八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4.doc
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八年级下册数学三角形证明总复习知识点教案学案练习4.doc
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宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来
4专题《三角形证明总复习》
学员姓名
科目:
数学
年级:
课题
三角形证明总复习
教学
目标
1、巩固三角形的基础知识,并提升考查
2、培养分析问题的能力,解决问题的能力
重点
难点
考点
1、重点是全等三角形、等腰三角形、直角三角形等相关提升
2、难点是分析实际问题考查的知识点,进而猜想辅助线的能力
3、考查基础性质、定理、概念、计算、变形、证明等实际运用
知识核心
1、全等三角形与等腰三角形
知识回顾——复习
1、等腰△ABC中,已知一个角为30°,则其他两个角的度数是
2、等腰三角形的一个角为100°,则它的底角为()
A.100°B.40°C.100°或40°D.不能确定
3、下列推理中,错误的是( )
A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
4、已知,如图ΔABC中,AB=AC,D点在BC上,且BD=AD,DC=AC.将图中的等腰
三角形全都写出来.并求∠B的度数.
知识要点
知识点一:
与三角形全等相关的公理与推论
(1)与三角形全等相关的公理
①对应相等的两个三角形全等.(SSS)
②对应相等的两个三角形形全等.(SAS)
③对应相等的两个三角形全等.(ASA)
④全等三角形的相等、相等.
(2)与三角形全等相关的推论:
对应相等的两个三角形全等.(AAs)
“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”是判定三角形全等的条件,
特别提示:
判定三角形全等的各组条件描述的都是一个三角形中的三个元素,处在特定
位置时,与另一个三角形对应的三个元素相等时,才能判定这两个三角形全等,并且各
组条件中至少有一个是边相等的条件。
知识点二:
等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理
(1)定理:
等腰三角形的两个相等,可简述为“等边对等角”.
(2)推论:
等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的互相重合,
可简述为“三线合一”.
特别提示:
(1)“等边对等角”为证明两角相等提供了一条证题途径,注意两角需在同一三角形中。
(2)等腰三角形“三线合一”定理包含三项,只要其中一项成立,其余两项都成立,
例如,若知某线段为等腰三角形顶角的平分线,则该线段一定是这个等腰三角形底边上
的中线与高,“三线合一”常用来证明两个角相等、线段相等或线段垂直。
2、等腰三角形的判定定理
定理:
有相等的三角形是等腰三角形,可以简述为“等角对等边”.
特别提示:
(1)只有在同一个三角形中,才有“等角对等边”。
(2)“等角对等边”既可以判定等腰三角形,又可以为证线段相等的方法之一
知识点三:
等边三角形
性质定理:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于度。
判定定理:
有一个角是等边三角形.
特别提示:
(1)等边三角形具有特殊的轴对称性,三边的垂直平分线都是其对称轴,
三边上都有“三线合一”的性质。
(2)判定一个三角形为等边三角形的方法有三个
①三边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
要根据题目条件、特征、灵活选择判定方法。
知识点四:
反证法
1、定义:
在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理
或已知条件相矛盾的结论,从而证明命题的结论成立,这种证明方法称为反证法。
2、反证法的一般步骤为:
先假高命题的结论不成立,然后从假设出发,用正确的推论
方法,得出矛盾,从而肯定命题的结论成立。
特别提示:
(1)用反证法证题时,由于假设命题的结论不成立,就必须考虑结论的反
面所有可能出现的情况。
(2)反证法是一种很重要的证明方法,当我们直接证明一个
命题成立有困难时,就可以用反证法证明。
经典例题
类型一:
全等三角形
例1、(09深圳)如图9,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,
图9
A
D
B
C
E
G
F
EF与BC交于点G。
(1)求证:
△ABE≌△CBF;
(2)若∠ABE=50º,求∠EGC的大小。
变式:
(湖南长沙)在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.
(1)求证:
△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
例2、(10深圳)如图8,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,
∠AOB=∠COD=90º,D在AB上.
(1)求证:
△AOC≌△BOD;
(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.
A
B
C
D
图8
O
类型二:
等腰、等边三角形
例1、下列命题正确的是().
(A)等腰三角形是锐角三角形(B)两个等腰直角三角形全等
(C)真命题的逆命题一定是真命题(D)等腰三角形两腰上的高相等
变式1:
设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直
角三角形,则下列四个图中,能表示他们之间关系的是()
变式2:
具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是()
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
例2、如果等腰三角形的一个角是80°,那么另外两个角是____________度。
变式1:
等腰三角形底角15°,则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是____
变式2:
△ABC中,AB=AC,CD为AB上的高,△ADC为等腰三角形,∠BCD为().
(A)67.5°(B)22.5°(C)45°(D)67.5°或22.5°
变式3:
(深圳2010)9.如图1,△ABC中,AC=AD=BD,
∠DAC=80º,则∠B的度数是()
A.40ºB.35ºC.25ºD.20º
例3、如图1-C-6,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,且DB=EC,
求证:
∠BAD=∠CAE.
例4、如图,在△ABC中,AD是中线,BF交AD、AC于点E、F,且AF=EF。
求证:
BE=AC.
例5、(安徽中考)已知;点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)如图
(1),若点O在边BC上,求证:
AB=AC;
(2)如图
(2),若点O在△ABC的内部,求证:
AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画图表示。
例7、如图1,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN是等边三角形,直线AN,MB
交于点F。
(1)求证:
AN=BM;
(2)求证:
△CEF为等边三角形;
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图2中补出符合要求
的图形,并判断第
(1)、
(2)两小题的结论是否仍然成立。
2、直角三角形与线段垂直平分线、角平分线
知识回顾——复习
1、不能确定两个三角形全等的条件是()
A、三条边对应相等B、两角和一条边对应相等
C、两条边及其夹角对应相等D、两条边和一条边所对的角对应相等
2、某校计划修建一座既是中心对称又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案
有等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形等四种图案,你认为符合条件的是()
A等腰三角形B等边三角形C等腰梯形D菱形
3、用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时,假设“
”,则与“”矛盾,所以原命题正确.
4、已知直角△ABC中,AC=4,BC=2,则BC=。
5、常见勾股数有。
6、直角△ABC中,∠A=90°,∠B:
∠C=4:
6,则∠B=,∠C=。
7、如图,在△ABC中,∠ACB=900,AB=5,BC=3,CD⊥AB于点D,求CD的长。
知识要点
知识点一:
直角三角形
3、勾股定理及其逆定理定理:
直角三角形的的平方和等于的平方。
逆定理:
如果,那么这个三角形是直角三角形。
4、命题包括已知和结论两部分;逆命题是将命题的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。
5、直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
(4)定理:
在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于的一半。
知识点二:
线段垂直平分线
(1)线段垂直平分线的性质及判定
性质:
线段垂直平分线上的点到的距离相等。
判定:
到一条线段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(2)三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到的距离相等。
(外心)
(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心,以
大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段
AB的垂直平分线。
知识点三:
角平分线
(4)角平分线的性质及判定定理
性质:
角平分线上的点到的距离相等;
判定:
在一个角的内部,且到距离相等的点,在这个角的平分线上。
(5)三角形三条角平分线的性质定理
性质:
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到的距离相等。
(内心)
(3)如何用尺规作图法作出角平分线(略)
经典例题
类型一:
直角三角形
例1、下列条件中,
(1)一边及一锐角对应相等
(2)两锐角对应相等
(3)一条边对应相等(4)两条边对应相等
能够证明两个直角三角形全等的条件有
变式:
能确定两个三角形全等的条件是()
A、三个角对应相等B、两角和一条边对应相等
C、两条边及一角对应相等D、两条边和一条边所对的角对应相等
例2、如图1,△ABC中,∠C=90°,E为AB的中点,DE⊥AB于E,∠CAD︰∠DAB=2︰5,则∠B=。
变式:
△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠B且交于AC于点D,AC=1,则AD=.
例3、已知:
如图3,△ABC是边长为2cm的等边三角形,延长CB到D,使BD=BC,
延长BC至E使CE=BC,则C△ADE=。
变式1:
如图2,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作
CF⊥AE于F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D,若AB=12cm,则BD=cm.
变式2:
已知等腰三角形的腰长为10cm,一腰上的高为5cm,则这个等腰三角形的顶角为.
例4、图1-C-21,折叠矩形ABCD,使点D与BC边上的点F重合,已知矩形的长为
10,宽为6,则BF=.DE=.
变式:
如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知:
AB=8cm,
BC=10cm,则△EFC的周长=____________cm。
例4变式
例5、已知:
在四边形ABCD中,∠D=90°,DC=3cm,AD=4cm,AB=12cm,
D
C
B
A
13
12
4
3
BC=13cm.求四边形ABCD的面积.
变式:
如图,,AB=AD=8,,四边形的周长为32,求BC和CD的长。
例6、如图,△是等边三角形中,.求高的长和△的面积.
变式:
在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,且BD=AD=10,∠ADC=60°,
求△ABC的面积.
类型二:
线段垂直平分线与角平分线
例1
(1)如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定
(2)已知,如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC
分别交AB、AC于点D、E,若BD+CE=5,则线段DE的长为()
A.5B.6C.7D.8
(3)如图所示,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间建一
个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()
A、AB、BC两边高线的交点处B、AC、BC两边中线的交点处
C、AC、BC两边垂直平分线的交点处D、∠A、∠B的平分线交点处
(2)(3)变式1
变式:
如图所示,△ABC中,∠C=90°,DE是AB的中垂线,AB=2AC,BC=18cm,
则BE的长度为.
例2、如图,∠ACB=90°,BC=1,∠A=30°,D为AB中点,DE⊥AC于E,
求△CED的周长。
变式2:
如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和
D
B
C
A
△DBC的周长分别是60cm和38cm,求AB、BC。
例3、三角形中到三边的距离相等的点是()
(3)三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点
(4)C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点
变式:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AD的平分∠BAC,∠BAD=20°,则∠B的度数为()
A.40°B.30°C.60°D.50°
例4、已知:
如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD.求证:
D在
∠BAC的平分线上.
例5、如图,在△ABC中,∠BAC=400,∠C=800,BE是△ABC的一条角平分线,DE∥BC,
求∠BEC的度数。
变式:
如图,AE是△ABC的角平分线,∠B=∠BAC,
∠C=30O,求∠BAE的度数。
类型二:
综合题型
例1、如图1-C-27,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且AE=BE,求证:
AH=2BD。
例2、如图1-C-29,OC是∠AOB的平分线,点P为OC上一点,若∠PDO+∠PEO=1800,
试判断PD和PE的大小关系,并说明理由。
培优操练
简单思索、已知:
如图,D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,
求证:
∠BAE=∠CAE.
证明:
在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问:
上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步?
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.E、F分别是CD、AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62º,求∠DBF的度数。
如图,△ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使AC落在AB上.与E点重合。
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)求折痕AD的长.
如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.①说明DM=DN;②在这一过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?
若发生变化,请说明是如何变化的?
若不发生变化,求出其面积.
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?
若成立,请给出理由;若不成立,请说明理由.
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?
若成立,请给出结论,不用说明理由.
图3
图2
图1
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