2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试题5.doc
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2018-2019学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷
一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)
1.如图,已知在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,AD:
BD=2:
1,点F在AC上,AF:
FC=1:
2,联结BF,交DE于点G,那么DG:
GE等于( )
A.1:
2 B.1:
3 C.2:
3 D.2:
5.
2.如图将△ABC沿着直线DE折叠,点A恰好与△ABC的内心I重合,若∠DIB+∠EIC=195°,则∠BAC的大小是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
3.如图,抛物线m:
y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为( )
A.ab=﹣2 B.ab=﹣3 C.ab=﹣4 D.ab=﹣5
4.某单位在一快餐店订了22盒盒饭,共花费183元,盒饭共有甲、乙、丙三种,它们的单价分别为10元、8元、5元.那么可能的不同订餐方案有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.若关于x,y的方程组有实数解,则实数k的取值范围是( )
A.k>4 B.k<4 C.k≥4 D.k≤4
6.如图,⊙O1与⊙O2的半径均为5,⊙O1的两条弦长分别为6和8,⊙O2的两条弦长均为7,则图中阴影部分面积的大小关系为( )
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.无法确定
7.7条长度均为整数厘米的线段:
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,满足a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若a1=1厘米,a7=21厘米,则a6能取的值是( )
A.18厘米 B.13厘米 C.8厘米 D.5厘米
8.徐工集团某机械制造厂制造某种产品,原来每件产品的成本是100元,由于提高生产技术,所以连续两次降低成本,两次降低后的成本是81元.则平均每次降低成本的百分率是( )
A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%
二.填空题(共8小题,满分40分,每小题5分)
9.解方程:
.x= .
10.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住在第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,噪音较小,因此随楼层升高,环境不满意程度降低,设住在第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选 楼.
11.已知有理数a,b满足ab<0,|a|>|b|,2(a+b)=|b﹣a|,则的值为 .
12.如图所示,P1(x1,y1)、P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)在函数y=(x>0)的图象上,△OP1A1,△P2A1A2,△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2…An﹣1An,都在x轴上,则y1+y2+…yn= .
13.数学课上,小刚动手制作了一个圆锥,他量圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为8cm,则它的侧面积应是 cm2(精确到0.1cm2).
14.如图,长方形ABCD中,BC=2,DC=1,如果将该长方形沿对角线折叠,使点C落在点C′处,那么图中重叠部分的面积是 .
15.数据a,4,2,5,3的平均数为b,且a和b是方程x2﹣4x+3=0的两个根,则这组数据的标准差是 .
16.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.过点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,点P的坐标为 .
三.解答题(共5小题,满分40分)
17.(7分)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0的两实根,当a为何值时,x12+x22有最小值?
最小值是多少?
18.(7分)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
19.(7分)某企业为了激励员工参与技术革新,设计了技术革新奖,这个奖项分设一、二、三等,按获奖等级颁发一定数额的奖金,每年评选一次,下表是近三年技术革新获奖人数及奖金总额情况.
获一等奖人
数(名)
获二等奖人
数(名)
获三等奖人
数(名)
奖金总额(万
元)
1999年
10
20
30
41
2000年
12
20
28
42
2001年
14
25
40
54
那么技术革新一、二、三等奖的奖金数额分别是多少万元?
20.(9分)为了做好防控H1N1甲型流感工作,我县卫生局准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作.
(1)若随机选一位医生和一名护士,用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果.
(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率.
21.(10分)如图1,等腰直角三角形ABC的腰长是2,∠ABC=90度.以AB为直径作半圆O,M是BC上一动点(不运动至B、C两点),过点M引半圆为O的切线,切点是P,过点A作AB的垂线AN,交切线MP于点N,AC与ON、MN分别交于点E、F.
(1)证明:
△MON是直角三角形;
(2)当BM=时,求的值(结果不取近似值);
(3)当BM=时(图2),判断△AEO与△CMF是否相似?
如果相似,请证明;如果不相似,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)
1.解:
∵DE∥BC,
∴==2,
∴CE:
CA=1:
3,==,
∵AF:
FC=1:
2,
∴AF:
AC=1:
3,
∴AF=EF=EC,
∴EG:
BC=1:
2,设EG=m,则BC=2m,
∴DE=m,DG=m﹣m=m,
∴DG:
GE=m:
m=1:
3,
故选:
B.
2.解:
∵I是△ABC的内心,
∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠BCA,
∵∠DIB+∠EIC=195°,
∴∠DIE+∠BIC=165°,
由折叠过程知∠BAC=∠DIE,
∴∠BAC+∠BIC=165°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC,
∴∠IBC+∠ICB=90°﹣∠BAC,
又∵∠BIC+(∠IBC+∠ICB)=180°,
∠BIC+(90°﹣∠BAC)=180°,
∴∠BIC=90°+∠BAC,
∴∠BAC+90°+∠BAC=165°,
∴∠BAC=50°
故选:
B.
3.解:
令x=0,得:
y=b.∴C(0,b).
令y=0,得:
ax2+b=0,∴x=±,∴A(﹣,0),B(,0),
∴AB=2,BC==.
要使平行四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,
∴2=.∴4×(﹣)=b2﹣,
∴ab=﹣3.
∴a,b应满足关系式ab=﹣3.
故选:
B.
4.解:
设甲盒饭、乙盒饭分别有x盒、y盒,则丙盒饭有(22﹣x﹣y)盒.
根据题意,得
10x+8y+5(22﹣x﹣y)=183,
整理,得5x+3y=73,.
又0<x<22,0<y<22,0<22﹣x﹣y<22,
则3.5<x<14.6,且x、y为整数,
则x=5,8,11,或14.
故选:
D.
5.解:
∵xy=k,x+y=4,
∴根据根与系数的关系可以构造一个关于m的新方程,设x,y为方程m2﹣4m+k=0的实数根.
△=b2﹣4ac=16﹣4k≥0
解不等式16﹣4k≥0得k≤4.
故选:
D.
6.解:
通过旋转,拼接得到下面图形.
∵62+82=102,
∴△ABC是直角三角形,S△ABC=24,
右边图中,DE=EF=7,作O2M⊥DE,连接O2E交DF于H.
∵sin∠EDH=sin∠MO2E,
∴=,
∴EH=4.9,DF=2DH≈10,
∴S△DEF≈>S△ABC,
∴S2>S1,
故选:
B.
7.解:
若a1=1厘米,则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和,则一定有:
a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,
故选:
B.
8.解:
设平均每次降低成本的百分率为x,根据题意得100(1﹣x)(1﹣x)=81,
解得x=0.1或1.9(不合题意,舍去)
即x=10%
故选:
D.
二.填空题(共8小题,满分40分,每小题5分)
9.解:
设=u≥0,则x=u2,代入原式得:
u2+u++u=3,
∴=﹣u,两边平方整理得:
8u2+10u﹣7=0,
解得:
u=或u=﹣(舍去),
∴x=u2=.
故答案为:
.
10.解:
不满意度:
n+≥2=4≈5.666.仅当n=2≈3时取得,故选三楼.
故答案为:
3.
11.解:
∵有理数a,b满足ab<0,
∴a>0,b<0或a<0,b>0,
①当a>0,b<0时,
∵|a|>|b|,
∴b﹣a<0,
∵2(a+b)=|b﹣a|,
∴2a+2b=a﹣b,
a=﹣3b;
=﹣3;
②当a<0,b>0时,
∵|a|>|b|,
∴b﹣a>0,
∵2(a+b)=|b﹣a|,
∴2a+2b=b﹣a,
3a=﹣b,
此时不符合|a|>|b|,舍去,
故答案为:
﹣3.
12.解:
如图,过点P1作P1M⊥x轴,
∵△OP1A1是等腰直角三角形,
∴P1M=OM=MA1,
设P1的坐标是(a,a),
把(a,a)代入解析式y=(x>0)中,得a=3,
∴A1的坐标是(6,0),
又∵△P2A1A2是等腰直角三角形,
设P2的纵坐标是b,则P2的横坐标是6+b,
把(6+b,b)代入函数解析式得b=,
解得b=3﹣3,
∴A2的横坐标是6+2b=6+6﹣6=6,
同理可以得到A3的横坐标是6,
An的横坐标是6,
根据等腰三角形的性质得到y1+y2+…yn等于An点横坐标的一半,
∴y1+y2+…yn=.
故答案为:
.
13.解:
母线与高的夹角为30°,母线长为8cm,则底面半径=8×sin30°=4,
∴底面周长=8π,∴圆锥的侧面面积=×8π×8=32π≈100.5cm2.
15.解:
∵数据a,4,2,5,3的平均数为b,其中a,b是方程x2﹣4x+3=0的两个根,
∴,
解得;
∴这组数据的标准差是=;
故答案为:
.
16.解:
连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.
由
(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,
根据等腰三角形的性质,D是AC的中点时,OD⊥AC.
又∵DF∥OC,
∴DF=OC=2,
∴点P的纵坐标是2.
则﹣x2+3x+4=2,
解得:
x=,
∴当EF最短时,点P的坐标是:
(,2)或(,2).
故答案为:
(,2)或(,2).
三.解答题(共5小题,满分40分)
17.解:
∵△=(2a)2﹣4(a2+4a﹣2)≥0,∴
又∵x1+x2=﹣2a,x1x2=a2+4a﹣2.
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=2(a﹣2)2﹣4.
设y=2(a﹣2)2﹣4,根据二次函数的性质.
∵
∴当时,x12+x22的值最小.
此时,即最小值为.
18.解:
(1)当x=0,y=3,
∴C(0,3).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣).
将C(0,3)代入得:
﹣a=3,解得:
a=﹣2,
∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3.
(2)过点B作BM⊥AC,垂足为M,过点M作MN⊥OA,垂足为N.
∵OC=3,AO=1,
∴tan∠CAO=3.
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵AC⊥BM,
∴BM的一次项系数为﹣.
设BM的解析式为y=﹣x+b,将点B的坐标代入得:
﹣×+b=0,解得b=.
∴BM的解析式为y=﹣x+.
将y=3x+3与y=﹣x+联立解得:
x=﹣,y=.
∴MC=BM═=.
∴△MCB为等腰直角三角形.
∴∠ACB=45°.
(3)如图2所示:
延长CD,交x轴与点F.
∵∠ACB=45°,点D是第一象限抛物线上一点,
∴∠ECD>45°.
又∵△DCE与△AOC相似,∠AOC=∠DEC=90°,
∴∠CAO=∠ECD.
∴CF=AF.
设点F的坐标为(a,0),则(a+1)2=32+a2,解得a=4.
∴F(4,0).
设CF的解析式为y=kx+3,将F(4,0)代入得:
4k+3=0,解得:
k=﹣.
∴CF的解析式为y=﹣x+3.
将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立:
解得:
x=0(舍去)或x=.
将x=代入y=﹣x+3得:
y=.
∴D(,).
19.解:
设一二、三等奖的奖金额分别为x万元,y万元和z万元.
可得,
解这个方程组得.
20.解:
(1)用列表法表示所有可能结果如下:
(2)P(恰好选中医生甲和护士A)=,
∴恰好选中医生甲和护士A的概率是.
21.
(1)证明:
连接OP;
∵MB和MP是圆的切线,∴MP=MB;
又∵OP=OB,OM=OM,
∴Rt△MOP≌Rt△MOB;
∴∠POM=∠BOM,同理∠AON=∠PON;
∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°,
∴2(∠NOP+∠POM)=180°即∠NOP+∠POM=90°;
∴△NOM是直角三角形.
(2)解:
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=2,
∴AO=OB=1,CM=BC﹣BM=2﹣;
∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°
∴∠BOM=∠ANO;
∴Rt△OBM∽Rt△NAO,
∴OB:
AN=BM:
AO,得AN=;
∵AN⊥AB,CB⊥AB,
∴AN∥BC;
∴CF:
AF=CM:
AN=(2﹣):
=2﹣3;
(3)解:
∵BM=,OB=1,
∴tan∠MOB=MB:
OB=,即∠MOB=30°;
∴∠FMC=∠OMB=60°;
∴∠CMF=180°﹣2∠OMB=60°,∠EOA=180°﹣∠NOM﹣∠MOB=60°;
又∵∠C=∠OAE=45°
∴△AEO∽△CMF.
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