福建省中考.docx
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福建省中考.docx
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2017年福建省中考数学试卷
一、选择题:
1.3的相反数是( )
A.﹣3 B.﹣13 C.13 D.3
2.如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
第2题图第7题图第8题图
3.用科学记数法表示136000,其结果是( )
A.0.136×106 B.1.36×105 C.136×103 D.136×106
4.化简(2x)2的结果是( )
A.x4 B.2x2 C.4x2 D.4x
5.(4分)下列关于图形对称性的命题,正确的是( )
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形
D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形
6.不等式组:
&x-2≤0&x+3>0的解集是( )
A.﹣3<x≤2 B.﹣3≤x<2 C.x≥2 D.x<﹣3
7.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )
A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,15
8.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是( )A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
9.若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n﹣1),且0<k<2,则n的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段A'B'和点P',则点P'所在的单位正方形区域是( )
A.1区 B.2区 C.3区 D.4区
二、填空题:
本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.计算|﹣2|﹣30= .
12.如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连线DE.若DE=3,则线段BC的长等于 .
第12题图第15题图
13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是13,那么添加的球是 .
14.已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是 .
15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于 度.
16.已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1x的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为 .
三、解答题:
本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.先化简,再求值:
(1﹣1a)•aa2-1,其中a=2﹣1.
18.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
∠A=∠D.
19.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
20.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是:
“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只?
”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
21.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.
(Ⅰ)若AB=4,求CD的长;
(Ⅱ)若BC=AD,AD=AP,求证:
PD是⊙O的切线.
22.小明在某次作业中得到如下结果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°=(22)2+(22)2=1.据此,小明猜想:
对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°﹣α)=1.(Ⅰ)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°﹣α)=1是否成立;
(Ⅱ)小明的猜想是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
23.自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整:
一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6次开始,当次用车免费.具体收费标准如下:
使用次数
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
(Ⅰ)写出a,b的值;
(Ⅱ)已知该校有5000名师生,且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计:
收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利?
说明理由.
24.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形.
(Ⅰ)若△PCD是等腰三角形时,求AP的长;
(Ⅱ)若AP=2,求CF的长.
25.已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;
(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N.
(ⅰ)若﹣1≤a≤﹣12,求线段MN长度的取值范围;
(ⅱ)求△QMN面积的最小值.
2017年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:
本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(4分)(2017•长春)3的相反数是( )
A.﹣3 B.﹣13 C.13 D.3
【解答】解:
3的相反数是﹣3
故选A.
2.(4分)(2017•福建)如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
【解答】解:
图形的左视图为:
,
故选B.
3.(4分)(2017•福建)用科学记数法表示136000,其结果是( )
A.0.136×106 B.1.36×105 C.136×103 D.136×106
【解答】解:
用科学记数法表示136000,其结果是1.36×105,
故选:
B.
4.(4分)(2017•福建)化简(2x)2的结果是( )
A.x4 B.2x2 C.4x2 D.4x
【解答】解:
(2x)2=4x2,
故选:
C.
5.(4分)(2017•福建)下列关于图形对称性的命题,正确的是( )
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形
D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形
【解答】解:
A、圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,故A符合题意;
B、正三角形既是轴对称图形,不是中心对称图形,故B不符合题意;
C、线段是轴对称图形,是中心对称图形,故C不符合题意;
D、菱形是中心对称图形,是轴对称图形,故D符合题意;
故选:
A.
6.(4分)(2017•福建)不等式组:
&x-2≤0&x+3>0的解集是( )
A.﹣3<x≤2 B.﹣3≤x<2 C.x≥2 D.x<﹣3
【解答】解:
&x-2≤0①&x+3>0②
解不等式①得:
x≤2,
解不等式②得:
x>﹣3,
∴不等式组的解集为:
﹣3<x≤2,
故选A.
7.(4分)(2017•福建)某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )
A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,15
【解答】解:
把这组数据从小到大排列:
10、13、15、15、20,
最中间的数是15,
则这组数据的中位数是15;
15出现了2次,出现的次数最多,则众数是15.
故选:
D.
8.(4分)(2017•福建)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是( )
A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
【解答】解:
连接BC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,
∵∠BCD=∠BAD,
∴∠ACD+∠BAD=90°,
故选:
D.
9.(4分)(2017•福建)若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n﹣1),且0<k<2,则n的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:
依题意得:
&n+3=km+k+1&2n+1=km+k+k+1,
∴k=n﹣4,
∵0<k<2,
∴0<n﹣4<2,
∴4<n<6,
故选C.
10.(4分)(2017•福建)如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段A'B'和点P',则点P'所在的单位正方形区域是( )
A.1区 B.2区 C.3区 D.4区
【解答】解:
如图,连接AA′、BB′,分别作AA′、BB′的中垂线,两直线的交点即为旋转中心,
由图可知,线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°,
∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区,
故选:
D.
二、填空题:
本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.(4分)(2017•福建)计算|﹣2|﹣30= 1 .
【解答】解:
原式=2﹣1
=1.
故答案为:
1.
12.(4分)(2017•福建)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连线DE.若DE=3,则线段BC的长等于 6 .
【解答】解:
∵△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∵DE=3,
∴BC=2DE=6.
故答案为:
6.
13.(4分)(2017•福建)一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是13,那么添加的球是 红球 .
【解答】解:
∵这三种颜色的球被抽到的概率都是13,
∴这三种颜色的球的个数相等,
∴添加的球是红球,
故答案为:
红球.
14.(4分)(2017•福建)已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是 7 .
【解答】解:
∵点A,B表示的数分别是1,3,
∴AB=3﹣1=2,
∵BC=2AB=4,
∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7,
∴点C表示的数是7.
故答案为7.
15.(4分)(2017•福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于 108 度.
【解答】解:
如图,
由正五边形的内角和,得∠1=∠2=∠3=∠4=108°,
∠5=∠6=180°﹣108°=72°,
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°.
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°,
故答案为:
108.
16.(4分)(2017•福建)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1x的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为 152 .
【解答】解:
如图所示,根据点A在反比例函数y=1x的图象上,且点A的横坐标是2,可得A(2,12),
根据矩形和双曲线的对称性可得,B(12,2),D(﹣12,﹣2),
由两点间距离公式可得,AB=(2-12)2+(12-2)2=322,AD=(2+12)2+(12+2)2=522,
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=322×522=152,
故答案为:
152.
三、解答题:
本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)(2017•福建)先化简,再求值:
(1﹣1a)•aa2-1,其中a=2﹣1.
【解答】解:
当a=2﹣1时
原式=a-1a•a(a+1)(a-1)
=1a+1
=22
18.(8分)(2017•福建)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
∠A=∠D.
【解答】证明:
如图,∵BE=CF,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
&AB=DE&AC=DF&BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠A=∠D.
19.(8分)(2017•福建)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【解答】解:
BQ就是所求的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.
证明:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BPD+∠PBD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠AQP+∠ABQ=90°.
∵∠ABQ=∠PBD,
∴∠BPD=∠AQP.
∵∠BPD=∠APQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AP=AQ.
20.(8分)(2017•福建)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是:
“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只?
”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
【解答】解:
设鸡有x只,兔有y只,鸡有一个头,两只脚,兔有1个头,四只脚,
结合上有三十五头,下有九十四足可得:
&x+y=35&2x+4y=94,
解得:
&x=23&y=12.
答:
鸡有23只,兔有12只.
21.(8分)(2017•福建)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.
(Ⅰ)若AB=4,求CD的长;
(Ⅱ)若BC=AD,AD=AP,求证:
PD是⊙O的切线.
【解答】解:
(Ⅰ)连接OC,OD,
∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,
∴∠COD=90°,
∵AB=4,
∴OC=12AB=2,
∴CD的长=90180×π×2=π;
(Ⅱ)∵BC=AD,
∴∠BOC=∠AOD,
∵∠COD=90°,
∴∠AOD=45°,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°,
∴∠ODA=67.5°,
∵AD=AP,
∴∠ADP=∠APD,
∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,
∴∠ADP=12∠CAD=22.5°,
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,
∴PD是⊙O的切线.
22.(10分)(2017•福建)小明在某次作业中得到如下结果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°≈(22)2+(22)2=1.
据此,小明猜想:
对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°﹣α)=1.
(Ⅰ)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°﹣α)=1是否成立;
(Ⅱ)小明的猜想是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
【解答】解1:
(1)当α=30°时,
sin2α+sin2(90°﹣α)
=sin230°+sin260°
=(12)2+(32)2
=14+34
=1;
(2)小明的猜想成立,证明如下:
如图,在△ABC中,∠C=90°,
设∠A=α,则∠B=90°﹣α,
∴sin2α+sin2(90°﹣α)
=(BCAB)2+(ACAB)2
=BC2+AC2AB2
=AB2AB2
=1.
23.(10分)(2017•福建)自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整:
一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6次开始,当次用车免费.具体收费标准如下:
使用次数
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
(Ⅰ)写出a,b的值;
(Ⅱ)已知该校有5000名师生,且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计:
收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利?
说明理由.
【解答】解:
(Ⅰ)a=0.9+0.3=1.2,b=1.2+0.2=1.4;
(Ⅱ)根据用车意愿调查结果,抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为:
1100×(0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15)=1.1(元),
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为:
5000×1.1=5500(元),
因为5500<5800,
故收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利.
24.(12分)(2017•福建)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形.
(Ⅰ)若△PCD是等腰三角形时,求AP的长;
(Ⅱ)若AP=2,求CF的长.
【解答】解:
(Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠ADC=90°,
∴DC=AB=6,
∴AC=AD2+DC2=10,
要使△PCD是等腰三角形,
①当CP=CD时,AP=AC﹣CP=10﹣6=4,
②当PD=PC时,∠PDC=∠PCD,
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,
∴∠PAD=∠PDA,
∴PD=PA,
∴PA=PC,
∴AP=12AC=5,
③当DP=DC时,如图1,过点D作DQ⊥AC于Q,则PQ=CQ,
∵S△ADC=12AD•DC=12AC•DQ,
∴DQ=AD⋅DCAC=245,
∴CQ=DC2-DQ2=185,
∴PC=2CQ=365,
∴AP=AC﹣PC=10﹣365=145;
所以,若△PCD是等腰三角形时,AP=4或5或145;
(Ⅱ)方法1、如图2,连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC,
∵四边形ABCD和PEFD是矩形,
∴∠ADC=∠PDF=90°,
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,
∴∠ADP=∠CDF,
∵∠BCD=90°,OE=OD,
∴OC=12ED,
在矩形PEFD中,PF=DE,
∴OC=12PF,
∵OP=OF=12PF,
∴OC=OP=OF,
∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,
∴2∠OCP+2∠OCF=180°,
∴∠PCF=90°,
∴∠PCD+∠FCD=90°,
在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,
∴∠PAD=∠FCD,
∴△ADP∽△CDF,
∴CFAP=CDAD=34,
∵AP=2,
∴CF=324.
方法2、如图,
∵四边形ABCD和DPEF是矩形,
∴∠ADC=∠PDF=90°,
∴∠ADP=∠CDF,
∵∠DGF+∠CDF=90°,
∴∠EGC+∠CDF=90°,
∵∠CEF+∠CGE=90°,
∴∠CDF=∠FEC,
∴点E,C,F,D四点共圆,
∵四边形DPEF是矩形,
∴点P也在此圆上,
∵PE=DF,∴PE=DF,
∴∠ACB=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAP,
∴∠DAP=∠DCF,
∵∠ADP=∠CDF,
∴△ADP∽△CDF,
∴CFAP=CDAD=34,
∵AP=2,
∴CF=324.
25.(14分)(2017•福建)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;
(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N.
(ⅰ)若﹣1≤a≤﹣12,求线段MN长度的取值范围;
(ⅱ)求△QMN面积的最小值.
【解答】解:
(Ⅰ)∵抛物线y=ax2+ax+b过点M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=﹣2a,
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a(x+12)2﹣9a4,
∴抛物线顶点Q的坐标为(﹣12,﹣9a4);
(Ⅱ)∵直线y=2x+m经过点M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=﹣2,
联立直线与抛物线解析式,消去y可得ax2+(a﹣2)x﹣2a+2=0(*)
∴△=(a﹣2)2﹣4a(﹣2a+2)=9a2﹣12a+4,
由(Ⅰ)知b=﹣2a,且a<b,
∴a<0,b>0,
∴△>0,
∴方程(*)有两个不相等的实数根,
∴直线与抛物线有两个交点;
(Ⅲ)联立直线与抛物线解析式,消去y可得ax2+(a﹣2)x﹣2a+2=0,即x2+(1﹣2a)x﹣2+2a=0,
∴(x﹣1)[x﹣(2a﹣2)]=0,解得x=1或x=2a﹣2,
∴N点坐标为(2a﹣2,4a﹣6),
(i)由勾股定理可得MN2=[(2a﹣2)﹣1]2+(4a﹣6)2=20a2﹣60a+45=20(1a﹣32)2,
∵﹣1≤a≤﹣12,
∴﹣2≤1a≤﹣1,
∴MN2随1a的增大而减小,
∴当1a=﹣2时,MN2有最大值245,则MN有最大值75,
当1a=﹣1时,MN2有最小值125,则MN有最小值55,
∴线段MN长度的取值范围为55≤MN≤75;
(ii)如图,设抛物线对称轴交直线与点E,
∵抛物线对称轴为x=﹣12,
∴E(﹣12,﹣3),
∵M(1,0),N(2a﹣2,4a﹣6),且a<0,设△QMN的面积为S,
∴S=S△QEN+S△QEM=12|(2a﹣2)﹣1|•|﹣9a4﹣(﹣3)|=274﹣3a﹣27a8,
∴27a2+(8S﹣54)a+24=0(*),
∵关于a的方程(*)有实数根,
∴△=(8S﹣54)2﹣4×27×24≥
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