=__________.
【例13】把下列各式分母有理化
(1)
(2)(3)(4)
【例14】把下列各式分母有理化
(1)
(2)(3)(4)
【例15】把下列各式分母有理化:
(1)
(2)(3)
举一反三:
1、已知,,求下列各式的值:
(1)
(2)
2、把下列各式分母有理化:
(1)
(2)(3)
小结:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与; ②与;③与; ④与.
【例16】化简
(1)
(2)(3)(4)()(5)×
【例17】计算
(1)
(2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
【例18】化简:
(1)
(2)(3)(4)
【例19】计算:
(1)
(2)(3)(4)
【例20】能使等式成立的的x的取值范围是()
A、B、C、D、无解
【例20】计算
(1);
(2);
(3);(4)
【例21】
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
知识点七:
二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
1、2、(2+4-3)
3、·(-4)÷4、
5、)6、
7、8、
【例21】1.已知:
,求的值.
2.已知,求的值。
3.已知:
,求的值.
4.求的值.
5.已知、是实数,且,求的值.
知识点八:
根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法当时,①如果,则;②如果,则。
2、平方法当时,①如果,则;②如果,则。
3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:
①;②
8、求商比较法它运用如下性质:
当a>0,b>0时,则:
①;②
【典型例题】
【例22】比较与的大小。
(用两种方法解答)
【例23】比较与的大小。
【例24】比较与的大小。
【例25】比较与的大小。
【例26】比较与的大小
二次根式典型习题集
一、概念
(一)二次根式
下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
、、、(x>0)、、、-、、(x≥0,y≥0).
(二)最简二次根式
1.把二次根式(y>0)化为最简二次根式结果是().
A.(y>0)B.(y>0)C.(y>0)D.以上都不对
2.化简=_________.(x≥0)
3.a化简二次根式号后的结果是_________.
4.已知0,化简二次根式的正确结果为_________.
(三)同类二次根式
1.以下二次根式:
①;②;③;④中,与是同类二次根式的是().
A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④
2.在、、、、、3、-2中,与是同类二次根式的有______
3.若最简根式与根式是同类二次根式,求a、b的值.
4.若最简二次根式与是同类二次根式,求m、n的值.
(四)“分母有理化”与“有理化因式”
1.+的有理化因式是________;x-的有理化因式是_________.
--的有理化因式是_______.
2.把下列各式的分母有理化
(1);
(2);(3);(4).
二、二次根式有意义的条件:
1.
(1)当x是多少时,在实数范围内有意义?
(2)当x是多少时,+在实数范围内有意义?
(3)当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?
(4)当时,有意义。
2.使式子有意义的未知数x有()个.
A.0B.1C.2D.无数
3.已知y=++5,求的值.
4.若+有意义,则=_______.
5.若有意义,则的取值范围是。
6.要是下列式子有意义求字母的取值范围
(1)
(2) (3) (4)
(5) (6)
三、二次根式的非负数性
1.若+=0,求a2004+b2004的值.
2.已知+=0,求xy的
3.若,求的值。
a<0
a≥0
四、的应用
1.a≥0时,、、-,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是().
A.=≥-B.>>-
C.<<-D.->=
2.先化简再求值:
当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下:
甲的解答为:
原式=a+=a+(1-a)=1;
乙的解答为:
原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.
3.若│1995-a│+=a,求a-19952的值.
(提示:
先由a-2000≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值)
4.若-3≤x≤2时,试化简│x-2│++。
5.化简a的结果是().
A.B.C.-D.-
6.把(a-1)中根号外的(a-1)移入根号内得().
A.B.C.-D.-
五、求值问题:
1.当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值
2.已知a=3+2,b=3-2,则a2b-ab2=_________.
3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值
4.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.
5.已知≈2.236,求(-)-(+)的值.(结果精确到0.01)
6.先化简,再求值.
(6x+)-(4x+),其中x=,y=27.
7.当x=时,求+的值.(结果用最简二次根式表示)
8.已知,求的值。
六、其他
1.等式成立的条件是()
A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-1
2.已知,且x为偶数,求(1+x)的值.
3.计算(+)(-)的值是().
A.2B.3C.4D.1
4.如果 ,则x的取值范围是。
5.如果 ,则x的取值范围是。
6.若,则a的取值范围是。
7.设a=,b=,c=,则a、b、c的大小关系是。
8.若是一个整数,则整数n的最小值是。
9.已知的整数部分为a,小数部分为b,试求的值
七、计算
1.·(-)÷(m>0,n>0)
2.-3÷()×(a>0)
3.4.
5.
6.
八、应用
1.铁路基的横截面是梯形ABCD,如图,已知AD=BC,CD=8cm,路基的高度DE=6cm,斜坡BC的坡比为1:
,求路基下底宽AB的长度
2.如图,扶梯AB的坡比为4;3,滑梯CD坡比为1:
2,AE=6cm,BC=5cm,一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下到D,共经过多少路程?
3.如图,方格纸中小正方形的边长为1,是格点三角形,求:
(1)的面积
(2)的周长;(3)点C到AB的距离。
二次根式新题型
近几年的中考数学试题围绕二次根式出现了许多重素质、考能力的新颖题型,归纳起来,主要有以下几种。
一.开放求值题
例1.请先化简下列式子,再选取两个能使原式有意义,而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。
解:
原式
当时,原式;
当时,原式。
评注:
将一道常规的条件求值题,稍加改编,成为开放求值题,其意境截然不同,可贵之处不但在于从更高层次上考查了学生缜密思考(改编的同时,暗设陷阱)、灵活运用知识的能力,而且体现了人文关爱,利于激发兴趣,缓解考试压力。
二.计算器操作探索题
例2.用计算器探索:
已知按一定规律排列的一组数:
,。
如果从中选出若干个数,使它们的和大于3,那么至少要选___________个数。
解析:
由于各数据的分母依次增大,故这组数据依次减小,根据题意可选前面数值较大的数据求和。
由计算器可求得:
。
至少要选5个数,故填5。
例3.借助于计算器可以求得,,仔细观察上面几道题的计算结果,试猜想__________。
解析:
,
观察以上各式,易发现等式左端被开方数各加数的幂底数位数与等式右端的数的位数相同,于是可猜想:
评注:
养成正确使用计算器的习惯,能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题,是国家数学课程标准和数学大纲的要求。
从上述两例中可看到,由于使用了计算器,避免了繁冗、重复的运算过程,大大提高了解题效率,计算器进课堂、进考场是时代的要求,学习的需要,应引起高度重视。
三.读图计算题
例4.在第六册课本的阅读材料中,介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽,它的主体图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。
设其中的第一个直角三角形是等腰直角三角形,且,请你先把图中其他8条线段的长计算出来,填在下面的表格中,然后再计算这8条线段的长的乘积。
解析:
观察图形可知,待求线段既是前一个直角三角形的斜边,又是后一个直角三角形的直角边,因而利用勾股定理可求出各线段的长依次为、,它们的积为。
评注:
解这类题的关键是结合题设读懂图,从图中获取信息,借助数形结合,就能迅速、正确地找到解题途径。
四.阅读判断题
例5.化简时,甲的解法是:
;
乙的解法是:
以下判断正确的是()
A.甲的解法正确,乙的解法不正确
B.甲的解法不正确,乙的解法正确
C.甲、乙的解法都正确
D.甲、乙的解法都不正确
解析:
正确答案应为C。
甲采用分母有理化的方法,而乙采用分解约分法,虽然两人的思路不同,解法各异,但最后殊途同归。
例6.对于题目“化简并求值:
,其中”,甲、乙两人的解答不同,
甲的解答是:
乙的解答是:
谁的解答是错误的?
为什么?
解析:
解答此题的关键是对于式子脱去根号后,得到,还是。
这就必须要明确是正还是负。
故乙的解答是错误的。
评注:
这两道题格调清新,考查面宽广,从分母有理化、二次根式的性质、二次根式的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。
解答时要慎重思考,仔细甄别。
这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。
六.归纳、猜想题
例7.观察下列各式:
你能得出怎样的结论?
并给出证明。
解析:
仔细观察,不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、根号内的分数的分子都相同,而分母比分子的平方少1,故得结论为()
证明:
评注:
归纳、猜想题,常常是从简单情形入手,通过对若干特例的观察、分析,从中类比、归纳,发现其中的规律,进而猜想出具有一般规律的结论,并对结论的正确性给予验证或证明。
七.阅读理解题
例8.观察下列分母有理化的运算:
利用上面的规律计算:
__________。
解析:
要计算的式子有两个因式,第一个因式可根据题中给出的规律求得
例9.阅读下面的问题及解答:
问题:
化简
解:
设
则
原式
从上面的解答可以看出,一个很复杂的根式,化简的结果却是个简单的有理数,做完这道习题后,现在请你当一回老师,编四个类似的二次根式的化简题,要求满足以下两个条件:
(1)题目是由这三个无理数(或是其中两个)经过各种运算组成的(每题要包含加、减、乘、除、乘方几种运算中的一种或几种运算,如等,在你编出的四道题中,不能漏掉了五种运算中的某一种运算)。
(2)化简的结果是一个有理数。
解析:
阅读材料介绍了解决本题的一个方法——构造共轭因式。
因此,利用共轭因式的积、商、平方或结合其他手段来尝试编拟符合条件的二次根式化简题,如:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)
;
(7)
评注:
阅读理解题取材广泛,是考查学生基础知识及其综合素质的热门题型。
它一般由两部分组成:
一是阅读材料,二是考查内容。
根据阅读内容、考查目标的不同,又可分为许多题型。
例8、例9都属于知识性阅读题,即通过阅读给出的材料,理解并掌握方法,进而应用方法解答题中设置的问题。
这类题对学生的阅读理解能力、自学能力、创新应用能力等都有较高的要求。
过关测试
一、选择题:
1.若在实数范围内有意义,则m的取值范围是( )。
A.m≥2 B.m>2 C.m≤2 D.m<2
2.若=3,则x的取值范围是( )。
A.x=0 B.-1≤x≤2 C.x≥2 D.x≤-1
3.二次根式、、的大小关系是( )。
A.<< B.<<
C.<< D.<<
4.下列式子中,正确的是( )。
A.(-3)(+3)=2 B.5÷×=5
C.2×(=2-1 D.(2-)(2+)2=-2-
5.使等式成立的实数a的取值范围是( )。
A.a≠3 B.a≥,且a≠3 C.a>3 D.a≥
6.下列各组二次根式(a>0)中,属于同类二次根式的是( )。
A.C.
7.当0 A. 8.甲、乙两个同学化简时,分别作了如下变形: 甲: ==; 乙: =。 其中,( )。 A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.只有甲正确 D.只有乙正确 9 .下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 10.化简的结果是( ) A.2 B.C.D. 11.估计的运算结果应在 A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.4到5之间 12.若使二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题: 1.已知a、b在数轴上的位置如图所示,-│b-a│的化简结果是______。 2若x≠0,y≠0,则成立的条件是__________。 [来源: 学科网ZXXK] 3.已知m是小于10的正整数,且可化为同类二次根式,m可取的值有_______。 4.如果xy=,x-y=5-1,那么(x+1)(x-1)的值为________。 5.已知x=12,x=________。 6.若a<-2,的化简结果是________。 三、解答题 1.计算: +(-)+ 2.计算: (3+。 [来源: 学§科§网] 3.如图所示,实数a,b在数轴上的位置,化简. 4.已知x=+1,求()÷的值. 5.对于题目“化简求值: +,其中a=”,甲、乙两个学生的解答不同. 甲的解答是: +=+=+-a= 乙的解答是: +=+=+a-=a= 谁的解答是错误的? 为什么? 6.已知a、b、c均为实数,且=c 化简 二次根式提高测试题 一、选择题 1.使有意义的的取值范围是() 2.一个自然数的算术平方根为,则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为() (A)(B)(C)(D) 3.若,则等于() (A)0(B)(C)(D)0或 4.若,则化简得() (A)(B)(C)(D) 5.若,则的结果为() (A)(B)(C)(D) 6.已知是实数,且,则与的大小关系是() (A)(B)(C)(D) 7.已知下列命题: ①;
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